Keine Lösung von AX-XA=ID

15.05.2014, 09:13

r4ndom19

Keine Lösung von AX-XA=ID

Hallo,

ich möchte zeigen, dass die Gleichung
AX-XA=E
Wobei E die Einheitsmatrix ist und A, X nxn Matrizen sind.
Die Einträge stammen aus einem Körper mit Charakteristik ungleich 2.
Ich kenne einen Beweis mit der Spur, ich würde gerne wissen,
ob es eine Möglichkeit gibt den Beweis ohne die Spur zu führen.
Ich dachte daran, dass man die Gleichung auch schreiben kann
als
A(X+ID)-(X+ID)A=E. Ich dachte vielleicht das man
hieraus einen Widerspruch bekommt. Bin bisher aber zu keinem
Ergebnis gekommen.
Hätte jemand einen Tipp für mich?

15.05.2014, 11:04

Ehos

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Stimmt die Formel AX-XA=E überhaupt? Wenn man z.B. für A und X irgendwelche Diagonalmatrizen einsetzt, verschwindet die linke Seite offenbar.

15.05.2014, 11:11

r4ndom19

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Ahhh, tut mir leid. In der Überschrift steht es und im Text habe ich es vergessen...
Es ist zu zeigen, das diese Gleichung für überhaupt keine quadratischen Matrizen erfüllt sein kann.

15.05.2014, 21:06

URL

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Wielandt hat die Unbeschränktheit quantenmechanischer Operatoren gezeigt. Die Beweisidee, siehe
Satz_von_Wintner-Wielandt
könnte auch hier helfen.
Sie funktioniert jedenfalls für Endomorphismen eines normierten Raumes über R oder C.
Ob sich bei anderen Körpern Komplikationen ergeben, überlasse ich dir Big Laugh

16.05.2014, 22:43

Louis1991

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Das einzige, was ich leicht hinbekomme (sowohl mit Spur als auch mit einem anderen Ansatz) ist, dass n durch die Charakteristik von K teilbar sein muss, damit die Regel gelten kann.

Falls n durch die Charakteristik von K teilbar ist, bin ich mir bei meinem Beweis aber nicht ganz sicher:

Wir betrachten die Matrizen im algebraischen Abschluss von K. Damit hat AX einen Eigenwert $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ zu Eigenvektor $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ . Damit muss XA Eigenwert $\begin{eqnarray*} a_1 - 1 \end{eqnarray*}$ zu Eigenvektor $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ haben. Da die Matrizen das selbe charakteristische Polynom haben, haben sie die selben Eigenwerte, also hat nun $\begin{eqnarray*} AX \end{eqnarray*}$ einen Eigenvektor $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ zu Eigenwert $\begin{eqnarray*} a_1 - 1 \end{eqnarray*}$ . Induktiv so weiter. Falls $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ Charakteristik Null, so sind wir fertig.

Falls $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ Charakteristik $\begin{eqnarray*} P > 0 \end{eqnarray*}$ hat, dann können wir durch Basiswechsel die Matrizen auf eine Form bringen, so dass oben links jeweils ein PxP-Diagonal-Block mit offensichtlichen Einträgen steht (a_1 bis a_1+(p-1) resp. a_1 -1 bis a_1+p=a_1). OE sind diese Blöcke die Matrizen AX bzw. XA.

Es muss gelten $\begin{eqnarray*} X AX v_1 = a_1 Xv_1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} X v_i= b_i v_{i-1} \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ , andererseits $\begin{eqnarray*} AXA v_1 = (a_1-1) A v_1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} A v_i = c_i v_{i+1} \end{eqnarray*}$ .

(ich habe leider gerade keine Zeit, vermutlich habe ich im letzten Absatz was mit Indices verhauen, aber "irgendwie" so geht es vermutlich; würde gerne eine Lösung mit Spur sehen?)

16.05.2014, 23:33

random_gast

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Hallo,

also der Beweis mit der Spur geht so:
Würde die Identität für irgendwelche n x n Matrizen gelten, so würde gelten:
Spur(AX-XA)=Spur(AX)-Spur(XA)=Spur(AX)-Spur(AX)=0
Spur(E)=n
Widerspruch!
Falls man allerdings die Charakteristik n hat, würde das wohl nicht mehr klappen...
Der vorgestellte Link und Ansatz sind zwar sehr interessant, aber wirklich komplizierte Herangehensweisen unglücklich

17.05.2014, 00:13

Louis1991

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Ich dachte, es gibt vielleicht einen Trick, den Beweis mit Spur auch auf chark|n anzupasssen. Ich habe beim letzten Schritt übrigens garantiert was verhauen, muss man halt sauber durchrechnen und versuchen das zu retten. (bin optimistisch, dass es klappt)

17.05.2014, 01:28

RavenOnJ

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Es ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{tr}(AX)=\operatorname{tr}(XA) \end{eqnarray*}$ . die Spur ist außerdem ein linearer Operator, also $\begin{eqnarray*} \operatorname{tr}(AX-XA) = \operatorname{tr}(AX)-\operatorname{tr}(XA) =0\not=n= \operatorname{tr}(E) \end{eqnarray*}$ .

Edit: Sehe gerade, dass random_gast das Ding schon gelöst hatte, sorry.

17.05.2014, 01:41

Louis1991

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Okay, der letzte Schritt ging nicht auf... also habe ich mal weiter versucht. Und ich habe für Charakteristik 3 ein Beispiel, so dass es funktioniert. Ich denke, für endliche Charakteristik sollte es sowas immer geben. Kannst du deinem Übungsleiter ja sagen Augenzwinkern

http://www.wolframalpha.com/input/?i={{0%2C0%2C1}%2C{0%2C0%2C0}%2C{0%2C1%2C0}}+*+{{0%2C+0%2C+0}%2C{0%2C0%2C2}%2C+{1%2C0%2C0}}+-+{{0%2C+0%2C+0}%2C{0%2C0%2C2}%2C+{1%2C0%2C0}}+*+{{0%2C0%2C1}%2C{0%2C0%2C0}%2C{0%2C1%2C0}}

Zitat:

Original von RavenOnJ
Es ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{tr}(AX)=\operatorname{tr}(XA) \end{eqnarray*}$ . die Spur ist außerdem ein linearer Operator, also $\begin{eqnarray*} \operatorname{tr}(AX-XA) = \operatorname{tr}(AX)-\operatorname{tr}(XA) =0\not=n= \operatorname{tr}(E) \end{eqnarray*}$ .

Edit: Sehe gerade, dass random_gast das Ding schon gelöst hatte, sorry.

Das geht (wie oben erwähnt) nicht immer.

Edit: Abgesehen davon ist der Ansatz nicht sehr kompliziert. Wenn man nicht gerade in dem Fall ist, wo die Aussage nicht stimmt, geht der Beweis in 2 bis 3 Zeilen durch.

17.05.2014, 09:59

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Louis1991

Das geht (wie oben erwähnt) nicht immer.

Ich hatte nur Körper mit Charakteristik 0 betrachtet. Hätte ich dazuschreiben sollen. Aber dein Gegenbeispiel zeigt ja gut, dass ein Beweis über die Spur bei Körpern mit char K>0 i.A. nicht funktioniert.

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