Determinante bei Charakteristischer Funktion vereinfachen

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16.05.2014, 23:57	Matheneuling1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante bei Charakteristischer Funktion vereinfachen Guten Tag alle zusammen, hier mal eine Frage, die für die meisten sehr einfach sein dürfte; Gegeben sei folgende Matrix: $\begin{eqnarray} \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 4 & 8 & 1 \\ -4 & 1 & 8 \\ 7 & -4 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich möchte jetzt die charakteristische Funktion berechnen zwecks Eigenwerte und Eigenvektoren; Der Ansatz ist dementsprechend einfach: $\begin{eqnarray} det(\frac{1}{9} \begin{pmatrix} 4-\lambda & 8 & 1 \\ -4 & 1-\lambda & 8 \\ 7 & -4 & 4-\lambda \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ Das $\begin{eqnarray} \frac{1}{9} \end{eqnarray}$ kann ich leicht aus der Determinante nehmen(muss es aber mit 3 potenzieren, weil ich es pro Zeile 1 mal aus der Determinante nehme) Aber schon jetzt ist ersichtlich, dass es eine Riesenarbeit ist, die Determinante so zu berechnen. Bei einer 4x4 Matrix wäre der Aufwand nochmals erheblich größer.. Mit elementaren Zeilen und Spaltenumformungen komme ich aber irgendwie auf keine vernünftige Vereinfachung... Kann jemand ein Tipp geben, wie ich bei der Matrix und auch generell bei solchen Matrizen die Determinante vereinfachen kann? Danke!
17.05.2014, 00:19	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Determinante lässt sich mittels Entwicklung nach den Elementen einer Zeile oder Spalte relativ leicht berechnen (jeweils Element mal 2-reihiger Unterdeterminante) ... Edit: Unrichtiges entfernt. mY+
17.05.2014, 00:22	Matheneuling1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Sprich es gibt keine Möglichkeit durch Zeilen/Spaltenumformungen das effizient umzuformen, richtig? EDIT: Natürlich muss das auf der Diagonale - 9* Lambda sein und nicht -Lambda.. Aber auch hier komme ich durch Umformungen nicht wirklich weiter..
17.05.2014, 00:23	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist so aber kritisch. Das charakteristische Polynom zu einer Matrix $\begin{eqnarray} A \in M_{n\times n}(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ berechnet sich ja mit $\begin{eqnarray} \chi_A(\lambda)=\det (A-\lambda \cdot E_n) \end{eqnarray}$ , jetzt ist in deinem Fall $\begin{eqnarray} A=\frac{1}{9} \begin{pmatrix} 4 & 8 & 1 \\ -4 & 1 & 8 \\ 7 & -4 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} A-\lambda \cdot E_3 = \begin{pmatrix} \frac{4}{9} & \frac{8}{9} & \frac{1}{9} \\ -\frac{4}{9} & \frac{1}{9} & \frac{8}{9} \\ \frac{7}{9} & -\frac{4}{9} & \frac{4}{9} \end{pmatrix} - \lambda \cdot E_3 = \begin{pmatrix} \frac{4-9\cdot \lambda}{9} & \frac{8}{9} & \frac{1}{9} \\ -\frac{4}{9} & \frac{1-9\cdot \lambda}{9} & \frac{8}{9} \\ \frac{7}{9} & -\frac{4}{9} & \frac{4-9\cdot \lambda}{9} \end{pmatrix} \neq \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 4-\lambda & 8 & 1 \\ -4 & 1-\lambda & 8 \\ 7 & -4 & 4-\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . EDIT: Bin raus.
17.05.2014, 00:27	Matheneuling1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt... Das habe ich auch gerade gemerkt.. Kleiner Fehler auf meiner Seite.. Aber ich komme trotzdem durch Umformungen nicht weiter; Ich wollte eigentlich auch nur generell wissen, ob es die Möglichkeit zur Vereinfachung gibt oder ob man einfach in den sauren Apfel beißen muss und alles Schritt für Schritt mit Entwicklung nach einer Zeile/Spalte ausrechnen muss..
17.05.2014, 00:38	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch mittels Zeilen- / Spaltenumformungen kommst du in der Regel auf den Wert der Determinante. Die Rechnung gestaltet sich aber in diesem Fall deswegen wahrscheinlich kaum einfacher. _____________ Im Vorpost habe ich einen Teil, der nicht stimmte, entfernt. mY+
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17.05.2014, 00:45	Matheneuling1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, das wollte ich wissen.. Danke!
17.05.2014, 00:51	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das charakteristische Polynom müsste sich als $\begin{eqnarray} -\lambda^3 + 9 \lambda^2-81 \lambda + 729 = - (\lambda-9)(\lambda^2+81) \end{eqnarray*}$ ergeben, und dieses liefert einen reellen und 2 imaginäre Eigenwerte. mY+
17.05.2014, 01:08	Matheneuling1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du die ursprüngliche, falsche, charakteristische Funktion mit -Lambda oder die richtige mit -9 Lambda? Falls 2. musst du dich wohl verrechnet haben: Da kommt ein ganz schönes Ergebnis raus: -lambda^3+lambda^2-lambda+1 und daher sind die Nullstellen x=1 x=i und x=-i
17.05.2014, 01:19	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach ja, das war ja deine ursprünglich nicht zutreffende Funktion, sorry. Im 2. Anlauf sind die richtigen EW dann tatsächlich 1; i ; - i So stimmt es. mY+
17.05.2014, 01:27	Matheneuling1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Hilfe..
17.05.2014, 12:28	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe auch noch einen Hinweis: http://de.wikipedia.org/wiki/Determinant...ntwicklungssatz Der Laplace'sche Entwicklungssatz kann dir viel Arbeitszeit ersparen, wenn du diesen erst richtig anwenden kannst. Ein Einstieg dazu kann z.B. dieses Video bieten: YouTube - Laplace'scher Entwicklungssatz ~15min Es beschreibt genau das Vorgehen, was dir mYthos in seinem ersten Post nahelegen wollte. Das richtige Anwenden dieses Entwicklungssatzes macht es dir möglich - wenigstens theoretisch - die Determinante im Kopf von einer 7x7 Matrix zu bestimmen. Je nach Übung auch höher. In einigen Prüfungen der Linearen Algebra treten "Jordan'sche Normalformen" auf. Diese müssen berechnet werden und hierzu brauchst du dann die Determinante. Meine Prüfung damals enthielt eine 7x7 Matrix. Auch gibt es Tricks Matrizen mit einander effektiv zu multiplizieren. (Von links: ändern Zeilen, von rechts: ändern Spalten) Viele Grüße

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