Kern bestimmen / treue Gruppenoperation

22.05.2014, 18:44

Gnus

Kern bestimmen / treue Gruppenoperation

Hi!

Ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

Sei U Untergruppe einer Gruppe G und sei $\begin{eqnarray*} X=\lbrace aU |a\in G\rbrace \end{eqnarray*}$ . G operiere auf X durch $\begin{eqnarray*} g \cdot aU = gaU \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} \varphi: G\rightarrow Sym(X) \end{eqnarray*}$ die Permutationsdarstellung, welche durch $\begin{eqnarray*} \varphi (g):=\pi_g \end{eqnarray*}$ gegeben ist mit $\begin{eqnarray*} \pi_g(aU):=g\cdot aU \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} aU \in X \end{eqnarray*}$ .

Nun möchte ich bestimmen, ob die Operation treu ist.

Hierfür bestimme ich den Kern von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ , ist dieser trivial, so ist die Operation treu. Andernfalls ist sie nicht treu.

Ansatz:

$\begin{eqnarray*} Kern(\varphi)=\lbrace g \in G : \varphi(g)=id_{Sym(X)}\rbrace = \lbrace g\in G: \pi_g = id_{Sym(X)}\rbrace \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lbrace g\in G: gaU=aU \forall aU \in X\rbrace=\lbrace g \in G : a^{-1}ga\in U \forall a\in G\rbrace \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lbrace g\in G: g\in aUa^{-1} \forall a\in G\rbrace=\bigcap_{a\in G}aUa^{-1} \end{eqnarray*}$

Problem:

Stimmt das so? Und wenn ja: kann man das noch weiter vereinfachen?

Wie kann ich jetzt zeigen, dass der Schnitt nicht unbedingt nur das neutrale Element enthält?

MfG

22.05.2014, 20:32

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RE: Kern bestimmen / treue Gruppenoperation
Was ist, wenn G eine abelschen Gruppe ist?

22.05.2014, 20:48

Gnus

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RE: Kern bestimmen / treue Gruppenoperation

Zitat:

Was ist, wenn G eine abelschen Gruppe ist?

Wenn meine Gleichungskette richtig ist, ist dann

$\begin{eqnarray*} Kern(\varphi)=U \end{eqnarray*}$ .

Damit wäre die Operation treu, wenn G abelsch und U die Gruppe, welche nur das neut. Ele. enthält.

Und nun? verwirrt

22.05.2014, 20:53

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RE: Kern bestimmen / treue Gruppenoperation
Ich dachte es geht darum, ob die Operation in jedem Fall treu ist.

22.05.2014, 20:59

Gnus

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RE: Kern bestimmen / treue Gruppenoperation

Zitat:

Ich dachte es geht darum, ob die Operation in jedem Fall treu ist.

Das kann sein. Die Aufgabenstellung lautet hier im Wortlaut: "Bestimmen Sie den Kern von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ . Ermitteln Sie auch, ob die Operation treu ist."

Können wir denn jetzt schon schließen, dass die Operation nur dann treu ist, wenn G abelsch und U die Untergruppe mit nur dem neut. Ele. ist?

Mir ist klar, dass sie dann treu ist, aber unklar warum es in keinem anderen Fall möglich sein sollte.

Fassen wir die Aufgabenstellung so auf, dass wir zeigen wollen, dass sie NICHT unabhängig von G treu ist, so müsste ich ja gerade eben diese Aussage haben.

22.05.2014, 20:59

ollie3

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RE: Kern bestimmen / treue Gruppenoperation
hallo,
die gruppenoperation ist selbstverständlich treu, und ich würde sagen der
tiefere sinn dieser aufgabe ist zu erkennen das gilt $\begin{eqnarray*} g(aU)=(ga)U \end{eqnarray*}$ ,
das heisst wenn man G auf X wirken lässt, erhält man letztlich wieder alle mengen, die die form von X haben.
gruss ollie3

22.05.2014, 21:12

Gnus

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RE: Kern bestimmen / treue Gruppenoperation
Hallo ollie3. Wink

Zitat:

die gruppenoperation ist selbstverständlich treu

Und wie kann ich das beweisen?

Mein erster Ansatz war auch, dass die Operation treu ist, sprich der Kern trivial.
Aber nach Nachfrage bei der Lehrassistenz, sagte mir diese, dass der Kern nicht für alle G trivial ist.

23.05.2014, 08:15

tmo

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Nein, die Operation ist eben i.A. nicht treu.

Insbesondere für $\begin{eqnarray*} U = G \end{eqnarray*}$ besteht $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ja nur aus einem Punkt. Auf einem Punkt operieren recht wenige Gruppen treu...

Du kannst ja mal versuchen notwendige oder hinreichende Bedingungen an U und G zu finden, sodass die Operation treu ist. Triviales Zentrum wäre da ein Stichwort.

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