Einheitswurzeln Polynomidentität

18.05.2014, 13:47	HA34	Auf diesen Beitrag antworten »
Einheitswurzeln Polynomidentität Hi Leute, ich habe folgende Aufgabe: Zeige, dass $\begin{eqnarray} 1-z^n = \prod_{j=1}^n (1-e^{(2\pi i j/n)}z) \end{eqnarray}$ , wobei die $\begin{eqnarray} e^{(2\pi i j/n)} \end{eqnarray}$ , j=1,...,n die n-ten Einheitswurzeln sind. Hat jemand von Euch eine Idee oder einen Link zu einem Tipp? Ich habe erst an Induktion gedacht, aber beim Schritt von n-1 auf n hat man im Wesentlichen dieselben Terme, wie wenn man es direkt macht. Freue mich über einen kleinen Tipp. LG
18.05.2014, 14:07	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einheitswurzeln Polynomidentität Zerlege $\begin{eqnarray} 1-z^n \end{eqnarray}$ in Linearfaktoren.
18.05.2014, 14:37	HA34	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. Mir ist bewusst, dass ein Produkt der Form $\begin{eqnarray} (1-c1 z)(1-c2 z)\cdot\ldots\cdot(1-z) \end{eqnarray}$ herauskommen muss, aber ich sehe gerade nicht, wie ich die Koeffizienten bestimme. Ich kenne die NS (1-z). Macht Ploynomdivision Sinn? Danke im Voraus.
18.05.2014, 14:39	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kennst doch alle Nullstellen von $\begin{eqnarray} 1-z^n \end{eqnarray}$ Edit: Wenn du die Gleichung nicht herleiten, sondern nur ihre Richtigkeit zeigen willst, geht es auch etwas schneller: Links und rechts steht ein Polynom vom Grad n. Zeige, dass sie gleiche Nullstellen haben und an einer weiteren Stelle übereinstimmen.
18.05.2014, 15:00	HA34	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, ich weiß natürlich, dass die NSn die Form $\begin{eqnarray} e^{2\pi i j/n} \end{eqnarray}$ haben und dies genau n verschiedene in C^n sind, dann kann ich die linke Seite einfach als Produkt der $\begin{eqnarray} (z-e^{2\pi i j/n}) \end{eqnarray}$ schreiben, aber das ist doch keine Herleitung, oder?
18.05.2014, 15:04	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum nicht? Dann die einzelnen Faktoren noch auf die Form (1-c_jz) gebracht und du bist schon fast fertig
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18.05.2014, 15:18	HA34	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann bekomme ich rechts das Produkt über die $\begin{eqnarray} -e^{2\pi i j/n}(1-e^{2\pi i (n-j)/n}z) \end{eqnarray}$ Dass man statt n-j auch das Produkt über k=1,..,n schreiben kann, ist mir klar, aber was mache ich mit dem Vorfaktor?
18.05.2014, 15:26	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Über die Vorfaktoren wird auch das Produkt gebildet
18.05.2014, 15:48	HA34	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe, das müsste dann -1 werden.
18.05.2014, 16:44	HA34	Auf diesen Beitrag antworten »
Eines sehe ich aber doch noch nicht so ganz: Theoretisch könnte n ja auch ungerade sein, dann müsste der Vorfaktor doch bei -1 bleiben, das kann hier aber doch nicht sein. Wo ist mein Denkfehler? Danke schon mal.
18.05.2014, 21:40	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Das regelt sich alles von allein, alles eine Frage der Buchhaltung $\begin{eqnarray} \prod_{j=1}^n (-e^{2\pi i j/n})=(-1)^n\prod_{j=1}^n e^{2\pi i j/n} \end{eqnarray}$ und das Produkt kann man noch zu $\begin{eqnarray} (-1)^{n+1} \end{eqnarray}$ umformen

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