Varianzen berechnen

24.05.2014, 21:43

Moritzx0x

Varianzen berechnen

Hallo,

könntet ihr mir bitte bei folgender Aufgabe weiterhelfen? bei a) ist der EW 1/4, bei der b) 3, bei der c) 2,1875. wie muss ich die Varianzen ausrechnen? und wie muss ich die c) bearbeiten?

Gruß

Aus einem Kartenstapel (16 Karten) mit den Zahlen von 1 bis 4 in den Farben rot, gelb, grün und blau werde 4 Mal ohne Zurücklegen gezogen.
{a) EW dafür, dass man in der iten Ziehung eine 3 zieht.} EW=1/4
b) Man erhält 3 €, wenn man eine 3 zieht. DIe Zufallsgröße U gebe den Gewinn an. Stellen Sie U durch xi, i aus (1,2,3,4) dar. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von U.
c) Berechnen Sie die Varianz.wenn man die 3 zieht, bekommt man folgendes:
7€ für eine 3 in der ersten Ziehung
1€ für eine 3 in der zweiten Ziehung
50 Cent für eine 3 in der dritten Ziehung
25 Cent für eine 3 in der vierten Ziehung
c) In dieser Spielvariante erhält man jedes Mal, wenn man eine Karte zieht abhängig von der Farbe einen Gewinn bzw. Verlust:
6€ für eine rote Karte Ziehung
2€ für eine gelbe
-3€ grün
-7€ blau
Zufallsgröße W geben den Gewinn an. Berechne E(W) und Var(W)

24.05.2014, 21:56

HAL 9000

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Ist bei b) mit U der Gesamtgewinn aus allen 4 Ziehungen gemeint, oder nur von einer Ziehung? Generell ist festzustellen, dass etwas undeutlich formuliert ist, von welcher Zufallsgröße jeweils Erwartungswert/Varianz gebildet werden bzw. die Zufallsgröße selbst ist nicht klar genug erklärt.

24.05.2014, 22:09

Moritzx0x

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also bei der b) E(U) und Var(U)
c) E(V) und Var(V)
d) E(W) und Var(W)

24.05.2014, 22:40

HAL 9000

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Das beantwortet nicht meine erste Nachfrage:

Zitat:

Original von HAL 9000
Ist bei b) mit U der Gesamtgewinn aus allen 4 Ziehungen gemeint, oder nur von einer Ziehung?

24.05.2014, 22:53

Moritzx0x

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Also die Aufgabenstellung habe ich ja oben aufgeschrieben, aber ich denke, dass alle Ziehungen damit gemeint sind, also der Gesamtgewinn.

24.05.2014, 23:43

HAL 9000

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Ok, ich schreib erstmal die Aufgabenstellung so um, dass die diversen Lücken gefüllt sind und die Verwendung der Begriffe nicht im Widerspruch mit ihrer üblichen Verwendung in der Stochastik stehen:

Zitat:

Aus einem Kartenstapel (16 Karten) mit den Zahlen von 1 bis 4 in den Farben rot, gelb, grün und blau werde viermal ohne Zurücklegen gezogen.

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man in der $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -ten Ziehung eine 3 zieht.

b) Man erhält jedesmal 3 €, wenn man eine 3 zieht. Die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ gebe den Gesamtgewinn aller vier Ziehungen an. Stellen Sie $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \{1,2,3,4\} \end{eqnarray*}$ dar, dabei kennzeichnet $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ den mit der $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -ten gezogenen Karte erzielten Gewinn. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ .

c) Berechnen Sie die Varianz von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , wenn abweichend zu b) folgende anderen Auszahlungen erfolgen:

7€ für eine 3 in der ersten Ziehung
1€ für eine 3 in der zweiten Ziehung
50 Cent für eine 3 in der dritten Ziehung
25 Cent für eine 3 in der vierten Ziehung

d) In dieser Spielvariante erhält man jedes Mal, wenn man eine Karte zieht abhängig von der Farbe einen Gewinn bzw. Verlust:

