DGL -Jacobi (Bruch)

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17.05.2014, 23:48	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL -Jacobi (Bruch) Hallo, ich sitze zur Zeit an folgender Aufgabe: $\begin{eqnarray} y' = \frac {-4x-3y+1}{3x+4y+1} \end{eqnarray}$ Die ist ja (laut Vorlesung) eine vom "Jacobi-Typ". Die Matrix aus den Koeffizienten von x und y im Zähler und Nenner ist ungleich Null, das habe ich schon kontrolliert, als Ansatz bekomme ich: $\begin{eqnarray} u(x):= y(x+x_0)-y_0 \end{eqnarray}$ Wobei ich x0 und y0 aus der Multiplikation erhalten habe: $\begin{eqnarray} (x_0,y_0)^T = \vec t = A^{-1} \cdot (-c,-\gamma)^T, c,\gamma =1 \end{eqnarray}$ (c aus dem Zähler, Gamma aus dem Nenner) Als Ergebnis: $\begin{eqnarray} \vec t = (1,-1)^T \end{eqnarray}$ So, wir haben in der Vorlesung nur gesagt, wie man ungefähr vorgeht, Begründungen warum, oder Anmerkungen gab es nicht, weswegen ich ab hier hänge: Man solle wie oben das u(x) setzen, und daraus eine neue Funktion erhalten, $\begin{eqnarray} h(\frac xy) \end{eqnarray}$ , die eben nur noch vom Bruch x/y abhängt. Ich verstehe eigentlich dann alles AB der Substitution, wenn man jene Funktion schon gefunden hat und einfach den Bruch substituiert, jedoch ist mir nicht ganz klar, wie ich diese Funktion h erzeuge, also wie ich mit meinem $\begin{eqnarray} (x_0,y_0)^T \end{eqnarray}$ , diese erzeuge. Könnt ihr mir einen Tipp geben? In der einen "Vorrechnung" ist dies nur ein (unkommentierter) Schritt, also wird es vielleicht garnicht so schwer sein, aber ich sehe halt nicht nach welchem Schema dort gearbeitet wird. Bin für Hilfen & Tipps dankbar!
18.05.2014, 23:26	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, ist wohl ne sehr spezifische Frage :/ Ich bin aber auch für jegliche Tipps dankbar, die die DGL anders lösen können. Ich hänge wie gesagt noch an der Substitution, bzw. eher an dem Schritt davor. Danke und gute Nacht!
18.05.2014, 23:29	MannyC	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube hier muss x ausgeklammert werden, dann handelt es sich um y`=f(y/x), wobei u=y/x substituiert werden muss. Danach u`=du/dx setzen und Variablentrennung anwenden. Integrallösen nach u umformen und Rücksubstituieren mit y=ux. Werde es jetzt mal selbst ausprobieren.
19.05.2014, 07:26	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt 2 weitere Möglichkeiten , diese Aufgabe zu lösen 1.) Siehe Punkt 6 ) Jacobi DGL Dort ist genau beschrieben , wie man sowas löst . http://www.uni-magdeburg.de/exph/mathe_gl/dgl2.pdf 2.) oder als exakte DGL lösen Du multipliziert beide Seiten mit dem Nenner und setzt y'= dy/dx und erhälst: $\begin{eqnarray} dy(3x+4y+1) +dx(4x+3y-1)=0 \end{eqnarray}$ Es ist $\begin{eqnarray} P_{y} = Q_{x} = 3 \end{eqnarray}$
19.05.2014, 10:46	MannyC	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal eine Frage. Wäre meine Möglichkeit nicht richtig ?
19.05.2014, 11:06	MannyC	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, ich muss zugeben als exakte DLG ist das ganze besser lösbar und ich denke das wäre auch der beste Ansatz. Und man erkennt diese exakte DLG hier ebenfalls dadurch, da sie gegeben ist durch y`=-(g(x,y))/(h(x,y)) Danke schön!
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19.05.2014, 13:44	MannyC	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin jetzt auf $\begin{eqnarray} 2x^{2}+ 2y^{2}+3yx-x+y=C \end{eqnarray}$ gekommen. Wenn das richtig ist (?) sollte ich nun y bestimmen und ich denke das funktioniert hier nur über pq-Formel/Quadratische Ergänzung?
