Abschnittsweise definierte Funktion

15.05.2014, 23:32

Bullop

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Abschnittsweise definierte Funktion

Hallo,

Die Ausgangsfkt. lautet

ax³ -2x+5 wobei gilt: x<gleich 2
-x²+bx-7 wobei gilt: x>2

Dazu habe ich die bereits a und b ermittelt. a=0,5 und b=8.
Aowie auch die NST: x1= -2,76, x2=1 (entfällt) x3= 7.
Und die Fläche der beiden Fkten. FE= 55,49FE.

Jetzt kommt eine weitere Funktion hinzu die als Gk bezeichnet wird. Die obrige heißt gfk

k(x) = 3/8x²-3/2x+1/2. Bestimmen Sie rechnerisch die Stelle x, an der die Graphen gf und gk parallel verlaufende monoton steigende Tangenten besitzen.

Könnte mir jemand bei dieser AUfgabe weiterhelfen?

FG: Bullop

16.05.2014, 00:23

10001000Nick1

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RE: Abschnitt definierte Funktion
Die Funktion lautet also $\begin{eqnarray*} gf(x)=\begin{cases} ax^3-2x+5 &, x\leq 2 \\ -x^2+bx-7 &, x>2 \end{cases} \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Bullop
Dazu habe ich die bereits a und b ermittelt. a=0,5 und b=8.

Wie hast du diese Werte bestimmt? Sollen a und b bestimmte Eigenschaften erfüllen?

Und dann kommt also noch eine Funktion $\begin{eqnarray*} gk \end{eqnarray*}$ dazu? Wie ist die denn definiert?
Und wozu gibt es dann noch die Funktion k?

17.05.2014, 17:27

Bullop

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Ich schreibe mal den gesamten Aufgabenkomplex hinein, damit keine Missverständnisse mehr auftreten.

Also Zu Anfang sind abschnittsweise definierte Funktionen fa,b durch die die bereits
geschriebene Funktion $\begin{eqnarray*} gf(x)=\begin{cases}ax^3-2x+5&,x\leq2\\-x^2+bx-7&,x>2\end{cases} \end{eqnarray*}$

Dabei gilt für diese Funktion der Definitionsbereich : Dfa,ba,b =R
sowie a,b E R.

1. Zuerst ist gefragt. dass man die Parameter a und b so berechnen soll, dass die Funktion fa,b an der Stelle x = 2 stetig und differenzierbar ist. Dazu meine Lösung :

Zuerst 1. Ableitung bilden :

$\begin{eqnarray*} g(x) = ax³-2x+5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g ' (x) = 3ax²-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(x) = -x²+bx-7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h' (x) = -2x+b \end{eqnarray*}$

Wenn man nun x=2 in g einsetzt. also

$\begin{eqnarray*} g(2) = h(2) -----> stetig \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(2) = h'(2) -----> differenzierbarkeit \end{eqnarray*}$

wird dies einfach vorausgesetzt.

Nun setzte ich die 2 in g und h, sowie in g' und h' ein für x und erhalte folgendes:

$\begin{eqnarray*} g(2) = 8a+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h(2) = 2b-11 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(2) = 12a-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h'(2) = b-4 \end{eqnarray*}$

Jeztzt kann ich jeweils g und h gleichsetzen, sowie auch g' und h', und erhalte somit ein Gleichungssystem.

8a+1 = 2b-11
12a-2 = -2

$\begin{eqnarray*} 1 : 8a-2b = -12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2 : 12a-b = -2 \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich für $\begin{eqnarray*} a = 0,5 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} b=8 \end{eqnarray*}$

2. Als nächstes sollen die Nst berechnet werden:

Mit dem Taschenrechner erhalte ich dann, nachdem ich die Gegeben Funktionen gzeichnet habe 3 Nst. $\begin{eqnarray*} x1 = -2,76 x2= 1 und x3= 7. \end{eqnarray*}$

Wie bereits gesagt entfällt $\begin{eqnarray*} x2=1 \end{eqnarray*}$ , da diese Nst zur FUnktion $\begin{eqnarray*} -x²+bx-7 \end{eqnarray*}$ gehört und der Bedingung x>2 nicht erfüllt.