6€ für eine rote Karte Ziehung
2€ für eine gelbe
-3€ grün
-7€ blau

Die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ gibt hier den Gesamtgewinn der vier Ziehungen an. Berechne $\begin{eqnarray*} E(W) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(W) \end{eqnarray*}$ .

a) Der von dir angegebene Wert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ist dann richtig als gesuchte Wahrscheinlichkeit (!). Ein Erwartungswert ist das allenfalls für die Indikatorvariable, die das Ziehen einer 3 betrifft, aber von einer derartigen Zufallsgröße ist weit und breit keine Rede. unglücklich

Gemeinsame Überlegungen für b),c),d):

Es ist $\begin{eqnarray*} U = X_1+X_2+X_3+X_4 = \sum_{k=1}^4 X_k \end{eqnarray*}$ (bei d) ist es $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , aber in derselben Summenbedeutung). Dann ist

$\begin{eqnarray*} E(U) = \sum_{k=1}^4 E(X_k) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(U) = E(U^2)-(E(U))^2 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} E(U^2) = E\left( \sum_{k=1}^4 \sum_{j=1}^4 X_kX_j \right) = \sum_{k=1}^4 \sum_{j=1}^4 E(X_kX_j) \end{eqnarray*}$

Nun zu den einzelnen Teilaufgaben:

b) Hier ist (siehe auch a)) $\begin{eqnarray*} P(X_k=3) = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(X_k=0) = \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ . Dies ergibt

$\begin{eqnarray*} E(X_k) = 3\cdot \frac{4}{16} = \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(X_k^2) = 3^2\cdot \frac{4}{16} = \frac{9}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(X_kX_j) = 3\cdot 3\cdot \frac{4}{16}\cdot \frac{3}{15} = \frac{9}{20} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\neq j \end{eqnarray*}$

Letztere Rechnung ist wohl der spannendste Teil der Geschichte, da geht es um die durch das "ohne Zurücklegen" geschuldeten Abhängigkeiten der einzelnen Ziehungen voneinander:

Es ist sowieso nur dann $\begin{eqnarray*} X_kX_j\neq 0 \end{eqnarray*}$ , wenn in beiden Ziehungen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ ein Gewinn ungleich Null erzielt wird. Der ist dann jeweils 3, also $\begin{eqnarray*} X_kX_j = 3^2 = 9 \end{eqnarray*}$ . Das geschieht mit einer Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \frac{4}{16}\cdot \frac{3}{15} \end{eqnarray*}$ , denn die bedingte Wahrscheinlichkeit im j-ten Zug eine 3 zu ziehen unter der Bedingung, dass dies im k-ten Zug auch der Fall war, ist bei nur mehr drei verbliebenen 3er-Karten aus noch 15 verbliebenen Karten gleich $\begin{eqnarray*} \frac{3}{15} \end{eqnarray*}$ .

Damit folgt summa summarum

$\begin{eqnarray*} E(U) = 4\cdot \frac{3}{4} = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(U^2) = 4\cdot \frac{9}{4} + 12\cdot \frac{9}{20} = \frac{72}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(U) = \frac{72}{5} - 3^2 = \frac{27}{5} \end{eqnarray*}$

c) Hier haben wir andere Auszahlungen

$\begin{eqnarray*} P(X_1=7) = \frac{1}{4}, \quad P(X_1=0) = \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X_2=1) = \frac{1}{4}, \quad P(X_2=0) = \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X_3=0.5) = \frac{1}{4}, \quad P(X_3=0) = \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X_4=0.25) = \frac{1}{4}, \quad P(X_4=0) = \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Auf der Basis der im Vorspann vor b),c),d) genannten Formeln kann nun auch hier $\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(U) \end{eqnarray*}$ berechnet werden.

d) Hier haben wir wieder wie in b) (und im Unterschied zu c)) $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ , deren Verteilungsgesetz unabhängig von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist, aber dafür komplizierter als in b):

$\begin{eqnarray*} P(X_k=6) = P(X_k=2) = P(X_k=-3) = P(X_k=-7) = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ .

Ansonsten gelten auch hier wieder die o.g. Formeln, wobei die Rechnung zu $\begin{eqnarray*} E(X_kX_j) \end{eqnarray*}$ im Fall $\begin{eqnarray*} k\neq j \end{eqnarray*}$ etwas umfänglicher wird.

25.05.2014, 15:36

Moritzx0x

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Ich habe nicht ganz verstanden wie du bei der b) auf E(U^2) kommst. Du hast ja oben zwei Summen benutzt, ich habe aber nicht ganz verstanden was du da gerechnet hast. Kannst du das ein bisschen näher erläutern bitte?

25.05.2014, 15:40

HAL 9000

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Für $\begin{eqnarray*} U = \sum_{k=1}^4 X_k \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} U^2 = \left( \sum_{k=1}^4 X_k \right) \cdot \left( \sum_{k=1}^4 X_k \right) \end{eqnarray*}$ .

Will man dies in eine Doppelsumme bringen, dann kollidieren die beiden gleichnamigen Indizes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ - also muss man eine symbolisch umetikettieren:

$\begin{eqnarray*} U^2 = \left( \sum_{k=1}^4 X_k \right) \cdot \left( \sum_{j=1}^4 X_j \right) = \sum_{k=1}^4 \sum_{j=1}^4 X_k X_j \end{eqnarray*}$ ,

mehr passiert da nicht.

25.05.2014, 15:42

Moritzx0x

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Ok, aber welche Karten sind denn damit gemeint?

25.05.2014, 15:44

HAL 9000

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Im Gegensatz zu dir oben habe ich die $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ erklärt - und bin mehrfach detailliert auf deren Verteilung eingegangen:

Zitat:

Original von HAL 9000
dabei kennzeichnet $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ den mit der $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -ten gezogenen Karte erzielten Gewinn.

[...]
b) Hier ist (siehe auch a)) $\begin{eqnarray*} P(X_k=3) = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(X_k=0) = \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ .

25.05.2014, 15:48

Moritzx0x

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Hmm, ok, ich verstehe trotzdem nicht wieso da $\begin{eqnarray*} 3*3*4/16*3/15=9/20 \end{eqnarray*}$ steht

25.05.2014, 15:54

HAL 9000

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Schade, denn gerade dieser Rechnung habe ich oben einen ausführlichen Erklärungsabschnitt gewidmet. unglücklich

25.05.2014, 15:59

Moritzx0x

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Die Schritte N sich habe ich verstanden, aber wieso man das macht und welche Karten das genau beschreibt, das habe ich nicht verstanden. Ach, ich habe den Teil überlesen. Sorry, ok, ok, ich habs jetzt verstanden. Ich versuche es jetzt mal mit den anderen

26.05.2014, 23:19

Moritzx0x

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Hallo,

also bei E(U^2) habe ich leider nicht verstanden, von wo die 12 kommt. Kannst du das bitte näher erläutern?

Gruß

27.05.2014, 11:02

HAL 9000

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Es gibt $\begin{eqnarray*} 4^2=16 \end{eqnarray*}$ Indexpaare $\begin{eqnarray*} (k,j) \end{eqnarray*}$ im Bereich $\begin{eqnarray*} k,j\in\{1,2,3,4\} \end{eqnarray*}$ , also insgesamt auch 16 Summanden $\begin{eqnarray*} E(X_kX_j) \end{eqnarray*}$ .

Für 4 davon gilt $\begin{eqnarray*} k=j \end{eqnarray*}$ , d.h. dort ist $\begin{eqnarray*} E(X_kX_j) = E(X_k^2) \end{eqnarray*}$ .

Für die restlichen $\begin{eqnarray*} 16-4=12 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} k\neq j \end{eqnarray*}$ , dort läuft die Berechnung von $\begin{eqnarray*} E(X_kX_j) \end{eqnarray*}$ eben etwas anders.

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