Pferd zum Fluss und zur Futterstelle führen

15.05.2014, 16:39

Nome

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Pferd zum Fluss und zur Futterstelle führen

Meine Frage:
Ein Pferd soll zunächst von einem Ausgangspunkt A zu einem Fluss (zum Trinken) und dann zur Futterstelle F gebracht werden. Die Entfernung der Flusspunkte C und D am Flussufer beträgt 150 m. AC = 60m; DF = 100m. Ermitteln Sie, an welcher Stelle T am Flussufer das Pferd zum Trinken geführt werden soll, wenn der gesamte zurückgelegte Weg minimal werden soll. (gesucht ist die Entfernung CT = x)

Meine Ideen:
Zielfunktion: x=sqrt(x^2+64)

1. Wie könnte die Nebenfunktion lauten?
2. Ich tu' mich etwas schwer mit diesen Textaufgaben. Wie kann ich schnell erkennen, wie die Nebenfunktion lautet? Allgemeine Tipps?

15.05.2014, 17:45

sulo

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RE: Pferd zum Fluss und zur Futterstelle führen
Ich habe mal eine Grafik zur Aufgabe besorgt:
[attach]34276[/attach]
Du brauchst hier keine Nebenfunktion, da deine einzige Variable x ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Grundsätzlich braucht man Nebenbedingung(en), wenn man mehrere Variablen in der Hauptbedingung (= Zielfunktion, HB) hat. Mit Hilfe der NB wird dann die Zahl der Variablen in der HB auf 1 reduziert.

Die Zielfunktion zu deiner Aufgabe kann ich nicht nachvollziehen.
Du brauchst die Länge der Strecken AT und FT.

smile

smile

15.05.2014, 18:19

Nomen

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Ja, müsste z=... heißen. z ist dann die Schräge hin zum Wasser. Satz des Pythagoras angewendet auf das linke Dreieck.

15.05.2014, 18:25

sulo

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Dann müsste es noch 60² und nicht 64² heißen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Fehlt noch das rechte Dreieck.

smile

smile

15.05.2014, 18:33

Nome

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Dann wird das rechte Dreieck doe Nebenbedingung sein..?
Hmm. Nochmal Pythagoras, nach x umstellen und einsetzen. Aber gibt bei dem Dreieck ja auch zwei Unbekannte.

15.05.2014, 18:38

sulo

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Nein, ich habe schon gesagt, bei dieser Aufgabe brauchst du keine NB. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du drückst die zweite Strecke durch die gegebenen 100m und durch 150-x aus.

Es wird dann nach der Ableitung eine fürchterliche Rechnerei.
Ich habe zwar die Gleichung mit einem Rechner nach x aufgelöst und somit die Lösung erhalten, drücke mich aber gerade davor, das gleiche mal zu Fuß durchzurechnen.

Bin erst einmal kurz weg, Abendessen.

smile

smile

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15.05.2014, 19:19

sulo

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Bin wieder da.

Und die Rechnung zu Fuß ist dann doch leichter als erwartet, sich die hohen Potenzen netterweise sehr schön entfernt werden können.

smile

smile

15.05.2014, 19:32

Nome

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x^2=z^2+60^2
y^2=(150-x)^2+100^2 //y ist die Schräge des rechten Dreiecks

f(z)=22500-300(sqrt(z^2+60))+z^2+60^2+100^2=36100-300(sqrt(z^2+3600)+z^2
f'(z)=-300*(1/2)*(1/sqrt(z^2+60^2))*2x+2x

f'(z)=0
-300x=-2x*sqrt(z^2+60^2)
900x^2=4x^2z^2+14400x^2

15.05.2014, 19:41

sulo

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Zitat:

Original von Nome
x^2=z^2+60^2
y^2=(150-x)^2+100^2 //y ist die Schräge des rechten Dreiecks

Warum arbeitest du einmal mit x und einmal mit z?
Die Strecke CT ist x, und sie meinst du doch jedesmal.

Entsprechend seltsam ist dann auch f(z) ausgefallen.

Es sollte besser f(x) heißen, denn x ist unsere (einzige) Variable.

f(x) = sqrt(x²+60²) + sqrt((150-x)²+100²)

smile

smile

15.05.2014, 19:51

Nome

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z beschreibt die Schräge, während x am Fluss liegt.

15.05.2014, 20:00

sulo

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Nochmal: Du suchst AT und FT.
Beides kannst du mit Hilfe von x ausdrücken.

smile

smile

15.05.2014, 20:07

Nome

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Ich wüsste nur wie beschrieben den Pythagoras, mit AT=z und FT=y.

Vielleicht eine virtuelle Linie vonC nach F.

