Geometrische folge=Nullfolge für q>1

23.05.2014, 23:43

akamanston

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Geometrische folge=Nullfolge für q>1

HEHE HI=)

ich hab hier eine gelöste aufgabe, zu der ich einen kommentar benötige weil ichs nicht verstehe.
man muss beweisen, dass die geometrische folge eine unendlichfolge für q>1 ist.

ok los gehts.

nun haben wir erstmal -GLAUBE ICH- definiert was eine unendlich folge überhaupt ist. ich hoffe das ist richtig.

Unendlichfolge: Wenn zu jedem $\begin{eqnarray*} C>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_{0}\in N \end{eqnarray*}$ existiert, sodass $\begin{eqnarray*} \forall n>n_{0} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} a_{n} >C \end{eqnarray*}$
so das sollts sein. da haperts schon am verständnis. das wird aber im verlauf der aufgabe noch deutlicher. also weiter.

nun haben wir $\begin{eqnarray*} q>1 \end{eqnarray*}$ bisschen umgeformt und definiert, aber woher die idee kommt,kP. $\begin{eqnarray*} x=q-1>0 \end{eqnarray*}$ das haben wir wohl gemacht, damit man sieht, dass das in die bernoulli ungleichung eingesetzt wird.
nun brauchen wir die bernoulli ungleichung. woher kommt denn die idee schon wieder? woher soll ich wissen das ich die etz brauch-.-
erinnerung : $\begin{eqnarray*} (1-x)^{n}\geq 1+nx \end{eqnarray*}$

so nun gehts ersst richtig los-.-
$\begin{eqnarray*} q^{n} =(1+(q-1))^{n}\geq 1+n(q-1) \end{eqnarray*}$ wieso steht da +(q-1) ?? nach bernoulli ist das doch - ...

jetzt wirds crazy: $\begin{eqnarray*} C>0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n_{0}\in N \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} n_{0}>\frac{C}{q-1} \end{eqnarray*}$ aber wiesooooo??? das maximale was ich sagen könnnte ist , weil C>0 und q-1>0 ist, ist C/(q-1)>0 , aber wieso $\begin{eqnarray*} n_{0}>\frac{C}{q-1} \end{eqnarray*}$ bleibt magic.

dann haben wir das umgeformt: $\begin{eqnarray*} n_{0}(q-1)>C \end{eqnarray*}$ (die umformung beherrsche ich Big Laugh

Big Laugh

)
und anscheinend in bernoulli eingesetzt bzw. bernoullli eingesetzt- keine ahnung wie rum man das sagt.
$\begin{eqnarray*} q^{n} = 1+q-1^{n}\geq 1+n_{0}(q-1)\geq 1+C>C \end{eqnarray*}$

qed-.-

24.05.2014, 00:01

Iorek

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Zitat:

Original von akamanston
aber woher die idee kommt,kP. [...] woher kommt denn die idee schon wieder? woher soll ich wissen das ich die etz brauch-.-

Einen Beweis führt man in der Regel nicht mechanisch, der erfordert Kreativität und intensive Auseinandersetzung mit der Aussage. Auch ein bischen Trial-and-Error kann dabei sein, mit den Begriffen spielen.. man kann einen Beweis nicht einfach runterschreiben.

Zur Bernoulli-Ungleichung: die mir bekannte Darstellung ist $\begin{eqnarray*} (1+x)^n\geq 1+nx \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\geq -1 \end{eqnarray*}$ (diese Information sind wichtig dazuzuschreiben!). Die von dir aufgeschriebene ist unter diesen Voraussetzungen schlichtweg falsch.

Das $\begin{eqnarray*} n_0>\frac{C}{q-1} \end{eqnarray*}$ wird entsprechend der Definition passend zu einem beliebigen, fest vorgegebenen $\begin{eqnarray*} C>0 \end{eqnarray*}$ gewählt. Dass man das so wählen muss, kann man mit der Rechnung, die ganz unten steht nachvollziehen und wird auch in der Regel so berechnet; lies dir dazu mal in [WS] Folgen den Teil "Zur Wahl des $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ " durch. Da geht es zwar eigentlich um Folgenkonvergenz, das Prinzip lässt sich aber auch auf deine Aussage anwenden.