3. Als nächstes ist eine Skizze zu zeichnen, welche man sich im Taschenrechner jedoch anzeigen lassen kann.

4. Daraufhin soll die Flächeninhalt berechnet werden.

Dabei bildet man das Integral -2,76 bis 2 g(x) dx + 2 bis 7 h(x) dx

Dabei rechnet man die beiden einzeln aus und erhält zum einen 22,16, und zum anderen 33,33.
Diese addiert man und erhält eine Gesamtfläche von 55,49 FE.

5. Nun ist zu der oben genannt f Funktion eine weitere Funktion gegeben, die als g Funktion bezeichnet wird.

$\begin{eqnarray*} g(x) = 3/8 x² - 3/2x + 1/2 \end{eqnarray*}$ , dabei gild D = Dg

Und dazu ist gefragt: Bestimmen Sie rechnerisch die Stelle x, an der die Graphen Gfund Ggg parallel verlaufende, monoton steigende Tangenten besitzen.

Und an dieser Stelle ist mir der weitere Weg unklar.

FG: Bullop

18.05.2014, 15:31

10001000Nick1

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1. und 2. sind richtig.

Welcher Flächeninhalt soll bei 4. bestimmt werden? Die Fläche, die von der Funktion und der x-Achse eingeschlossen wird? Dann stimmt auch das.

Die Ableitung an der Stelle x gibt ja die Steigung der Tangente an dieser Stelle an. Du musst also die Stellen bestimmen, an denen beide Funktionen dieselbe Ableitung besitzen.

18.05.2014, 16:07

Bullop

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Ja, bei 4. mittels Abzissenachse.

Muss ich da folgendermaßen vorgehen, indem ich $\begin{eqnarray*} 1/2x³ -2x+5 = 3/8x²-3/2x+1/2 \end{eqnarray*}$ ausrechne. Un dann davon die Extremstelle ausrechne?
Und das gleiche dann auch mit der anderen Gleichung $\begin{eqnarray*} -x²+ 8x-7 = 3/8x²-3/2x+1/2 \end{eqnarray*}$ ?

18.05.2014, 16:13

10001000Nick1

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Nein, du musst die Ableitungen der Funktionen gleichsetzen und das dann nach x auflösen.

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18.05.2014, 16:35

Bullop

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g'(x) = k'(x)

$\begin{eqnarray*} 3/2x²-2 = 3/4x - 3/2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3/2x²-3/4x-1/2 =0 /*2/3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x²-1/2x-1/3= 0 \end{eqnarray*}$

x1= -1/4 Wurzel 19/48
x2= 1/4 Wurzel 19/48 ?

18.05.2014, 16:43

10001000Nick1

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Diese Stellen sind richtig. Es gibt aber noch eine.

18.05.2014, 17:00

Bullop

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$\begin{eqnarray*} h'(x) = k'(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2x+8 = 3/4x -3/2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x3= 3,87 \end{eqnarray*}$ ?

18.05.2014, 17:01

10001000Nick1

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Beim Auflösen nach x hast du wohl irgendwo einen Fehler gemacht.

18.05.2014, 17:10

Bullop

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$\begin{eqnarray*} -2x+8 = 3/4x-3/2 / -3/4x + 3/2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2,45x + 9,5 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2,45x = -9,5 / : (-2,45) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x3= 3,88 \end{eqnarray*}$

18.05.2014, 17:15

10001000Nick1

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$\begin{eqnarray*} -2-\frac{3}{4}\neq -2,45 \end{eqnarray*}$

18.05.2014, 17:17

Bullop

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Sry das verstehe ich jetzt nicht

18.05.2014, 17:20

Bullop

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Achso jetzt habe ich es germerkt smile

smile

18.05.2014, 17:22

10001000Nick1

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Du hast doch die Gleichung $\begin{eqnarray*} -2x+8=\frac{3}{4}x-\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ und willst da auf beiden Seiten $\begin{eqnarray*} -\frac{3}{4}x+\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ rechnen.