19.05.2014, 14:14	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Welches Verfahren hast Du zur Berechnung genommen? (exakte DGL) ?
19.05.2014, 14:17	MannyC	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, so ist es. Dann habe ich die Integralterme nach Formel zusammengefasst und diese sind gleich der Konstanten C. Am Ende komm ich auf den oben genannten Term. Hier bereitet es mir nun Probleme y zu bestimmen.
19.05.2014, 15:55	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ergebnis stimmt . Über die pq Formel kannst Du nach y umstellen.
19.05.2014, 16:19	MannyC	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, dann probier ich das mal nun. $\begin{eqnarray} 2x^{2}+ 2y^{2}+3yx-x+y=C \end{eqnarray}$ ist äquivalent zu $\begin{eqnarray} y^{2}+y\frac{3x+1}{2}+x^{2}-\frac{x-C}{2}=0 \end{eqnarray}$ Die Lösungen werden dann über Quadratische Ergänzung (PQ-Formel) berechnet, es folgen die zwei Lösungen der exakten DGL 1. Ordnung $\begin{eqnarray} y_{1}=-\frac{p}{2} + \sqrt{\left(\frac{p}{2} \right)^{2} -q} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_{2}=-\frac{p}{2} + \sqrt{\left(\frac{p}{2} \right)^{2} -q} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} P=\frac{3x+1}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} q=x^{2}- \frac{x-C}{2} \end{eqnarray*}$ Wäre das richtig und die Aufgabe somit gelöst?
19.05.2014, 16:32	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie genau hast du denn die Terme Integriert? Mein Problem ist das durch $\begin{eqnarray} dy(3x+4y+1)+dx(4x+3y-1)=0 \end{eqnarray}$ gemischte Terme Vorliegen, also dy mit x etc., oder gibt es da eine Möglichkeit multiplikativ zu arbeiten?
19.05.2014, 16:43	MannyC	Auf diesen Beitrag antworten »
Es wird wie folgt berechnet .matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_{}^{}%20\!%20g%28x;y%29\,%20dx%20+%20\int_{}^{}%20\!%20\left[h%28x;y%29-\int_{}^{}%20\!%20\frac{dg}{dy}%20\,%20dx%20\right]%20\,%20dy%20=%20C Häng am anfang noch ein www dran.
19.05.2014, 16:44	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe es jetzt so gemacht, wie du vermutlich, also einfach drüber Integriert, allerdings erhalte ich: $\begin{eqnarray} 2y^2 +3xy +y = -2x^2c-3xy +x + C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow 2y^2+2x^2+6xy+y-x=C \end{eqnarray}$
19.05.2014, 16:50	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
@MannyC Ich habe als Endergebnis erhalten: $\begin{eqnarray} y_{1.2} = \frac{1}{4} (-1-3x \pm \sqrt{-7x^2 +14x +1 +8C} \end{eqnarray}$
19.05.2014, 16:55	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Demnach hab ich anscheinend falsch integriert, aber ich wüsste nicht warum :O Wenn ich auf der einen Seite 3x nach y integriere und dann nochmal beim 2. Term 3y nach x, dann erhalte ich doch effektiv 6xy, oder? o_o
19.05.2014, 17:05	MannyC	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich $\begin{eqnarray} 2x^{2}+ 2y^{2}+3yx-x+y=C \end{eqnarray}$ äquivalent umforme zu $\begin{eqnarray} y^{2}+y\frac{3x+1}{2}+\frac{x(2x-1)-C}{2}=0 \end{eqnarray}$ und nun quadratisch ergänze folgt $\begin{eqnarray} y_{1/2}=\frac{3x+1}{4} \pm \sqrt{\frac{(3x+1)^{2} }{16} -\frac{x(2x-1)-C}{2} } \end{eqnarray*}$ Wo ist denn der Fehler genau, weil ich das nun 3x so gerechnet habe ?