15.05.2014, 20:10

sulo

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Eine Hilfslinie CF brauchen wir (zum Glück) nicht.

Eigentlich habe ich dir die fertige Zielfunktion schon aufgeschrieben:

Zitat:

Original von sulo
f(x) = sqrt(x²+60²) + sqrt((150-x)²+100²)

Du musst nur schauen, dass du sie nachvollziehen kannst.

smile

smile

15.05.2014, 20:14

Nome

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Aber hierfür müsstest ja die Schrägen mit einem gleichen Buchstaben versehen, was bedeuten würde, dass beide Schrägen gleich lang sind.

15.05.2014, 20:23

sulo

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Hmm, du siehst nicht, was ich gemacht habe...

[attach]34277[/attach]

Die erste Schräge ist die Strecke AT.
Ich drücke sie aus durch die blaue (x) und die orangene (60) Strecke: sqrt(x²+60²)

Die zweite Schräge ist die Strecke FT.
Ich drücke sie aus durch die grüne (150-x) und die lila (100) Strecke: sqrt((150-x)²+100²)

Warum sollten AT und FT nun die gleichen Buchstaben haben?

smile

smile

15.05.2014, 20:32

Nome

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Wenn ich es einsetzen möchte, aber dann wären wir wohl wieder bei der Geschichte mit den Bedingungen. Big Laugh

Big Laugh

15.05.2014, 20:35

sulo

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Was meinst du?

Ich habe dir die Zielfunktion aufgeschrieben.
Ich habe dir aufgedröselt, wie sie zustande kommt.
Es gibt keine Nebenbedingungen und wir brauchen auch keine.
x ist die einzige Variable.

Wir drehen uns hier die ganze Zeit im Kreis.

unglücklich

unglücklich

15.05.2014, 20:41

Nome

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Jaja, ich wollte nur meinen Gedankengang begründen. smile

smile

Joah, dann danke dir.

15.05.2014, 20:43

sulo

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Versuche doch mal, die Aufgabe auszurechnen.

smile

smile

15.05.2014, 21:42

Nome

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Sicher, warum nicht.

Wir müssen also ein Minimum finden und das auf eine recht einfache Weise (kein Plan, weshalb es hier keine Nebenbedingung gibt, eigentlich dreht sich in diesen Aufgaben alles darum, aber sei's drum).

Der Weg vom Ausgangspunkt zur Wasserstelle:
sqrt(x^2+60^2)

Der Weg von der Wasserstelle zur Futterstelle:
sqrt((150-x)^2+100^2)

f(x)=sqrt(x^2+60^2)+sqrt((150-x)^2+100^2)=x+60+
f'(x)=x/sqrt(x^2+60^2)-300x/sqrt(32500-300x+x^2)

f'(x)=0
x*sqrt(32500-300x+x^2) = 300x*sqrt(x^2+60^2) Ich cutte das x und potenziere
32500-300x+x^2 = 9750000-90000x+300x^2
9717500-89700x+299x^2 = 0

Und dann Mitternachtsformel.

15.05.2014, 21:58

sulo

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Zitat:

Original von Nome
(kein Plan, weshalb es hier keine Nebenbedingung gibt, eigentlich dreht sich in diesen Aufgaben alles darum, aber sei's drum).

Also, wenn du unbedingt eine NB haben möchtest, dann könnte ich dir eine servieren:
Nimm die von mir grün markierte Strecke TD und nenne sie zunächst z.
Dann kannst du in einem zweiten Schritt sagen: z = 150 - x

Ist aber im Grunde ziemlich überflüssig, weil man gleich sieht, dass die grüne Strecke 150 - x ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zu deiner Rechnung:

Zitat:

f'(x)=x/sqrt(x^2+60^2)-300x/sqrt(32500-300x+x^2)

Der zweite Teil stimmt nicht so ganz: Im Zähler muss (wenn du die 2 schon weggekürzt und das Minus vor den Bruch gezogen hast) 150-x stehen.

smile

smile

15.05.2014, 22:04

Nome

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Nenenene sulo! Alles wunderbar so. Gott, jetz kling ich so undankbar. Big Laugh

Big Laugh

15.05.2014, 22:09

sulo

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Hast du versucht, deine Gleichung zu lösen? Was ist dein Ergebnis?

smile

smile

15.05.2014, 22:14

Nome

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x ist 56,25

15.05.2014, 22:17

sulo

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Das ist richtig. Freude

Freude

Aber mit der Gleichung 9717500-89700x+299x^2 = 0 erhältst du etwas ganz anderes, nämlich x1 = 150-100 i und x2 = 150+100 i

Du hast also einen Fehler in deiner Ableitung.