Und da kommt eben nicht $\begin{eqnarray*} -2,45x + 9,5 = 0 \end{eqnarray*}$ raus.

Edit: Hatte deinen letzten Beitrag noch nicht gesehen. smile

smile

18.05.2014, 17:22

Bullop

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$\begin{eqnarray*} x3= 3,45 \end{eqnarray*}$

18.05.2014, 17:25

10001000Nick1

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Richtig.

smile

Du solltest da aber den genauen Wert $\begin{eqnarray*} \frac{38}{11} \end{eqnarray*}$ stehen lassen. Denn wenn du vielleicht mit diesen Ergebnissen weiter rechnen musst, kann so ein gerundeter Wert dann zu großen Fehlern führen.

18.05.2014, 17:32

Bullop

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Okay, danke für den Tipp.

Ich habe jetzt 3 Nullstellen ausgerechnet: x1= -1/4 Wurzel 19/48
x2= 1/4 Wurzel 19/48
x3= 38/11

Wäre das dann schon das Ergebnis?

18.05.2014, 17:36

10001000Nick1

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Oben habe ich doch noch einen Fehler übersehen. Du hast geschrieben $\begin{eqnarray*} x_1=-\frac{1}{4}\sqrt{\frac{19}{48}}, x_2=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{19}{48}} \end{eqnarray*}$

Richtig ist aber $\begin{eqnarray*} x_1=\frac{1}{4}+\sqrt{\frac{19}{48}}, x_2=\frac{1}{4}-\sqrt{\frac{19}{48}} \end{eqnarray*}$

Zusammen mit $\begin{eqnarray*} x_3=\frac{38}{11} \end{eqnarray*}$ sind das die drei Stellen, an denen die beiden Funktion dieselbe Ableitung besitzen, also die Tangenten den gleichen Anstieg haben.

18.05.2014, 17:40

Bullop

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In der Frage steht, dass ''parallel verlaufende monoton steigende...''. Das monoton hat nichts mit monotnieverhalten zu tun oder würde das dann sonst so dastehen?

18.05.2014, 17:42

10001000Nick1

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Das "monoton steigende" hatte ich überlesen. D.h. die Tangente soll monoton steigend sein.
Dann fällt doch noch eine Stelle weg. Welche?

18.05.2014, 17:45

Bullop

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Die Stelle x3= 38/11 , weil sie zu den x1 und x2 keinen Zusammenhang hat?

18.05.2014, 17:48

10001000Nick1

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Ich hatte mich oben verschrieben, es fallen noch zwei Stellen weg. D.h. es gibt nur eine Stelle, an der beide Funktionen parallel verlaufende monoton steigende Tangenten haben.

Was meinst du mit "Zusammenhang zu den anderen Stellen"?

Was muss denn an einer Stelle gelten, damit die Tangente an dieser Stelle monoton steigend ist?

18.05.2014, 17:58

Bullop

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1. Ableitung?

18.05.2014, 17:59

10001000Nick1

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Was ist damit?

18.05.2014, 18:04

Bullop

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Ich weiß nicht was an der Stelle gelten soll, damit die Tangente an dieser Stelle monoton steigend ist.

18.05.2014, 18:06

10001000Nick1

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Der Anstieg soll positiv sein. Und den Anstieg gibt die erste Ableitung an. Die erste Ableitung muss also positiv sein.
Du muss jetzt gucken, an welcher von den drei berechneten Stellen die Ableitung positiv ist.

18.05.2014, 18:13

Bullop

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$\begin{eqnarray*} g'(x) = 3/2 x² -2 \end{eqnarray*}$ ist positiv und $\begin{eqnarray*} k' (x) = 3/4x -3/2 \end{eqnarray*}$ ist positiv

18.05.2014, 18:16

10001000Nick1

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Aber nicht für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Du musst einfach nur die berechneten Stellen in die Ableitung von k bzw. gf einsetzen und gucken, an welchen von diesen Stellen die Ableitung positiv ist.