24.05.2014, 00:22

akamanston

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Zitat:

Original von Iorek
Einen Beweis führt man in der Regel nicht mechanisch, der erfordert Kreativität und intensive Auseinandersetzung mit der Aussage. Auch ein bischen Trial-and-Error kann dabei sein, mit den Begriffen spielen.. man kann einen Beweis nicht einfach runterschreiben.

ok!

Zitat:

Original von Iorek
Die von dir aufgeschriebene ist unter diesen Voraussetzungen schlichtweg falsch.

also du meinst die stelle mit (1-x) , es heißt definitv (1+x) , vielleicht habe ich es falsch abgeschrieben, aber ich glaube unser leiter hat es falsch geschrieben, der hat echt kein plan und ist noch so unhöflich!!!

Zitat:

Original von Iorek
Dass man das so wählen muss, kann man mit der Rechnung, die ganz unten steht nachvollziehen und wird auch in der Regel so berechnet

ja ok, du hast recht, wenn ich das > mit einem = ersetze das merk ich, dass das $\begin{eqnarray*} 1+n_{0}(q-1)= 1+C \end{eqnarray*}$
aber da muss ich doch auch wieder eiskalt vorher schon wissen worauf das hinauslaufen soll. ist das auch wieder so ein kreativer teil- trail-error? das ist einfach zu viel für mich.

ich hätte schon große lust drauf den zusammenhang $\begin{eqnarray*} n_{0}>\frac{C}{q-1} \end{eqnarray*}$ einfach vorher mal zu wissen. wenn ich das seh dann frag ich mich erstmal was überhapt das C ist was das n_0 woher das n kommt. ....

24.05.2014, 00:28

Iorek

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Zitat:

Original von akamanston
ich hätte schon große lust drauf den zusammenhang $\begin{eqnarray*} n_{0}>\frac{C}{q-1} \end{eqnarray*}$ einfach vorher mal zu wissen. wenn ich das seh dann frag ich mich erstmal was überhapt das C ist was das n_0 woher das n kommt. ....

Den Zusammenhang schon vorher wissen ist nicht möglich, du sollst ja das $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ gerade so bestimmen. Wie die ganzen Ausdrücke zusammenstehen, steht in der Definition. Diese solltest du erst einmal verinnerlichen und dir auch ein paar einfache und konkrete (Zahlen-)Beispiele zu angucken. Diese scheinst du noch nicht verstanden zu haben.

24.05.2014, 00:33

akamanston

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ok das ist schon mal eine gute erkenntnis.

weil so ne aufgabe wird schön in der reihen folge präsentiert wie ich sie hier aufgeschrieben habe. aber im grunde wäre es mal schlauer wenn man sagt, dass man jetzt etwas im voraus "irgendwie passend"(das mit dem n_0) definiert, damit man es im nächsten schritt passend einsetzen kann.

ist das so die vorgehensweise? dann brauch ich mich ja gar nicht krampfhaft darauf zu versteifen den zusammenhang zu verstehen sondern vielmehr auf den "nächsten" schritt hinarbeiten.
hab ich mich richtig ausgedrückt?

24.05.2014, 08:58

Iorek

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Ich versteh nicht genau was du meinst. Natürlich ist es wichtig, den Zusammenhang zu verstehen, und was soll der "nächste" Schritt sein?

Was studierst du denn bzw. welche Matheveranstaltung hörst du?

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24.05.2014, 12:01

akamanston

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Zitat:

Original von Iorek
Ich versteh nicht genau was du meinst. Natürlich ist es wichtig, den Zusammenhang zu verstehen, und was soll der "nächste" Schritt sein?