16.05.2014, 11:35

theniles

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habs grad mal gerechnet, gibts lösungen? will wissen ob ich richtig liege ^^

16.05.2014, 11:48

HAL 9000

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Jetzt nach (Nahezu-)Abschluss der Berechnungen... Die Bestimmung des kürzesten Gesamtweges, und damit zusammenhängend des Punktes $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ , kann statt auf analytischen auch auf geometrischen Weg erfolgen:

[attach]34283[/attach]

Da die Strecke $\begin{eqnarray*} AF' \end{eqnarray*}$ die kürzeste Verbindung zwischen den Punkten $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F' \end{eqnarray*}$ (entspricht der Spiegelung von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ an der Flußufergeraden) ist, ergibt sich nach Strahlensatz für $\begin{eqnarray*} x=|CT| \end{eqnarray*}$ mit optimalem $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ einfach

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{|AC|} = \frac{|CD|-x}{|DF'|} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{60} = \frac{150-x}{100} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 56.25 \end{eqnarray*}$

16.05.2014, 12:51

sulo

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@HAL
Sehr elegante Methode, die Aufgabe auf anderem Weg zu lösen. Freude

Freude

16.05.2014, 12:56

adiutor62

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Hoffentlich ist der Gaul nicht mittlerweile "auf der Strecke geblieben"/ verhungert und verdurstet. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.05.2014, 15:25

EVO18

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Wäre die kürzeste Strecke dann 219,31m ? Also von AT bis TF.

16.05.2014, 15:42

sulo

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Die Strecken AT + TF sind zusammen 219,317 m lang.

smile

smile

edit: Was dann am einfachsten mit dem Pythagoras zu rechnen ist: $\begin{eqnarray*} \sqrt{150^2+160^2} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.05.2014, 19:03

Bürgi

Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Abend,

ich bitte um Entschuldigung, dass ich mich hier einmische, bin auch sofort wieder weg.

sulos Bild hat bei mir einen Reflex ausgelöst, nämlich das Archimedische Reflexionsgesetz:
[attach]34293[/attach]

Wenn die Zeichnung die Aufgabenstellung widergibt, dann wäre dieser Lösungsansatz eine Möglichkeit, die errechnete Lösung zu kontrollieren.

... und tschüss! Wink

Wink

16.05.2014, 19:49

sulo

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@Bürgi

Das ist an dieser Stelle doch kein Einmischen mehr, wir sind ja inzwischen längst bei der Nachlese einer schönen Aufgabe.
Jeder interessierte Beitrag ist also willkommen. smile

smile

Ja, es stimmt schon, dass die Winkel ATC und DTF gleich groß sind. An welche Rechnung hast du gedacht? Es bieten sich mehrere Möglichkeiten an.

smile

smile

17.05.2014, 07:46

Bürgi

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Guten Morgen,

Zitat:

An welche Rechnung hast du gedacht? Es bieten sich mehrere Möglichkeiten an.

Grundsätzlich nehme ich gern die einfachste Möglichkeit, damit ich nicht die Übersicht verliere!
[attach]34299[/attach]
Bei dieser Situation hat man es mit 2 ähnlichen Dreiecken zu tun, es bieten sich also Proportionen an:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{60}=\frac{150-x}{100}~\implies~4x=225 \end{eqnarray*}$

was dann zu der bekannten Lösung führt.

17.05.2014, 10:47

sulo

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Hmm, und worin unterscheidet sich dann deine Rechnung von HALs? verwirrt

verwirrt

17.05.2014, 13:23

HAL 9000

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Eine rhetorische Frage. Da es mir selber auch schon so gegangen ist, dass ich bei längeren Threads schon geäußerte Ideen übersehen habe, tröstet es mich, dass es anderen auch so geht. smile

smile

17.05.2014, 14:19

Bürgi

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Guten Tag,

ich bitte vielmals um Entschuldigung, dass ich HAL9000s Beitrag übersehen habe, kann mir das aber nur so:
http://www.youtube.com/watch?v=vJG698U2Mvo
erklären.

(Zur Erläuterung: Der Link führt auf einen Test, den wir beim Schießtraining einsetzen.)

17.05.2014, 19:01

sulo

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Hmm, den .... habe ich in der Tat nicht gesehen, zwar kurz nebenbei etwas bemerkt, aber nicht bewusst registiert.
Sehr interessant. Freude

Freude

17.05.2014, 20:05

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Das archimedische Reflexionsgesetz liefert die kürzeste Wegstrecke , da ein Lichtweg nach dem Minimalprinzip der geringsten Zeit - ein ZeitMinimum für diesen Lichtweg liefert.

Da die Lichtgeschwindigkeit in beiden Teilstrecken ( Luft ! ) gleich ist, folgert auch ein Minimum des Weges. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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