19.05.2014, 17:08	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Es muß stehen: $\begin{eqnarray} y_{1.2} =\frac{-1 -3x}{4 } \pm ..... \end{eqnarray}$
19.05.2014, 17:10	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Manny, du musst eigentlich nur die Klammern in der Wurzel auflösen und die Brüche auf einen Nenner bringen, danach noch 1/4 nach vorne und dann hast du das selbe wie der Löwe Ich komm trotzdem nicht auf das 3xy
19.05.2014, 17:14	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich zeig's vielleicht nochmal: $\begin{eqnarray} \int (3x+4y+1)dy+ \int (4x+3y-1)dx=C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow 2y^2+3xy+y+2x^2+3xy-x=C \end{eqnarray}$ Oder übersehe ich was? /Edit:// Manny ich kann deinen Link nämlich nicht richtig darstellen...
19.05.2014, 17:20	MannyC	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ja auch nicht ganz richtig. Es muss heißen .matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_{}^{}%20\!%20g%28x;y%29\,%20dx%20+%20\int_{}^{}%20\!%20\left[h%28x;y%29-\int_{}^{}%20\!%20\frac{dg}{dy}%20\,%20dx%20\right]%20\,%20dy%20=%20C Bitte häng am Anfang www dran und aktulisere die Seite paar mal. Edit: Geduldige dich einen moment bitte, ich schreibe sie mithilfe Latex auf.
19.05.2014, 17:22	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Aktualisieren hat leider auch nichts genützt, F5 hat am Bild nichts verändert, ich sehe sehr viele "%" Zeichen... aber keine Funktion Edit:// Achso, sorry alles klar
19.05.2014, 17:24	MannyC	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int_a^b \! g(x;y) \, dx +\int_a^b \! \left[h(x;y) -\int_a^b \! \frac{dg}{dy}dx \right] \, dy = C \end{eqnarray}$ Selbstverständlich sollen die Grenzen ignoriert werden (Ich wusste nicht wie ich sie auslassen kann).
19.05.2014, 17:26	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Darf ich fragen woher du die Formel hast? Ich seh nämlich nicht so ganz, was g(x,y) ist # Edit:// Ich sehe allerdings, dass du g,h(x,y) vorhin definiert hattest, das versteh ich also.
19.05.2014, 17:30	MannyC	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sind die zwei Teilfunktionen von deiner exakten DGL. Wenn du die AusgangsDGL äquivalent umformst kommst du auf $\begin{eqnarray} dy(3x+4y+1) +dx(4x+3y-1)=0 \end{eqnarray}$ Wobei (4x+3y-1):=g(x;y) und (3x+4y+1):=h(x;y) ist. Edit: Deine exakte DGL sieht doch wie folgt aus g(x;y)dx+h(y;x)dy=0 Jetzt sollte es klar sein.
19.05.2014, 17:33	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo, ok; nur den Ansatz deiner Formel, speziell die Subtraktion $\begin{eqnarray} - \int \frac {dg}{dy} dx \end{eqnarray}$ verstehe ich leider nicht, sorry :/
19.05.2014, 17:46	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
So, habe mir die Frage gegooglet, sorry ich wusste nicht, dass das ein Lösungsverfahren ist. Das Gelbe Rechenbuch macht das über Vergleiche von P und Q und streicht doppelte Terme. Jetzt ist mir klar geworden, wie das geht. Danke für die ganze Mühe!
19.05.2014, 18:02	MannyC	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke euch beiden! Weiss auch jemand eventuell hier ob folgender Ansatz in Bezug zu $\begin{eqnarray} xe^{-y^{2} } +e^{x-y^{2} } =yy' \end{eqnarray}$ richtig ist. Potenzgesetz anwenden, danach e^(-y^2) ausklammern und einfach Trennung der Variablen anwenden. Danach kann man jede Variable super auf eine Seite bringen. Stammfunktionen auf beiden Seiten berechnen und nach y umformen. Fertig ?
19.05.2014, 18:12	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
so ist es
19.05.2014, 18:17	MannyC	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke sehr grosserloewe. Hätte nicht gedacht das es soviel Hilfe in einem Forum gibt. Hast mir sehr geholfen!

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