DGL numerisch lösen mit Differenzenquotient

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19.05.2014, 21:27	Tell0s	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL numerisch lösen mit Differenzenquotient Meine Frage: Hallo, ich möchte folgende DGl mithilfe von Differnenzenquotienten bestimmen. $\begin{eqnarray} <br /> y''-5y'+4y=x^2, y(0)=0, y'(1)=4y(1) <br /> \end{eqnarray}$ h= Schrittweite Intervall [0,1] Ich möchte diese mit symmetrischen Differnenzenquotienten 2. Ordnung berechnen $\begin{eqnarray} <br /> y''=(y_{i+1}-2y_{i}+y_{i-1})/h^2 , y'=(y_{i+1}-y_{i-1})/2h<br /> \end{eqnarray}$ Dies in die DGL eingesetzt ergibt: $\begin{eqnarray} <br /> 2(y_{i+1}-2y_{i}+y_{i-1})-5h(y_{i+1}-y_{i-1})+8y_{i}2h^2=2x^2h^2<br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Damit ergibt sich ein lineares Gl.system. Beginne ich mit i=1 kann ich für y(0)=0 die Anfangsbedingugn einsetzen. Wie kann ich aber die Gleichung für y(1) beschreiben? z.b. h=0.25 sind die ersten Gleichungen klar.Allerdings ergibt sich für die letzte Gleichung (Unter verwengung von y'(1)=4y(1) ) $\begin{eqnarray} <br /> 2(y_{5}-2y_{4}+y_{3})-(5h4+2h^2)y(4)=2x^2<br /> \end{eqnarray*}$ Ich weiss jetzt nich wie ich mit dem y_{5} verfahren soll. Ich hab eine variable zu viel die ich auch nicht benötige da ich ein Lösung nur bis 1 haben möchte. Ich hoffe mir kann das einer erklären Danke schonmal
20.05.2014, 08:20	Ändru	Auf diesen Beitrag antworten »
zu 1.) Schaetz die Ableitung mit dem Vorwaertsgerichteten Diff.-quo. $\begin{eqnarray} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{y_{i+1} - y_i}{h} \end{eqnarray}$ Dann sollte dein Problem geloest sein. zu 2.) Wenn du es so loesen willst wie du es aufgeschriben hast dann bleibt dir nicht anderes uebrig als einen Schritt mehr zu rechnen und dir das $\begin{eqnarray} y_5 \end{eqnarray}$ zu schaetzen und dann danach nochmal rechnen... das ganze Nennt sich dann auch Praediktor-Korrektor-Verfahren. allg.) Allerdings frage ich mich, warum du nicht hergehst und die DGL 2ter Ordnung in ein System erster Ordnung umschreibst. Gruesse
20.05.2014, 10:08	Ändru	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi nochmal mir faellt gerade auf, dass du noch ein anderes Problem hast... ist dir auch klar welches? Ganz so einfach wie du das schreibst geht das nicht, ausser du hast noch irgendwelche angaben die du "vergessen" hast zu erwaehnen.... ist das alles was du an Angaben zu der Aufgabe hast?
20.05.2014, 10:37	Tell0s	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ist die Komplette Aufgabe. Ich dachte mir jetzt ich kann das über die Taylor Reihe abschätzen. $\begin{eqnarray} y_{i+1}=y{i}+hy'{i} \end{eqnarray*}$ Was für ein anderes Problem meinst du?