18.05.2014, 18:27

Bullop

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Sind denn 1/4 - Wurzel 19/48 und 1/4 + Wurzel 19/48 reele Zahlen?

Hätte asonst auf 38/11 getippt. Habe aber jede einzelne Nst in die Ausgangsgleichung von k(x), also
3/8x² -3/2 x +1/2 eingesetzt, und erhalte bei x2 = 1/4 + Wurzel 19/48 die einzigsten positiven Wert.

18.05.2014, 18:28

10001000Nick1

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Du musst einfach nur die berechneten Stellen in die Ableitung von k bzw. gf einsetzen

Wieso sollten das keine reellen Zahlen sein?

18.05.2014, 18:33

Bullop

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Da erhalte ich für 38/11 einen positiven Wert

18.05.2014, 18:34

10001000Nick1

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Richtig. Bei den anderen beiden Stellen erhältst du negative Werte.

D.h. $\begin{eqnarray*} x=\frac{38}{11} \end{eqnarray*}$ ist die einzige Stelle, an der die Funktionen parallel verlaufende monoton steigende Tangenten besitzen.

18.05.2014, 18:42

Bullop

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Okay danke. Jetzt ist noch bei der letzten Aufgabe gefragt:

6. : Die Graphen Gf und Gg grenzen eine Fläche ein, und es soll der Inhalt errechnet werden.
Ich habe die 3 FUnktionen in meinem Taschenrechner anzeigen lassen, jedoch erscheint eine Fehlermeldung wenn ich die Nst. bestimmen möchte. Gibt es einen anderen Weg diese zu berechnen?

18.05.2014, 18:45

10001000Nick1

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Was sind denn jetzt die Graphen Gf und Gg? D.h. von welchen Funktionen? Und wieso hast du jetzt plötzlich drei Funktionen? verwirrt

verwirrt

18.05.2014, 18:51

Bullop

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$\begin{eqnarray*} 1/2 x³ -2x+5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -x²+8x-7 \end{eqnarray*}$ stehen für Gf.
Und $\begin{eqnarray*} 3/8 x² -3/2 x +1/2 \end{eqnarray*}$ steht für Gg. Eigentlich heißt die Funktion $\begin{eqnarray*} g(x) = 3/8 x² -3/2 x +1/2 \end{eqnarray*}$ , aber ich habe sie in k umgewandelt, um es mit der $\begin{eqnarray*} 1/2 x³ -2x+5 \end{eqnarray*}$ nicht zu verwechseln.

18.05.2014, 19:10

10001000Nick1

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Du musst die Differenzfunktion gf-k bilden.
Davon berechnest du die Nullstellen. Das geht aber auch per Hand, ohne Taschenrechner.

18.05.2014, 19:16

Bullop

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Gf scheint 2 Funktionen zu beinhalten. 1/2x³-2x+5 und -x²+8x-7.
Muss ich hier erst die Differenzfunktion bilden und dann nochmals aus dem Ergebnis die Differezfunktion mit k(x) bilden?

18.05.2014, 19:19

10001000Nick1

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gf ist eine(!) Funktion, die definiert ist durch $\begin{eqnarray*} gf(x)=\begin{cases} ax^3-2x+5 &, x\leq 2 \\ -x^2+bx-7 &, x>2 \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Die Differenzfunktion von gf und k ist $\begin{eqnarray*} (gf-k)(x)=\begin{cases} \frac{1}{2}x^3-2x+5-k(x) &, x\leq 2 \\ -x^2+8x-7-k(x) &, x>2 \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

18.05.2014, 19:36

Bullop

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Erhalte zum einen x³-3/4x² -x +9= 0
Und zum anderen : $\begin{eqnarray*} x²-76/11x + 60/11 = 0 \end{eqnarray*}$
Wäre das ersteinmal so richtig?

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