Abbildungsmatrix bijektiv?

14.05.2014, 22:42

akamanston

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Abbildungsmatrix bijektiv?

hihi

es geht um die abbildungsmatrix.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0&1&1&1\\0&0&2&3\\0&0&0&3\\0&0&0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ist sie injektiv surjektiv oder sogar bijektiv?

nach wiki definition wäre sie surjektiv, wenn die Abbildungsmatrix vollen zeilenrang hat- hat sie wohl nicht, weil wir ganz unten eine nullzeile haben.
genausowenig ist sie injektiv, weil ganz links eien nullspalte ist. sehe ich das so richtig?

ich habe nämlich noch irgndwie im kopf, dass wir in einem anderen beispiel das durch kern, dimension oder determinante gezeigt haben?!?!!

14.05.2014, 22:56

Iorek

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Es gibt verschiedene Möglichkeiten das nachzuweisen. Die Argumentation über den Rang ist in Ordnung, ebenso könnte man den Kern bestimmen und ein Dimensionsargument bringen. Die Determinante kann dabei auch noch behilflich sein...welchen Weg du da einschlägst, ist dir überlassen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.05.2014, 23:04

akamanston

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okok, jettzt aber nur noch zur verdeutlichung.

weil nullspalte und nullzeile gegeben ist die abbildungsmatrix "gar nix" , oder wie nennt man das?^^

jetzt soll ich noch den kern, das bild und die dimensionen der beiden räume bestimmen. und da habe ich schon ein problem mit der plural formulierung. welche beiden räume?

und irgendwie bin ich zu blöd den kern auszurechnen. kern ist ja einfach nur die lösung des der matrix als lgs.

ich habe ja eine null zeile gegeben, d.h. ja eine freie variable. also mach ich d=lambda aber wie gehts dannn weiter in der dritten zeile^^
0+0+0c+3lambda=0 ? da ist dochwas faul. ich habe doch irgendwie gar keien freie variable? die dimension ist doch 3?

14.05.2014, 23:16

Iorek

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"Gar nix" würde ich nicht sagen, sie ist weder injektiv noch surjektiv. Sowohl der Kern als auch das Bild einer linearen Abbildung bilden einen Vektorraum, davon kann man die Dimension bestimmen.

Bei der Kernbestimmung kann ich dir nicht ganz folgen, du hast ein LGS gegeben. Lass da mal den Gaußalgorithmus drauf los. Wo bleibst du da hängen?

14.05.2014, 23:20

akamanston

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ausgangs punkt
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0&1&1&1\\0&0&2&3\\0&0&0&3\\0&0&0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ich nenne mal die spalten ja von links nach rechts a, b, c, d

letzte zeile ist eine nullzeile d.h. freie variable

also d=lambda

und normal steht jetzt beim dritten eintrag in der dritten zeile eine zahl, da aber in meinem fall eine null dasteht geht es nicht weiter weil ich dann 0c+3lambda=0 setzte.

14.05.2014, 23:26

Iorek

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Du kannst nicht $\begin{eqnarray*} d=\lambda \end{eqnarray*}$ setzen, weil du dort keine freie Variable hast. Bringe die Matrix mal auf Zeilenstufenform (das ist sie quasi schon) und bestimme den Eintrag, wo eine Stufe fehlt. Das ist dann deine freie Variable.

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14.05.2014, 23:30

akamanston

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die matrix ist doch schon in zeilenstufen form oder meinst du vlt diese matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0&1&1&1\\0&1&3&4\\0&0&1&3\\0&0&0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

15.05.2014, 00:00

Iorek

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Wie kommst du denn an diese Matrix? verwirrt

verwirrt

Du hast die Koeffizientenmatrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , wir betrachten das homogene Gleichungssystem. Die Matrix ist soweit in Zeilenstufenform, welche Stufe fehlt dir aber zur strikten Zeilenstufenform?

15.05.2014, 00:02

akamanston

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oben links?

du gehst schon von der ursprünglichen matrix aus oder $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0&1&1&1\\0&0&2&3\\0&0&0&3\\0&0&0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

weil du meine, bei der du verwirrt warst, geschrieben hast^^

15.05.2014, 00:15

Iorek

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Ja, ich meinte deine Ausgangsmatrix (diese zweite Matrix lässt sich daraus zwar durch Zeilenaddition zusammenbasteln, ist aber nicht wirklich sinnvoll). Und auch die fehlende Stufe stimmt jetzt. Du kannst also nicht $\begin{eqnarray*} d=\lambda \end{eqnarray*}$ setzen sondern...