Was studierst du denn bzw. welche Matheveranstaltung hörst du?

ich meine damit in der letzten zeile, diese stelle:
$\begin{eqnarray*} 1+n_{0}(q-1)= 1+C \end{eqnarray*}$

man muss wissen vorher schon wissen, dass man darauf hinaus möchte. deshalb definiert man sich $\begin{eqnarray*} n_{0}>\frac{C}{q-1} \end{eqnarray*}$ im voraus schon passend. ich höre analysis.

25.05.2014, 09:36

Iorek

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Analysis für Mathematiker oder ein Anwendungsfach?

Das man darauf hinauswill, sollte man natürlich wissen. Das erhält man aber aus der Definition: für jedes $\begin{eqnarray*} C>0 \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} a_n>C \end{eqnarray*}$ .

Dieser Beweis ist schon die Reinform, die saubere Abschrift. Dort fällt dann diese Wahl einfach vom Himmel. Die ganze Arbeit die in dem Beweis steckt, sieht man oftmals nicht.

Du kannst ja mal zur Übung, für ein paar einfachen Folgen nachweisen, dass diese bestimmt divergent sind: $\begin{eqnarray*} a_n=n,b_n=n^2,c_n=2^n \end{eqnarray*}$ (für die dritte Folge kann auch noch folgende Aussage nützlich sein: $\begin{eqnarray*} 2^n>n^2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n>4 \end{eqnarray*}$ ).

25.05.2014, 21:52

akamanston

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Zitat:

für jedes $\begin{eqnarray*} C>0 \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} a_n>C \end{eqnarray*}$ .

was genau bedeutet das denn.es gibt irgendeine zahl C die größer ist als 0. DAZU gibt es eine weitere zahl n_0 die immer kleiner ist als n. ich versteh das nicht.

bestimmt divergenz war unendlichfolge?
ps. ist lehramt mathe aber nicht vertieft

ist bei deinen vorgeschlagenen folgen auch immer so ein C zu wählen etc...? weil bei den folgen erkennt man doch sofort wos hingeht. oder möchtest du, dass ich das wirklcih einen ausführlichen beweis schreibe?

25.05.2014, 21:58

Iorek

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RE: Geometrische folge=Nullfolge für q>1 Der Beweis haha

Zitat:

Original von akamanston
Unendlichfolge: Wenn zu jedem $\begin{eqnarray*} C>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_{0}\in N \end{eqnarray*}$ existiert, sodass $\begin{eqnarray*} \forall n>n_{0} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} a_{n} >C \end{eqnarray*}$

Das ist die Definition, dass eine Folge eine "Unendlichfolge" ist (wobei ich da den Begriff der "bestimmten Divergenz" vorziehen würde). Da steht genau drin, was dieses $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ bedeutet. Jede beliebige Zahl $\begin{eqnarray*} C>0 \end{eqnarray*}$ wird irgendwann von deiner Folge überschritten und im weiteren Verlauf bleibt die Folge auch über dieser Schranke. Und ja, natürlich "sieht" man das bei diesen Folgen sofort, gerade deshalb sollst du das ausführlich beweisen, um das Prinzip dahinter zu verstehen.

27.05.2014, 02:17

akamanston

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Zitat:

Original von Iorek
Du kannst ja mal zur Übung, für ein paar einfachen Folgen nachweisen, dass diese bestimmt divergent sind: $\begin{eqnarray*} a_n=n,b_n=n^2,c_n=2^n \end{eqnarray*}$ (für die dritte Folge kann auch noch folgende Aussage nützlich sein: $\begin{eqnarray*} 2^n>n^2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n>4 \end{eqnarray*}$ ).

ok, weil es gerade passt würde ich die folge benutzen.
$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{3^{n} } \end{eqnarray*}$

ich hab mal eine tabelle gemacht. und bei n>7 wird klar dass $\begin{eqnarray*} n! > 3^{n} \end{eqnarray*}$ .
das riecht doch schon nach induktion? (1)
aber andererseits verführt das $\begin{eqnarray*} 3^{n} \end{eqnarray*}$ doch nach irgendeiner abschätzung mit der bernoulliungleichung? (2)

beide wege haben doch aber nicht so viel mit der art beweis der anderen folgen zu tun?

