Fünf Personen verteilen sich auf Liegen

15.05.2014, 15:05

Levo40

Fünf Personen verteilen sich auf Liegen

Hallo zusammen,

die nachfolgende Frage wurde in ähnlicher Form schon mal gestellt. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen, da mein Ansatz mich nicht weitergebracht hat.

Am ersten Morgen gehen die fünf Studienleiter zum Pool und stellen
überrascht fest, dass noch genau fünf benachbart stehende Liegen frei
sind; sie verteilen sich zufällig auf diese Liegen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
liegt der Studienleiter für Mathematik neben dem Studienleiter
für Biologie, der Studienleiter für Physik aber nicht neben dem
für Religion, wenn die Liegen
a) in einer Reihe nebeneinander stehen?
b) im Kreis angeordnet sind?
verwirrt

Wie gesagt, mein Ansatz hat mich leider nicht weitergebracht. Bitte um eure Hilfe!!!

Vielen Dank im Voraus!

15.05.2014, 17:07

HAL 9000

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RE: Fünf Personen verteilen sich auf Liegen

Zitat:

Original von Levo40
die nachfolgende Frage wurde in ähnlicher Form schon mal gestellt.

So ist es, da hast du anscheinend das gefunden. Und wenn du die Linkkette verfolgst, kommst du auch zur Lösung.

Da diese Linkkette aber schon ziemlich lang ist, hier nochmal die Grundzüge der Lösung: Wir betrachten zwei Ereignisse

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ... die Studienleiter Mathematik und Biologie liegen nebeneinander

$\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ... die Studienleiter Physik und Religion liegen nebeneinander

Gesucht ist hier nun die Wahrscheinlichkeit der Differenz $\begin{eqnarray*} A\setminus B \end{eqnarray*}$ , d.h. "A und zugleich nicht B":

$\begin{eqnarray*} P(A\setminus B) = P(A\cap B^c) = P(A) - P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ .

Warum auf diese Weise? Weil beide Wahrscheinlichkeiten rechts kombinatorisch gut zugänglich sind:

$\begin{eqnarray*} P(A) = \frac{2\cdot 4!}{5!} = \frac{2}{5} \end{eqnarray*}$ .

Man betrachtet Mathe- und Bio-Studienleiter "en block", und dann kann man bei den günstigen Varianten nur noch 4 Elemente permutieren (3 einzelne Studienleiter, und den Zweierblock als ein Element). Die 2 im Zähler rührt daher, dass es im Block natürlich zwei verschiedene mögliche Reihenfolgen der Liegenwahl gibt: erst Mathe, und dann Bio - oder umgekehrt.

Ähnlich dann bei der zweiten Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} P(A\cap B) = \frac{2^2\cdot 3!}{5!} = \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ .

Hier haben wir zwei Zweierblöcke und dazu nur noch einen einzelnen Studienleiter, insgesamt dann nur noch 3 Elemente zum Permutieren.

-----------------------------------------

Soweit die Nahezu-Komplettlösung für in einer Reihe nebeneinanderstehende Liegen.

Für die Kreisanordnung denkst du nochmal selbst nach, oder konsultierst die obigen Links.

16.05.2014, 07:46

Levo40

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Merci
Vielen Dank Hal9000 Freude

Ich werde mich dann mal mit der Aufgabe befassen und dich über den Ausgang informieren Wink

28.08.2017, 16:32

Meggo0

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RE: Fünf Personen verteilen sich auf Liegen
Hallo zusammen,

ich weiß, das Thema ist schon ein bisschen älter und es gibt auch schon andere Forenbeiträge. Allerdings bin ich mir beim lösen der Aufgabe nicht zu 100% sicher, weswegen ich das Thema noch mal neu aufgreife und hoffe, dass ihr mir helfen könnt....

@HAL 9000

zur a)

Soweit verstanden. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Studienleiter für Mathematik neben dem Studienleiter
für Biologie, der Studienleiter für Physik aber nicht neben dem für Religion liegt, beträgt demnach 0,4-0,2 =
0,2 = 20%, korrekt?

zur b)

Für die Kreisanordnung habe ich noch mal selbst nachgedacht und habe die obigen Links verfolgt. Allerdings bin ich mir hier nicht sicher. Könntet ihr mir diesbezüglich noch mal helfen?

Mein Ergebnis

[P(A) = 5!/5!*2! = 0,5 --> weil ich den Block " Mathe- und Bio-Studienleiter" ein mal mehr im Kreis verteilen kann als in der Reihe.

Zweite Wahrscheinlichkeit = 5!/5!*2!*2! = 0,25

Gesamtwahrscheinlichkeit 0,25 = 25 %

Ist das korrekt?

Über einen Lösungsvorschlag zur b) wäre ich sehr Dankbar.

Freundliche Grüße

28.08.2017, 16:48

HAL 9000

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a) Ja, Ergebnis 0.2 ist korrekt.

b) Ich würde hier so vorgehen: Wir machen den bisher nicht fachspezifizierten fünften Studienleiter zu unserem festen Bezugspunkt, ja gewissermaßen Trennelement, welches den Kreis "aufbricht". Die anderen vier Plätze bilden jetzt im Prinzip wieder die lineare Situation von a), nur mit 4 statt 5 Leuten. Die entsprechenden Rechnungen wären

$\begin{align*} P(A) = \frac{2\cdot 3!}{4!} = \frac{1}{2} \end{align*}$

$\begin{align*} P(A\cap B) = \frac{2^2\cdot 2!}{4!} = \frac{1}{3} \end{align*}$

Und entsprechend dann $\begin{align*} P(A\setminus B) = \frac{1}{2}-\frac{1}{3} = \frac{1}{6} \end{align*}$ .

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