Beweisen, dass G zyklisch ist

Neue Frage »

donpain Auf diesen Beitrag antworten »
Beweisen, dass G zyklisch ist
Guten Abend miteinander!

Ich möchte gerne beweisen, dass gilt:

Wenn G eine endliche, abelsche Gruppe der Ordnung n ist und G für jeden Primteiler von n eine eindeutige Untergruppe der Ordnung p besitzt, so ist G zyklisch.

Mein Ansatz:

1. Fall: n=1
Dann ist G die triviale Gruppe und wird somit vom neutralen Ele. erzeugt, also zyklisch.

2. Fall:
Dann ex. eine Zerlegung von n in Potenzen verschiedener Primzahlen. Wir können also n schreiben als



und somit sind durch alle Primteiler von n gegeben.

Da G endlich und abelsch ist, gilt nach dem Satz von Cauchy, dass es Elemente mit gibt.

Da G für jeden Primteiler eine eindeutige Untergruppe besitzt, muss also



gelten.

Nun folgt, da G abelsch:



Mein Problem:

Ich hätte gerne, dass gilt. Dann wäre ich fertig. Gilt das? Ich sehe nicht warum. Sollte es nicht gelte, führt mein Ansatz wohl nicht zum Ziel.

MfG
donpain Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweisen, dass G zyklisch ist
Ich habe noch einen Ansatz:

Wenn G endliche abelsche Gruppe ist, dann existieren Primzahlpotenzen
(wobei die nicht verschieden seien müssen), sodass:

und .

Nach dem Satz von Cauchy und der Voraussetung, dass G für jeden Primteiler p von |G| genau eine Untergruppe der Ordnung p besitzt, folgt:



Meine Idee war jetzt, zu zeigen, dass dann die paarweise verschieden sein müssen.
Dieser Schluss gelingt mir aber nicht. Ist er möglich, kann mir dann jemand dabei helfen? Ist er nicht möglich, kann mich dann jemand auf den richtigen Weg führen?

Wenn ich das zeigen könnte, würde ja folgen:
Da zyklisch, und die paarweise teilerfremd, wäre dann zyklisch und G somit wegen der Isomorphie auch zyklisch.

Liebe Grüße
 
 
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Dein letzter Ansatz passt.

Und, dass die paarweise verschieden sind, folgt direkt aus der Voraussetzung, denn die Gruppe hat mit immer eine Untergruppe der Ordnung .
donpain Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke dir tmo! Freude

Habe ich verstanden.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »