Änderungsverhalten im Wendepunkt |
| 18.05.2014, 12:46 | Magda87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Änderungsverhalten im Wendepunkt Hallo zusammen, ich bin gerade ziemlich am Verzweifeln. Mir bereiten die Wendepunkte im Sachzusammenhang ziemliche Kopfschmerzen. Ich weiß, dass Wendepunkte Punkte mit extremaler Steigung sind, mir fällt es aber sehr schwer, diese im Sachzusammenhang zu interpretieren. Sagen wir mal, ich habe eine Funktion gegeben, die die Besuchermenge im Freizeitpark im Verlauf eines Tages angibt. Dazu ist dann auch der Definitionsbereich angegeben (Bsp.: von 8 Uhr morgens bis 18 Uhr abends). Ich soll den WP berechnen und interpretieren. Sagen wir mal, rechnerisch würde er bei ca. 12 Uhr liegen. Dann weiß ich doch noch nicht, ob da die Besucherzunahme oder die Besucherabnahme am größten ist, oder? Meine Ideen: Wie untersuche ich das dann? Muss ich dazu dann nur wissen, ob ein Links-Rechts-WP vorliegt (also maximale Zunahme) oder halt R-L-WP oder wie kann ich das angeben? Und noch was ganz wichtiges, muss ich dann nicht IMMER auch noch die Randstellen überprüfen? Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte. Ich bin gerade ziemlich verwirrt... 
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| 18.05.2014, 19:05 | Stefan03 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Wendepunkte
Ja genau. Das musst du untersuchen und dann weißt du, ob max Ab- oder Zunahme. Und die Randpunkte müsstest du eigentlich auch imnmer betrachten, weil es ja quasi um ein Min. bzw- Max. der Ableitungsfunktion geht und eine Fkt. kann eben an den Randpunkten, an nicht-diffbaren Stellen oder an Stellen mit Extrema annehmen. Hm, wobei, wenn ich das so schreibe und mir das graphisch vorstelle, bin ich mir da doch nicht mehr ganz so sicher. Aber sollte schon so sein
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| 18.05.2014, 19:31 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Deine Ideen gehen in die richtige Richtung! Tatsächlich sieht man einem Wendepunkt von Vornherein nicht an, ob die Zunahme oder Abnahme extremal ist. Jedenfalls gilt, dass die Steigung - im Sachbezug die Änderunggeschwindigkeit - einen Extremwert hat. Weitere Auskunft kann das Vorzeichen der 3. Ableitung an der Stelle des Wendepunktes geben: Ist es negativ, so handelt es sich dort um ein Maximum der Änderungsgeschwindigkeit. Alternativ kann auch das Vorzeichen der Krümmung VOR und NACH dem Wendepunkt untersucht werden, bei L-WP-R geht es von minus über 0 nach plus, richtig, dann haben wir dort eine maximale Zunahme. Wendepunkt um 11:20 h mY+ |
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| 18.05.2014, 20:30 | Magda87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielen lieben Dank für eure Hilfe. Also ist ein HP der 1. Ableitung immer mit der stärksten Zunahme etc. und ein TP der Ableitung mit der stärksten Abnahme gleichzusetzen? Was ist aber mit einem R-L-WP, dessen 1. Ableitung nur im positiven Bereich verläuft? Dann wäre dort ja zwar die Steigung am kleinsten, aber noch positiv. Wenn ich jetzt einen Zusammenhang habe, in der die Temperatur in Abhängigkeit von der Zeit modelliert wird, dann habe ich in diesem Punkt ja nicht die stärkste Temperaturabnahme, sondern die geringste Temperaturzunahme. Das verwirrt mich irgendwie total. Dann müsste man ja theoretisch nicht nur überprüfen, ob ich an der 1. ABleitung einen Hoch- oder Tiefpunkt habe, sondern irgendwie diesen dann noch zeichnen, um das genau zu wissen. Oder ist die stärkste Temperaturabnahme gleich die geringste TEmperaturzunahme? Mh.... Danke nochmal für die Hilfe |
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| 18.05.2014, 21:24 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dein geschilderter Fall bezieht sich auf einen Flachpunkt, in welchem sich das Vorzeichen der Krümmung nicht ändert. Die 3. Ableitung ist dort ebenfalls Null. Dabei liegt dann im Allgemeinen KEIN Extremwert der Änderungsgeschwindigkeit vor, d.h. es wird dann so sein, dass die Temperatur danach weiter ansteigt. Im Flachpunkt ist die Temperaturzunahme allerdings nahezu konstant (das ist übrigens das Wesen eines Flachpunktes). Grün: Tangente im Flachpunkt (2/1) mY+ |
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| 18.05.2014, 21:42 | Magda87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mh. Aber es gibt doch auch solche Punkte, in denen sich die Krümmung ändert. Fkt. steigt von x=1 bis x=5, die Steigung nimmt aber zunehmend ab und an x=6 befindet sich ein R-L-WP und ab dort nimmt die Steigung ja wieder zu. Das heißt, meine 1. Ableitungsfunktion hätte an der Stelle x=6 einen TP, aber im positiven Bereich. Was würde das für meinen Sachzusammenhang bedeuten? Da wäre dann ja nicht die BesucherABNAHME am stärksten, weil die Steigung bei x=6 ja noch positiv ist. Muss ich dann bei jedem Sachzusammenhang immer überprüfen, welche Art von WP vorliegt (also R-L oder L-R) um eine Aussage über minimale (R-L) oder maximale (L-R) Steigung zu tätigen und dann aber mir noch das Vorzeichen der 1. Ableitung an der Wendestelle anzuschauen um zu sagen, ob die Besucherabnahme am größten ist (R-L-WP mit negativer Steigung) oder ob die Besucherzunahme am geringsten ist (R-L-WP mit positiver Steigung)? Vielen vielen DAnk für die HIlfe.... |
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| 18.05.2014, 22:25 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ob positiver oder negativer Bereich, dieser spielt keine Rolle. Wenn ein Tiefpunkt vorhanden ist, bleibt er, so ändert sich daran nichts. Und du sprichst immer von Zu-/Abnahme, das ist im Zusammenhang mit dem Wendepunkt nicht richtig. Bei der Differentiation geht es nicht um die Abnahme oder Zunahme an sich, sondern um deren Geschwindigkeit. Die Zu-/Abnahme ist eine einfache Differenz, die Änderungsgeschwindigkeit jedoch der Quotient zweier Differenzen (1. Ableitung). Und im gegenständlichen Fall wird die Geschwindigkeit der Änderung immer kleiner, obwohl sie noch immer positiv ist und hat im Wendepunkt ihren kleinsten Wert (Minimum). Danach erhöht sie sich wieder. Das heisst, die Geschwindigkeit erfährt eine Abnahme, obwohl der Zuwachs an Besuchern immer noch positiv ist, also von einer Abnahme der Besucheranzahl nicht gesprochen werden kann. Ich denke, der letzte Satz ist für dich wichtig und erklärt auch deine Fehlinterpretation. Letztendlich beseitigt ein gut und zutreffend erstellter Graph die letzten Zweifel, er kann niemals schaden. Prinzipiell sollen die rechnerischen Erkenntnisse damit geprüft und gesichert werden und dies erhöht auch entscheidend das Verständnis deines Vortrages. Wendepunkt bei x = 4, Stelle der geringsten Zunahme in der Zeiteinheit (Besucherzunahme / Stunde = Geschwindigkeit) mY+ |
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| 19.05.2014, 06:59 | Magda87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wow, super tausend Dank. Du hast mir sehr sehr viel geholfen. Genau so einen letzten Graphen meinte ich nämlich. Eine letzte Frage hätte ich noch. Was ist denn dann die Interpretation von einem Tiefpunkt der 1. Ableitung im negativen Bereich. Dann würden ja theoretisch auch Besucher wieder gehen. Würde man dort den sagen, dass die Besucherabnahme am stärksten ist? Oder kann man auch sagen, dass die Besucherzunahme am geringsten ist mit dem Zusatz, dass sogar welche das Lokal oder was auch immer verlassen? Vielen lieben Dank für die ganze Hilfe |
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| 19.05.2014, 19:26 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es gibt bei dieser Sachlage keine wirkliche Besucherzunahme, deswegen wird versucht, Aussagen über das Verhalten der Abnahme der Besucherzahl zu treffen. Natürlich ist es evident, dass die Abnahme gleich einer negativen Zunahme ist, wenn man den Terminus "Zunahme" verwendet. -------------- Hier nun haben wir scheinbar ein kleines Problem, welches darauf beruht, dass die 1. Ableitung zwar wiederum einen Tiefwert hat, aber das Vorzeichen der Steigung negativ ist. Der Tiefwert bezeichnet nämlich dann die kleinste Zahl hinsichtlich ihrer Lage auf dem Zahlenstrahl (je negativer sie ist, desto kleiner ist sie), wenn wir jedoch vom Vorzeichen absehen, bekommen wir die absolut größte Zahl, welche nun - wieder mit dem negativen Vorzeichen - auch die größte Änderungsgeschwindigkeit der Abnahme bestimmt. Im Graphen ist zu erkennen, dass dann die Tangente im Wendepunkt die steilste Lage hat. Das heisst, die Geschwindigkeit der Abnahme der Besucherzahl ist maximal, obwohl der Graph der 1. Ableitung einen Tiefpunkt besitzt (- die Geschwindigkeit mit Vorzeichen, der Zunahme, ist minimal). Wendepunkt: W(6;4), Wendetangente blau, größte Abnahmegeschwindigkeit Grün: 1. Ableitungskurve mY+ |