27.05.2014, 14:28

bijektion

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Zitat:

aber andererseits verführt das $\begin{eqnarray*} 3^{n} \end{eqnarray*}$ doch nach irgendeiner abschätzung mit der bernoulliungleichung? (2)

Das bringt aber nur eine Abschätzung in die falsche Richtung, wenn du $\begin{eqnarray*} a_n<b_n \end{eqnarray*}$ abschätzt, und $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ bestimmt gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ divergiert, hilft dir das kein bisschen dabei, irgendetwas über $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ auszusagen.

Zitat:

beide wege haben doch aber nicht so viel mit der art beweis der anderen folgen zu tun?

Ist ja auch eine ganze andere Folge Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bei dieser Folge reicht es, zu sehen, dass $\begin{eqnarray*} n!=1\cdot 2\cdot \dots \cdot (n-1)\cdot n \end{eqnarray*}$ gilt, dann kann man für große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ geeignet kürzen.

28.05.2014, 13:07

akamanston

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Zitat:

Original von bijektion
Bei dieser Folge reicht es, zu sehen, dass $\begin{eqnarray*} n!=1\cdot 2\cdot \dots \cdot (n-1)\cdot n \end{eqnarray*}$ gilt, dann kann man für große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ geeignet kürzen.

meinst du mit dem kürzen, dass man immer die 3er aus dem nenner mit den anderen "3er" zahlen aus dem zähler, wie zB 9=3*3 etc rauskürzen kann?
aber das sieht doch bescheuert aus wenn ich sowas hinschreibe. wäre doch viel schöner wenn ich zeige das der zähler viel schneller wächst als der nenner, was ich durch die probewerte getestet habe.

deshalb tendiere ich eher zu induktion: so ala n! >3^n für n>7.

wir hatten das beispiel $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{2^{n} }{n!} \end{eqnarray*}$ und wir haben die ganze folge mit 1/n abgeschätzt.
das ist ja eine nullfolge, deshalb darf ich das in die richtung wohl machen. zu meiner unendlichfolge (und zu unendlichfolgen allgemein) gibt es keine folge mit der ich das abschätzen kann, oder?

und zur Abschätzung: woher weis ich in welche Richtung ich das machen soll???welche folge darf ich da zum abschätzen benutzen??? irgendeine die kleiner/gröser bzw. eine die die Abschätzung erfüllt ?
das mit dem abschätzen ist außerdem so ne sache=) das wird bestimmt demnächst noch behandlet und dann werdet ihr noch zugepamt mit kindergartenfragen=)

29.05.2014, 11:02

bijektion

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Zitat:

das ist ja eine nullfolge, deshalb darf ich das in die richtung wohl machen. zu meiner unendlichfolge (und zu unendlichfolgen allgemein) gibt es keine folge mit der ich das abschätzen kann, oder?

Doch klar gibts das, in deinem Beispiel ist sicherlich $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{3^{n} } <n^n \end{eqnarray*}$ für großes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , bringt nur leider gar nichts. Schöner wäre etwas der Form $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{3^{n} } \geq \dots \end{eqnarray*}$ , und genau das kannst du erhalten, wenn du meinen Hinweis beachtest.

Zitat:

welche folge darf ich da zum abschätzen benutzen???

Dafür benötigt es Intuition: Du solltest erstmal eine vermutung haben, ob die Folge konvergent oder divergent ist.

Zitat:

meinst du mit dem kürzen, dass man immer die 3er aus dem nenner mit den anderen "3er" zahlen aus dem zähler, wie zB 9=3*3 etc rauskürzen kann?