20.05.2014, 10:52	Ändru	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Regel werden die DGL zusaetzlich zur Ordnung durch ein AWP (Anfangswertproblem) oder RWP (Randwertproblem) charakterisiert. Kann auch gemischt Formen geben aber Grundsaetzlich kannst du eine DGL noch dadurch unterscheiden. In deinem Fall liegt ein RWP vor und du willst das als AWP loesen, d.h. dass du eigentlich die erste Ableitung durch ein NV (Newton-Verfahren) annaehern musst! In diesem Fall solltest du dir mal die sog. Schiessverfahren anschauen... mit denen kannst du das loesen. zu deiner Idee: Der Vorwaertsgerichtete Diff.-quo. ist doch das selbe wie wenn du die Taylor-Reihe nach dem zweiten Glied abbrichst... weil du hast doch $\begin{eqnarray} f(x+h) = f(x) + h f'(x) + \frac{h^2}{2} f''(x) + \ldots = f(x) + hf'(x) + \mathcal O(h^2) \end{eqnarray}$ Abbruch nach dem 2ten Glied der Reihe ergibt nun: $\begin{eqnarray} f(x+h) \approx f(x) + hf'(x) \Rightarrow \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \approx f'(x) \end{eqnarray}$ und das ist der Vorwaertsgerichtete Diff.-quo. den ich dir schon hingeschrieben hatte.... Aber deine Idee war ja nicht falsch nur unoetig :P Dennoch loest das dein Probelm nicht.... du hast einfach diesen Wert nicht den du brauchst... oder Hast du alle $\begin{eqnarray} y_i \end{eqnarray}$ ? Ich glaube nicht, weil sonst waere ja deine DGL schon geloest.... verstehste? Gruesse
20.05.2014, 12:27	Tell0s	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja im prinzip fehlt mir nur das aller letzte $\begin{eqnarray} y_{i+1} \end{eqnarray}$ . Also an der Stelle 1. Ich hab ja i Gleichungen und i+1 Ungebkannte (Wobei ich die $\begin{eqnarray} y_{i+1} \end{eqnarray}$ gar nicht ausrechen möchte, ist ja ausserhalb des Bereichs den ich berechnen möchte). Wenn ich die letzte $\begin{eqnarray} y_{i+1} \end{eqnarray}$ durch den Vorwaertsgerichtete Diff.-quo. ersetzte und die Bedingung $\begin{eqnarray} y'(1)=4y(1) \end{eqnarray}$ noch einsetzte hab ich keine $\begin{eqnarray} y_{i+1} \end{eqnarray}$ in meinem Gl.system. Oder steh ich jetzt auf dem Schlauch
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20.05.2014, 12:41	Ändru	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube du verstehst da etwas falsch.... zu deiner Idee: Du moechtest doch ein LGS der Form $\begin{eqnarray} Ay = b \end{eqnarray}$ loesen, wobei y deine gesuchten Werte sind. Nun hast du doch das Problem, dass du ausser der Koeffizienten Matrix nichts kennst... was willst du denn deiner Meinung nach fuer $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ einsetzen? Du kennst den Anfangswert, also in $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ den Eintrag $\begin{eqnarray} b_1 \end{eqnarray}$ , was ist aber mit den Eintraegen $\begin{eqnarray} b_2, b_3, \ldots, b_n \end{eqnarray}$ ? Die kennst du nicht.... verstehst du nun die Problematik die du hast? Wenn du die $\begin{eqnarray} y_i \end{eqnarray}$ schon kennen wuerdest, dann hast du doch die DGL schon geloest und brauchst doch nicht mehr rechnen... Das einzige was du machen kannst, ist die DGL Schrittweise zu loesen und dafuer brauchst du ein AWP.... du hast aber ein RWP und musst dir quasi ein AWP darauss basteln... und das geht mit Schiessverfahren (werden in der Praxis am meisten verwendet)... Falls es dir immernoch nicht klar ist, dann stell doch mal das LGS auf und schau es dir genau an, ich bin mir sicher du wirst schnell einsehen, dass das so nicht gehen kann... Gruesse
20.05.2014, 12:55	Ändru	Auf diesen Beitrag antworten »
Was mir noch aufgefallen ist, sry kommt etwas spaet, aber hast du gesehen dass du noch eine DGL gegeben hast?
20.05.2014, 13:59	Tell0s	Auf diesen Beitrag antworten »
Die $\begin{eqnarray} b_i \end{eqnarray}$ sind mir doch bekannt. Das sind doch meine $\begin{eqnarray} h^2x^2 \end{eqnarray}$ mit z.b. h=0.25 Schrittweite und $\begin{eqnarray} x_{i+1}=x_i+h \end{eqnarray}$ Die $\begin{eqnarray} b_i \end{eqnarray*}$ ergeben sich doch aus der DGL.
20.05.2014, 14:02	Ändru	Auf diesen Beitrag antworten »
Moment...
20.05.2014, 14:25	Ändru	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du es so schreibst wie du gemeint hast, ja dann gehts... $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccc}1 & 9h-2 & 1-5h \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} y_{i-1}\\ y_i \\ y_{i+1} \end{array}\right) = h^2x_i \end{eqnarray}$ ich denke so hast du das gemeint... allerdings bin ich dennoch irritiert wegen deinem RWP.... $\begin{eqnarray} y'(1) = 4y(1) \end{eqnarray}$ eigentlich ist das eine DGL, wenn man das nicht als DGL betrachten muss, dann geht das so... wenn man aber das wirklich als variablen Randwert berechnen muss, wird es so nicht gehen.

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