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| 19.05.2014, 19:37 | Magda87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke dir. Also muss ich bei der Interpretation eines WP im Sachzusammenhang schauen, ob die 1. Ableitung dort TP oder HP hat und dann auch noch, wie das Vorzeichen dort ist, oder? f hat WP bei x0, f´(x0) kleiner 0 aber auch ein R-L-WP --> Besucherabnahme ist am größten. f hat WP bei x1, f´(x1) größer 0 aber auch ein R-L-WP --> Besucherzunahme ist am geringsten? Wäre das dann so richtig? Ich muss also nicht nur schauen, ob die 1. Ableitung einen TP oder HP hat an der Wendestelle sondern auch dort noch schauen, ob diese oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegen? Ein L-R-WP ist ja immer ein HP der 1. Ableitung. Also dort ist die Steigung maximal. Entweder ist dort also die Besucherzunahme am größten (wenn f´(Wendestelle) größer 0 ist) oder die Besucherabnahme am geringsten (wenn f´(Wendestelle) kleiner 0 ist). Ist das so richtig? Danke für die Hilfe |
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| 19.05.2014, 19:54 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wir haben nun verschiedene Fälle durchdiskutiert. Vielleicht kann ein konkretes Beispiel besser Aufschluss geben, mit 0815-Kochrezepten kann man diese Dinge nicht immer abdecken. Es ist NICHT von Belang, ob sich der Graph oberhalb oder unterhalb der x-Achse befindet. Es kommt vielmehr auf das Monotonie- und Krümmungsverhalten der Funktion in dem entsprechenden Abschnitt an. Was ich dir bis jetzt geschrieben habe, solltest du mal eingehend überlegen und eventuell auch an Beispielen nachvollziehen. Ich habe dir ja auch einige Graphen bereitgestellt. Weitere Fragen werden natürlich gerne beantwortet. mY+ |
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| 19.05.2014, 21:09 | Magda 87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich bin nur verwirrt, wenn ich mir deine beiden letzten Graphen anschaue. Sagen wir mal es ist der gleiche Sachzusammenhang (Anzahl der Besucher im Verlauf eines Tages) und ich habe nur die Funktionsgleichung gegeben. Bei beiden errechne ich einen TP in der ersten Ableitung an der Stelle des Wendepunktes von f. Einen TP in der 1. Ableitung bedeutet ja, dass dort die normale Funktion die minimalste Steigung hat. Ich würde daraus interpretieren, dass dort, zu dem Zeitpunkt die Zunahme der Besucher am geringsten ist. (Aber wenn ich dann den letzten Graphen anschaue, könnte das ja auch bedeuten, dass dort die Besucherabnahme am größten ist). Sorry, ist wirklich kompliziert für mich. Tut mir leid, dass ich so auf dem Schlauch stehe. Ich finde auch immer nur Aufgaben, wo die Ursprungsfunktion einen R-L-WP mit negativer Steigung hat. In diesem Kontext ist mir dann klar, was er bedeutet. Ich habe nur Schwierigkeiten einen R-L-WP mit positiver Steigung zu deuten. Vor allem ist mir halt nicht klar, ob ich das dann mithilfe des Vorzeichens von der Wendestelle in der 1. Ableitung noch untersuchen muss. Danke aber für deine Mühe. |
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| 19.05.2014, 22:10 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau dies habe ich dir zuletzt auseinandergesetzt und auch genau begründet! Beides ist richtig! ---------- Einen R-L-WP mit negativer Steigung sehen wir im allerletzten Graphen, einen R-L-WP mit positiver Steigung im vorletzten. In beiden Fällen hat die 1. Ableitung an der Wendestelle einen Tiefpunkt. Ich habe den Eindruck, dass du die Zusammenhänge, die allerdings nicht so einfach sind, noch immer nicht ganz durchschaut hast. Lies bitte nochmals alles genau durch und versuche auch, endlich an Hand entsprechender Beispiele etwas mehr Klarheit zu erlangen. Du kannst dabei natürlich immer Fragen dazu stellen. mY+ |
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| 19.05.2014, 22:41 | Magda87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke....
Aber wie kann denn beides richtig sein. Ist das nicht komplett das Gegenteil? Geringste Besucherzunahme und größte Besucherabnahme? Finde leider immer nur Beispielaufgaben, in der ein L-R-WP eine stärkste Zunahme und ein R-L-WP eine stärkste ABnahme bedeutet und eben nicht, dass ein R-L-WP auch die geringste Zunahme bedeuten kann. Sorry, bin halt gerade etwas am verzweifeln. Danke nochmal für deine Geduld |
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| 19.05.2014, 23:14 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dies ist das, was ich als "scheinbar kleines Problem" klassifiziert habe. Die größte Besucherabnahme ist - von der Abnahme her gesehen - ein Maximum, von der Besucherzunahme jedoch ein Minimum. Deswegen besitzt auch die 1. Ableitungskurve dort ein Minimum. Insoferne ist beides zutreffend.
Im gestrigen Beitrag (22:25 h) findest du genau so ein Beispiel. Es gibt eine dort Zunahme, welche zu Beginn rasch erfolgt, im Wendepunkt ist die Änderungsgeschwindigkeit am geringsten und steigt danach wieder. Der Wendepunkt ist ein R-L-WP und die Funktion ist durchwegs monoton steigend. Der Graph der 1. Ableitungsfunktion hat einen Tiefpunkt. Ich kann mir nicht erklären, warum die Beispiele, die ich dir gebe, bei dir überhaupt nicht ankommen. Ich weiss, dass dies alles etwas kompliziert klingt, aber besser vermag ich es nicht zu erklären. Vielleicht haben andere Helfer einen anderen Ansatzpunkt, sie sind gerne eingeladen, sich hier zu beteiligen. mY+ |
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| 19.05.2014, 23:21 | Magda87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das tut mir echt leid. Ich weiß auch nicht, warum ich da irgendwie irgendwo einen Denkfehler habe. Ich wollte nur sichergehen, wie ich bei den Standartaufgaben (berechne den WP und interpretiere im Sachzusammenhang vorgehen muss). Wenn ich ihn also berechne und es sich um einen R-L-WP (also TP der 1. Ableitung) handelt, dann kann ich sagen, dass im WP die Änderung der Besucherzahlen, die Wachstumsgeschwindigkeit, die Änderung des Medikamentenspiegels im Blut am geringsten ist. Oder? Sorry, und tausend tausend Dank für all deine Hilfe und deine Mühe. Total super nett. |
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| 19.05.2014, 23:34 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das braucht dir nicht leid tun, es kann nicht immer alles sofort klar sein. Und besser ist, du fragst, so lange du es nicht verstehst, anstatt dich enttäuscht abzuwenden, davon hat das Board nichts und du auch nicht. Irgendwann wird der Groschen schon fallen, vielleicht finden wir auch noch eine verständliche Erklärung ... __________
Mehr oder weniger: Ja. Es wird aber immer gut sein, dass du die Rechnung dahingehend unter Umständen mit einem Graphen untermauerst, um festzustellen, ob es sich um eine monoton steigende oder fallende Funktion handelt. Die Monotonie kann natürlich auch mittels des Vorzeichens der 1. Ableitung bestimmt werden. In beiden Fällen kann es jeweils einen R-L-WP geben und dieser muss diskutiert werden. mY+ |
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| 19.05.2014, 23:40 | Magda87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ah ok. Super. Also um ganz sicher zu sein, könnte ích ja schauen, ob es sich bei der 1.Ableitung um eine TP oder HP handelt und dann schauen, ob dort die Steigung negativ oder positiv ist. TP der 1. Ableitung mit positiven Vorzeichen der Steigung im WP bedeutet dann ja geringste Änderung, TP der 1. ABleitung mit negativen Vorzeichen im WP bedeutet dann ja größte Änderung (hinsichtlich der Abnahme). Müsste dann ja so passen. Tausend Dank nochmal. Danke danke danke danke |
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| 19.05.2014, 23:52 | Magd87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
natürlich nicht schauen, ob die Steigung im HP oder TP pos. oder neg. ist, sondern ob die Steigung im WP pos. oder neg. ist... Sorry... |
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| 20.05.2014, 00:51 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, soweit ok. Gr mY+ |
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| 20.05.2014, 14:00 | Magda87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielen vielen vielen vielen lieben Dank |
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