Nein, noch viel besser abschätzen. Es sind im Zähler nur $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Faktoren kleiner als $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ , nehmen wir einfach mal an das $\begin{eqnarray*} n>2^{10} \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} (n-2)\cdot (n-1)>(2^{10}-2)\cdot (2^{10}-1) \end{eqnarray*}$ , jetzt kannst du soviele
$\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ -en damit kürzen wie es geht. Wenn du das immer soweiter machst kommst du auch ans Ziel.

Schöner ist es, eine Abschätzung zu finden. Dann könntest du etwa $\begin{eqnarray*} n!>4^n \end{eqnarray*}$ für großes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zeigen und dann $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{3^{n} } \geq (\frac{4}{3})^n \end{eqnarray*}$ , und über die Folge weißt du, das sie bestimmt divergent ist.

29.05.2014, 12:44

akamanston

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Zitat:

Original von bijektion
Nein, noch viel besser abschätzen. Es sind im Zähler nur $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Faktoren kleiner als $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ , nehmen wir einfach mal an das $\begin{eqnarray*} n>2^{10} \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} (n-2)\cdot (n-1)>(2^{10}-2)\cdot (2^{10}-1) \end{eqnarray*}$ , jetzt kannst du soviele
$\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ -en damit kürzen wie es geht. Wenn du das immer soweiter machst kommst du auch ans Ziel.
was schreibst du denn da? das ist doch das gleiche. ist doch nicht größer. ich verstehs echt null.

Schöner ist es, eine Abschätzung zu finden. Dann könntest du etwa $\begin{eqnarray*} n!>4^n \end{eqnarray*}$ für großes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zeigen und dann $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{3^{n} } \geq (\frac{4}{3})^n \end{eqnarray*}$ , und über die Folge weißt du, das sie bestimmt divergent ist.

wählst du die 4 schon im hinblick auf den bruch $\begin{eqnarray*} (\frac{4}{3})^n \end{eqnarray*}$ ?? etz mal was ganz dummes ich könnte doch auch schreibeen >(1/1)^n ^^ bringt mich das weiter?

muss ich das jetzt über induktion zeigen?
darf ich meine idee mit zähler>nenner (-->induktion) nicht machen, oder wieso ignorierst du meine idee?

29.05.2014, 12:50

bijektion

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Zitat:

wählst du die 4 schon im hinblick auf den bruch $\begin{eqnarray*} (\frac{4}{3})^n \end{eqnarray*}$

Ja mache ich.

Zitat:

ich könnte doch auch schreibeen >(1/1)^n ^^ bringt mich das weiter?

Klar kannst du, das bringt aber gar nichts, die Aussage bringt soviel wie $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{3^{n} } <n^n \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

darf ich meine idee mit zähler>nenner (-->induktion)

Das Problem ist, das du zeigen willst, dass $\begin{eqnarray*} n!>3^n \end{eqnarray*}$ , das ist aber zu schwach, dann erhälst du gerade das $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{3^{n} } >1 \end{eqnarray*}$ .

Du musst hier eine Folge finden, die immer kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{3^{n} } \end{eqnarray*}$ ist, aber trotzdem divergiert, und da ist eine geometrische Folge ganz passend smile

smile

29.05.2014, 12:53

akamanston

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okok, zeige ich deinen weg mit induktion? (das wird lustig...)

29.05.2014, 12:59

bijektion

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Um meinen Weg mit Induktion zu zeigen, musst du nur die recht einfache Ungleichung $\begin{eqnarray*} n!>4^n \end{eqnarray*}$ zeigen, wenn du die nicht also gegeben voraussetzen darfst.
Das $\begin{eqnarray*} ((\frac{4}{3})^n)_n \end{eqnarray*}$ bestimmt divergiert weißt du.

29.05.2014, 13:14

akamanston

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klar weiß ich das=)

also ich muss nur die relation der zähler zeigen, weil die nenner ja gleich sind und sich rauskürzen.

29.05.2014, 13:20

bijektion

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Zitat:

also ich muss nur die relation der zähler zeigen, weil die nenner ja gleich sind und sich rauskürzen.

Deshalb mach ich gerade diese Abschätzung smile

smile

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