Konstruktion mit Zirkel & Lineal

18.05.2014, 09:42

MatheJens1996

Konstruktion mit Zirkel & Lineal

Meine Frage:
Hallo,

ich habe eine Aufgabe, bei der ich momentan nicht weiter weiß...Gegeben seien eine Gerade und zwei auf der selben Seite dieser Geraden liegende Punkte. Zeigen sie, dass man mit Zirkel und Lineal einen Kreis durch diese beiden Punkte konstruieren kann, der die Gerade berührt.

Meine Ideen:
Leider finde ich keinen Ansatz unglücklich

. Hat irgendjemand einen kleinen Anstupser für mich smile

? Wäre super smile

18.05.2014, 10:05

Mi_cha

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spontan fällt mir Folgendes ein:

Kontruiere die Mittelsenkrechte durch die Strecke der gegebenen Punkte. Diese schneidet die gegebene Gerade. Diese drei Punkte zu einem Dreieck verbinden.
Dann sollte klar sein, wie es weitergeht smile

18.05.2014, 10:42

MatheJens1996

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Danke!
Hallo Mi_cha,

danke für die Antwort smile

. Die Idee ist mir klar, da es dann der Umkreismittelpunkt des Dreiecks ist. Allerdings glaube ich, dass das nicht immer zum Berühren sondern auch zum Schneiden führen kann, je nachdem, wie die beiden Punkte liegen.

18.05.2014, 10:52

Mi_cha

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Ja, du hast Recht. Auch ein Fall, bei dem das nicht geht, ist derjenige, wenn die Punkte auf einer Geraden liegen, die senkrecht auf der gegebenen Gerade steht.

Es war nur eine spontane Idee Big Laugh

18.05.2014, 10:55

HAL 9000

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Zunächst zur Benennung: $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ seien die beiden Punkte, und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ die Gerade.

Zitat:

Original von Mi_cha
Kontruiere die Mittelsenkrechte durch die Strecke der gegebenen Punkte. Diese schneidet die gegebene Gerade. Diese drei Punkte zu einem Dreieck verbinden.

Nein, das stimmt nicht: Dieser Kreis verläuft zwar durch den von dir genannten Schnittpunkt mit der Geraden, verläuft dort aber i.a. nicht tangential - außer im Speziallfall, dass $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ parallel sind.

Ist letzteres nicht der Fall: Dann sei $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ der Schnittpunkt der Geraden durch $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ der bewusste Tangentialpunkt des zu konstruierenden Kreises $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ .

Bezüglich Kreis $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gilt nun nach Sekanten-Tangenten-Satz: $\begin{eqnarray*} |SA|\cdot |SB| = |ST|^2 \end{eqnarray*}$ , d.h. wir können $\begin{eqnarray*} |ST| \end{eqnarray*}$ konstruieren, etwa per Kathetensatz. Der Rest sollte klar sein.

Nachtrag (18.05.14): Anscheinend hast du das Interesse an der Aufgabe verloren, da du dich nicht wieder hier hast blicken lassen - schade. unglücklich

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