Dichtefunktion mit zwei Zufallsvariablen verifizieren

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pirast Auf diesen Beitrag antworten »
Dichtefunktion mit zwei Zufallsvariablen verifizieren
Meine Frage:
Hi, ich habe folgende (Altklausur)-Aufgabe:

Gegeben sind die Zufallsvariablen X und Y und folgende Funktion:

fX,Y(x,y)=c*x*(9/2 -x -y) falls x e [0,1] und y e [0,1]
0 sonst

Wie muss c gewählt sein, damit es sich um eine Dichtefunktion handelt?


Meine Ideen:
Per Definition muss für eine Dichtefunktion gelten:
(1) f(x)>=0
und
(2) Integral der Dichtefunktion von -unendlich bis unendlich = 1

(1) ist in jedem Fall gegeben, da egal wie x und y gewählt werden der Wert immer >=0 ist (weil 9/2 >= 2).

bei (2) stehe ich ein wenig auf dem Schlauch. Mir ist klar, dass ich die Stammfunktion von f(x) bilden muss, dann das Integral lösen muss und mit 1 gleichsetzen muss.
Aufgrund der Zufallsvariablen / der multivariablen Funktion weiß ich aber nicht, wie das geht.

Vielleicht kann mir jemand helfen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja wie schon - integrieren kannst du doch, zumindest so einfache Funktionen wie hier?



bzw. das schon mal als konstanter Vorfaktor rausgezogen und auf die andere Seite gebracht:

.

"Von innen nach außen" vorgehen, zunächst demnach die -Integration. Falls dir da das Sorge macht - das kannst du bei dieser -Integration als Konstante ansehen. Na dann mal frisch ans Werk!
pirast Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, danke für die Antwort. War ein wenig wegen den Grenzen verwirrt, der Tipp mit 0 und 1 basierend auf der Aufgabenstellung war Gold wert.

Ich komme zu folgendem Ergebnis: c=3/5 . Stimmt das?

Hier mein Rechenweg:
Aufleitung nach dx:


basierend auf den Grenzen ausgerechnet:

Stammfunktion davon:
ausgerechnet:

(dann noch Formelumstellung weil ich auf der linken Seite wie von dir vorgeschlagen 1/c habe.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pirast
Ich komme zu folgendem Ergebnis: c=3/5 . Stimmt das?

Ja. Freude
pirast Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Hilfe.
In Aufgabe b) geht es jetzt um die Bestimmung der Randdichten fX(x) und fY(y). Das habe ich folgenderweise gemacht- vielleicht kannst du einen Blick drauf werfen und schauen, ob es stimmt?

Es gilt ja bzw. mit dx das respektive für fY, wobei die Grenzen ja unendlich bzw. -unendlich sind.

Von daher müssen ja einfach die Integrale gelöst werden, mit den Grenzen 0 und 1.

Ich komme zu folgendem Ergebnis:

fX(x)=9/2cxy-cx^2y-1/2cy^2
fY(y)=9/4cx^2-1/3cx^3-1/2cyx^2
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pirast
Es gilt ja bzw. mit dx das respektive für fY, wobei die Grenzen ja unendlich bzw. -unendlich sind.

Von daher müssen ja einfach die Integrale gelöst werden, mit den Grenzen 0 und 1.

Ganz recht - und warum hast du das nicht gemacht? Stattdessen hast du jeweils das unbestimmte Integral stehengelassen. unglücklich

In hat nichts mehr zu suchen, genausowenig in .

Und hast du ja oben bereits berechnet - setze es ein!
 
 
pirast Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, teilweise falsch abgetippt und falsch gerechnet. Hier ein neuer Versuch:

fX(x)=9/2cx-cx^2-1/2cx
mit c=3/5:
12/5cx-cx^2

fY(Y)=9/4c-1/3c-1/2cy
mit c=3/5:
23/20-3/10y
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pirast
fY(Y)= [...] 23/20-3/10y

is richtig - fX aber nicht: Warum ist das c dort immer noch drin?
pirast Auf diesen Beitrag antworten »

Vermutlich wegen der Sonne. Ups

fX(x)=12/5x-x^2
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Sonne...



Wohlgemerkt nur für gültig, genau wie deine Formel für auch nur für gültig ist: Wird gern vergessen zu erwähnen, dass die Dichten außerhalb dann 0 sind.
pirast Auf diesen Beitrag antworten »

Ok.. danke.. wirklich blöde Fehler...
pirast Auf diesen Beitrag antworten »

Im nächsten Aufgabenteil geht es um die Bestimmung der Varianz von X. Dafür muss ich ja erst den Erwartungswert bestimmen:


ich komme auf folgendes Ergebnis. Stimmt das? E(X)=3/4-1/5y

Wenn ja, komme ich zur nächsten Frage. Die Varianz ergibt sich ja aus



Durch den von mir errechneten Erwartungswert wird die Bestimmung der Varianz ja recht kompliziert. Gibt es da einen einfacheren Weg?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zum einen hat sich da wieder ein y reingemogelt ... noch mal: Das hat da nichts zu suchen! muss eine Zahl sein (kein x, kein y drin!).