15.05.2014, 00:16

akamanston

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îch habe ja
b+c+d=0
2c+3d=0
3d=0

und a=lambda, das bringt mir doch aber nichts

edit. oder ist das ergebnis bzw. der kern dann tatsächlich einfach nur R*(1,0,0,0)

15.05.2014, 07:44

Iorek

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Gerade $\begin{eqnarray*} a=\lambda \end{eqnarray*}$ bringt dich doch weiter. Mit den gegebenen Gleichungen kannst du schließlich $\begin{eqnarray*} b=c=d=0 \end{eqnarray*}$ explizit berechnen. Dein Ergebnis für den Kern stimmt, evtl. solltest du dir aber die Kernberechnung bzw. das Lösen (unterbestimmter) linearer Gleichungssysteme noch einmal genauer ansehen.

15.05.2014, 08:46

akamanston

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und wie komme ich zum Bild der matrix? sind das die 3 spaltenvektoren?

15.05.2014, 14:42

Iorek

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Generell bilden die Spaltenvektoren ein Erzeugendensystem des Bildes, ja. Wenn du noch erwähnst, wieso du dich nur auf drei (und vor allem: welche drei) Spaltenvektoren beschränkst und diese eine Basis des Bildes sind, bist du fertig.

27.05.2014, 00:37

akamanston

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ok, jetzt habe ich mir diese aufgabe nochmal angeschaut. eigentlich beherrsche ich ja das kern berechnen. nur verwundert mich die korrektur.
ich habe geschrieben: (die matrix heißt A=...)
mir wurde $\begin{eqnarray*} Kern(A)=R(1,0,0,0) \end{eqnarray*}$ als falsch angestrichen, ich habe es längs geschrieben weil mir hochkant $\begin{eqnarray*} Kern(A)=R\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zu viel platz weggenommen hätte. hat das die korrektorin nicht gecheckt?
sie hats verbessert und folgendes geschrieben: $\begin{eqnarray*} Kern(A)=1*R \end{eqnarray*}$

und beim Bild hat sie geschrieben:
$\begin{eqnarray*} Bild(A)=Rx+Rx^{2}+Rx^{3} \end{eqnarray*}$
das ding ist ja, dass es eine nullspalte gibt. wäre meine schreibweise auch eine passende lösung?
$\begin{eqnarray*} Bild(A)=x_{1} \begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}+x_{2} \begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix} +x_{3} \begin{pmatrix}1\\2\\0\\0\end{pmatrix} +x_{4} \begin{pmatrix}1\\3\\3\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

27.05.2014, 07:14

Iorek

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Zitat:

Original von akamanston
sie hats verbessert und folgendes geschrieben: $\begin{eqnarray*} Kern(A)=1*R \end{eqnarray*}$

und beim Bild hat sie geschrieben:
$\begin{eqnarray*} Bild(A)=Rx+Rx^{2}+Rx^{3} \end{eqnarray*}$

Das sieht mir wieder danach aus, als wenn du die Aufgabe nur zur Hälfte wieder gegeben hast. Wenn ich die Korrektur mal als richtig ansehe, dann dürfte die Aufgabe etwa gelautet haben:

"Gegeben sei der Raum der reellen Polynome vom Grad kleiner/gleich 4: $\begin{eqnarray*} \mathcal V=\mathbb R[x]_{\text{Grad}\leq 4} \end{eqnarray*}$ . Wir betrachten die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi: \mathcal V\rightarrow \mathcal V \end{eqnarray*}$ etc."

Dann ist dein Kern natürlich nicht richtig bestimmt, da die Elemente deines Vektorraums in diesem Fall keine Spaltenvektoren sondern Polynome sind und die Basis auch entsprechend angegegeben werden muss.

27.05.2014, 13:55

akamanston

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Zitat:

Original von Iorek
Dann ist dein Kern natürlich nicht richtig bestimmt, da die Elemente deines Vektorraums in diesem Fall keine Spaltenvektoren sondern Polynome sind und die Basis auch entsprechend angegegeben werden muss.

Ok, und was ist dann die matrix?

bei der aufgabe soll ich kern(f), bild(f) und die dimensionen dieser beiden räume bestimmen.
dimension der beiden räume ist mir nun klar. einmal die dimension vom kern und einmal vom bild der matrix.

aber bei Bild(A) und Kern(A) schaue ich halt auch auf die matrix. woher komme ich drauf das ich nicht die spaltenvektoren schreiben darf.

woher kommt bei Kern(A) die =1*R? ist das die dimension vom Kern, oder? das mit den elementen des vektorraums versteh ich noch nicht so ganz. dennnoch geht langsam ein licht auf. mach ich das nur weil in der angabe schon von polynomen die rede ist?

27.05.2014, 15:38

Iorek

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Wie gesagt: ohne den genauen Wortlaut der Aufgabe zu kennen, kann man da nicht viel mehr zu sagen.

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