Maximum Likelihood Schätzung

15.05.2014, 19:58	Kitty987	Auf diesen Beitrag antworten »
Maximum Likelihood Schätzung Meine Frage: Bestimmen Sie eine Maximum-Likelihood-Schätzung für den Parametervektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ einer auf dem Intervall $\begin{eqnarray} (\alpha, \beta), \alpha < \beta \end{eqnarray}$ gleichmäßigen Verteilung. Meine Ideen: Hallo, ich glaub die Aufgabe ist gar nicht schwer, aber irgendwie komme ich damit so überhaupt nicht klar. Weiß auch gar nicht, wie ich anfangen soll und bin daher für jeden Tipp dankbar!
15.05.2014, 20:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja, der Anfang wäre doch, die Likelihoodfunktion aufzustellen - dann mal los!
15.05.2014, 20:40	Kitty987	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja da fängt es schon an. Ich hab folgende Likelihoodfunktion: $\begin{eqnarray} L(\alpha,\beta,x)=\frac{1}{\beta-\alpha} \Leftrightarrow \alpha \leq x \leq \beta \end{eqnarray}$ und sonst 0. Glaube aber das das falsch ist oder?
15.05.2014, 20:43	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist richtig, wenn die Stichprobe nur aus einem Wert $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ besteht. Für $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Werte $\begin{eqnarray} x_1,x_2,\ldots,x_n \end{eqnarray}$ sind die entsprechenden Dichtewerte zu multiplizieren - das ist dann erst die wirkliche Likelihoodfunktion $\begin{eqnarray} L(\alpha,\beta,x_1,\ldots,x_n) \end{eqnarray}$ .
15.05.2014, 20:52	Kitty987	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, das bedeutet also $\begin{eqnarray} L(\alpha,\beta,x_1,...,x_n)= \frac{n}{\beta-\alpha} \Leftrightarrow \alpha \leq x_i \leq \beta, i=1,...,n \end{eqnarray}$ und sonst 0, richtig? Wie komme ich denn jetzt zu der Maximum Likelihood-Schätzung?
15.05.2014, 21:27	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Multiplikation, nicht Addition. Es ist also $\begin{eqnarray} L(\alpha,\beta,x_1,\ldots,x_n) = \begin{cases} \displaystyle\frac{1}{(\beta-\alpha)^n} &\;\mbox{falls}\; \alpha \leq x_i \leq \beta \quad\mbox{\bf für alle (!)}\quad i=1,\ldots,n \\[2ex] 0 &\;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray}$ . Und das ist jetzt für feste $\begin{eqnarray} x_1,\ldots,x_n \end{eqnarray}$ bezüglich $\begin{eqnarray} \alpha,\beta \end{eqnarray}$ zu maximieren. Zunächst mal kann man die Bedingung in der ersten Zeile umformulieren: $\begin{eqnarray} L(\alpha,\beta,x_1,\ldots,x_n) = \begin{cases} \displaystyle\frac{1}{(\beta-\alpha)^n} &\;\mbox{falls}\; \alpha \leq \min\{x_1,\ldots,x_n\}\;\mbox{und}\; \max\{x_1,\ldots,x_n\} \leq \beta\\[2ex] 0 &\;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray}$ .
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16.05.2014, 13:23	Kitty987	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann es denn sein, dass der ML-Schätzer für $\begin{eqnarray} \alpha=min(x_1,...,x_n) \wedge<br /> \beta=max(x_1,...,x_n) \end{eqnarray}$ ist? Vielen Dank aber schon mal für die Hilfe bis hierher!
16.05.2014, 13:28	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist er. Jetzt musst du dir noch klarmachen, wieso: Wenn du $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ kleiner und/oder $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ größer wählst, dann sinkt der Likelihood-Wert $\begin{eqnarray} \frac{1}{(\beta-\alpha)^n} \end{eqnarray}$ - schlecht im Sinne der Maximierung. Was aber passiert, wenn du $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ größer oder $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ kleiner wählst?

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