Vier Fibonaccizahlen mit allen Ziffern 0-9

15.05.2014, 16:55

Morgenroth

Vier Fibonaccizahlen mit allen Ziffern 0-9

Meine Frage:
Gesucht sind vier Zahlen einer Fibonacci-Folge, bei der die Ziffern von 0 bis 9 genau einmal vorhanden sind.

Meine Ideen:
Mathematisch ausgedrückt:
ges.: a,b,c,d

geg.: a+b=c, b+c=d

M.E. nach müssen a und b zweistellig sein, c und d zweistellig.
c wird mit 1xx anfangen und d mit 2xx. Die 0 darf nicht am Ende von a, b und c stehen, da sich sonst eine Endziffer wiederholen würde.
Aber weiter komme ich nicht. Wer kann mir helfen?

16.05.2014, 13:29

RavenOnJ

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RE: Vier Fibonaccizahlen mit allen Ziffern 0-9
Seien die Zahlen $\begin{eqnarray*} a=a_1a_0,b=b_1b_0,c=c_2c_1c_0,d=d_2d_1d_0 \end{eqnarray*}$ , wobei die $\begin{eqnarray*} a_i,b_i,c_i,d_i \end{eqnarray*}$ die Ziffern bedeuten sollen. Wie du schon richtig bemerktest, ist $\begin{eqnarray*} c_2=1,d_2=2 \end{eqnarray*}$ . Die Ziffer 0 kann nur in d vorkommen, also $\begin{eqnarray*} d_0=0\lor d_1=0 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} c_1=0 \end{eqnarray*}$ scheidet aus, da dies mit $\begin{eqnarray*} c_2=1\land d_2=2 \end{eqnarray*}$ nicht kompatibel ist. Alle anderen Ziffern können nicht 0 sein.

Es gibt eine eindeutige Lösung. Da dies vermutlich eine Wettbewerbsaufgabe ist, werde ich die Lösung jetzt aber nicht hinschreiben. Man kann sie aber logisch deduzieren.

Edit: Es wäre noch zu zeigen, warum es keine Lösung der Form $\begin{eqnarray*} a=a_0,\;b=b_2b_1b_0,\;c=c_2c_1c_0,\;d=d_2d_1d_0 \end{eqnarray*}$ , also eine einstellige und drei 3-stellige Zahlen, geben kann. Aber das ist wohl der leichteste Teil des Ganzen.

16.05.2014, 15:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Es gibt eine eindeutige Lösung. Da dies vermutlich eine Wettbewerbsaufgabe ist, werde ich die Lösung jetzt aber nicht hinschreiben. Man kann sie aber logisch deduzieren.

Hmm, nachdem ich durch logisches Schließen auf "es gibt keine Lösung" gekommen bin, erbrachte Bruteforce auch keine. Da muss ich wohl was doppelt verkehrt gemacht haben... Bin gespannt auf die Lösung, und wo mein Blackout liegt. verwirrt

EDIT: Ah ja, ich hatte $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ angenommen wie bei der "echten" Fibonacci-Folge. Darf man wohl hier nicht machen. Big Laugh

16.05.2014, 15:15

RavenOnJ

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@HAL
Ich schreibe es dir in einer PN.

16.05.2014, 15:15

HAL 9000

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Nicht mehr nötig.

16.05.2014, 15:20

RavenOnJ

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@HAL
Interessante Denksportaufgabe, vor allem der Beweis, dass es die einzige Lösung ist.

16.05.2014, 15:41

HAL 9000

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Naja, so ein richtig schöner Weg ist mir da noch nicht eingefallen:

Zitat:

Ich würde mich modulo 10 über die letzten Ziffern hangeln, in dem Zusammenhang fällt (abgesehen von deinen Betrachtungen der 0) noch b_0 != 5 auf. Aber das sind trotzdem noch (zu) viele Fälle.

Global kriegt man schnell raus, dass b durch 3 teilbar sein muss, was bei bekannten b_0 die Möglichkeiten für b_1 zumindest ordentlich verringert.

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