Zur Varianz: Es ist . Letztere Darstellung kann eben auch zur Berechnung genutzt werden, dabei ist

.
pirast Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, Erwartungswert muss also eine Zahl sein - aber warum kommt bei mir das y da rein, wenn ich das Integral auflöse - und warum taucht es bei dir nicht auf? Was mache ich falsch?



eingesetzt:



aufgeleitet:



wegen den Grenzen 0 und 1 entspricht das Integral ja o.g. Aufleitung (ohne x):



mit c=3/5 komme ich ja auf den Erwartungswert, den ich gepostet habe.
Was mache falsch, warum kommt bei dir kein y vor?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000

Daraus berechnet man

.

Wo ist hier ein y ???
pirast Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh! Ich habe dir ursprüngliche Dichtefunktion zur Berechnung des Erwartungswertes genutzt. Das war mein Fehler.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das kannst du auch tun - aber in dem Fall musst du sowohl über als auch integrieren:

.

Was irgendwie sinnlos viel Arbeit ist, falls du schon vorliegen hast - dort hast du ja die -Integration schon bewältigt.
pirast Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Danke!
Also, E(X)=13/20 ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
pirast Auf diesen Beitrag antworten »

Dann müsste die Varianz ja

E(X^2)-E(X)^2=12/25-(13/20)^2=23/400 ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt auch. Na langsam kommt der Zug ins Rollen. Augenzwinkern
pirast Auf diesen Beitrag antworten »

Prost

Ok, letzte Teilaufgabe ist das hier:

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit P(0<=X<=5, 1/4<Y<=3/4)

In der Formelsammlung habe ich eine Formel zur Berechnung gefunden, allerdings mit 1/4<=Y . Wusste nicht, wie man diese für 1/4<Y nutzen kann, und habe es deshalb erstmal mit der Formel mit <= bestimmt.

Als Endergebnis erhalte ich 5/2 - kann das stimmen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pirast
Als Endergebnis erhalte ich 5/2 - kann das stimmen?

Tja, denk mal nach: Eine Wahrscheinlichkeit (!) von 2.5 - kann das stimmen?


Zitat:
Original von pirast
In der Formelsammlung habe ich eine Formel zur Berechnung gefunden, allerdings mit 1/4<=Y . Wusste nicht, wie man diese für 1/4<Y nutzen kann, und habe es deshalb erstmal mit der Formel mit <= bestimmt.

Stetigen Zufallsgrößen nehmen einzelne Werte (wie hier 1/4) nur mit Wahrscheinlichkeit Null an, d.h., es ist gleichgültig, ob da < oder < steht, es kann dieselbe Formel zur Anwendung kommen. Aber wie gesagt, dass gilt so zunächst nur für stetige Zufallsgrößen - bei diskreten ist die Unterscheidung sehr wohl wichtig.


EDIT: Ich hab da auch einen Verdacht, wie der Fehler oben passiert ist. Du hast doch wohl nicht etwa die erste Zeile der Dichteformel

Zitat:
Original von pirast
fX,Y(x,y)=c*x*(9/2 -x -y) falls x e [0,1] und y e [0,1]
0 sonst

von x=0 bis 5 verwendet, entgegen des ausdrücklichen Hinweises ? geschockt
pirast Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Verstehe: Die Begrenzungen im Aufgabenteil "überschreiben" weitere Begrenzungen (außerhalb der Grenzen ist die WS ja sowieso 0). Glaube, das habe ich verstanden.

Habe also nochmal mit den Grenzen 0 und 1 gerechnet und komme auf P=1 . Stimmt das diesmal?
pirast Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich habe das richtige geschrieben ("stärkere Grenzen"), aber das falsche gemacht.

Die Grenzen 3/4 und 1/4 sind stärker und müssen berücksichtigt werden.

Ich komme daher zu dem Ergebnis 1/2. Stimmt das?
kiterphil Auf diesen Beitrag antworten »

ich komme auf 5/6 bin mir allerdings auch nicht ganz sicher ob ich den richtigen Ansatz gewählt habe.

Für die Integralgrenzen bei Y habe ich 1/4 und 3/4 und bei X einfach 0 und 1 wegen x e [0,1]
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pirast
Ich komme daher zu dem Ergebnis 1/2. Stimmt das?

Ja, stimmt.
kiterphil Auf diesen Beitrag antworten »

ok, sehe grade, dass ich den Faktor c vergessen habe und komme damit auch auf 1/2. Meistens sind es die kleinen Dinge Augenzwinkern
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