ähnlichkeit von matrizen - kurzer check.

25.05.2014, 03:03

akamanston

ähnlichkeit von matrizen - kurzer check.

HI,

nur kurz zur bestätigung.

ich soll die matrizen auf ähnlchkeit überprüfen.
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1& 1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C=\begin{pmatrix} 1& 0 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und die sind halt ähnlich.
das sehe ich schon an der gleichen diagonale, stimmts?
oder an der determinante etc....
aber was ich mich frage.

ist die formel MA=CM ,bei der M wohl eine übergangsmatrix ist ein weiteres kriterium für ähnlichkeit, oder muss ich das zusätzlich auch zeigen?

25.05.2014, 09:27

Iorek

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RE: ähnlichkeit von matrizen - kurzer check.

Zitat:

Original von akamanston
das sehe ich schon an der gleichen diagonale, stimmts?
oder an der determinante etc....

Nein, die gleiche Diagonale ist kein Kriterium dafür, die Determinante schon eher, aber das allein reicht auch nicht aus.

WENN zwei Matrizen ähnlich sind, DANN haben sie den gleichen Rang, die gleiche Spur, die gleiche Determinante, das gleiche charakteristische Polynom, das gleiche Minimalpolynom, die gleiche Jordannormalform. Die Umkehrung gilt aber nicht. Bloß weil zwei Matrizen die gleiche Determinante oder die gleiche Spur haben, müssen sie noch lange nicht ähnlich sein.

Zitat:

Original von akamanston
ist die formel MA=CM ,bei der M wohl eine übergangsmatrix ist ein weiteres kriterium für ähnlichkeit, oder muss ich das zusätzlich auch zeigen?

Der Begriff der Übergangsmatrizen kommt eher aus der Stochastik, was meinst du in diesem Kontext damit? Das sieht mir eher nach der Definition aus: zwei Matrizen $\begin{eqnarray*} A,B\in K^{n\times n} \end{eqnarray*}$ heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix $\begin{eqnarray*} S\in K^{n\times n} \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} A=S^{-1}BS \end{eqnarray*}$ , was zu $\begin{eqnarray*} SA=BS \end{eqnarray*}$ äquivalent ist.

Jetzt kommt es darauf an, was dir für Kriterien zur Verfügung stehen. Bei diesen Matrizen könnte man durchaus noch einen elementaren Ansatz verwenden, eine Matrix $\begin{eqnarray*} S=\begin{pmatrix} s_1 & s_2 \\ s_3 & s_4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aufstellen und ein Gleichungssystem lösen. Mit etwas mehr theoretischem Hintergrund könnte man sich das Minimalpolynom ansehen. Für $\begin{eqnarray*} 2\times 2 \end{eqnarray*}$ -Matrizen (und nur für die, für $\begin{eqnarray*} 3\times 3 \end{eqnarray*}$ oder größer funktioniert das nicht mehr) ist die Ähnlichkeit nämlich schon gegeben, wenn die Minimalpolynome gleich sind.

25.05.2014, 22:08

akamanston

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RE: ähnlichkeit von matrizen - kurzer check.

Zitat:

Nein, die gleiche Diagonale ist kein Kriterium dafür, die Determinante schon eher, aber das allein reicht auch nicht aus.

WENN zwei Matrizen ähnlich sind, DANN haben sie den gleichen Rang, die gleiche Spur, die gleiche Determinante, das gleiche charakteristische Polynom, das gleiche Minimalpolynom, die gleiche Jordannormalform. Die Umkehrung gilt aber nicht. Bloß weil zwei Matrizen die gleiche Determinante oder die gleiche Spur haben, müssen sie noch lange nicht ähnlich sein.

Ok, das ist schon eine gute erkenntnis. ich war mir nämlich nicht sicher.

unsere leiterin hat immer irgendwie gesagt, dass etwas klar ist wenn die spur gleich ist. aber worum es genau ging, kann ich nicht sagen.
jordannormalform höre ich nämlich zum ersten mal.

Zitat:

Das sieht mir eher nach der Definition aus: zwei Matrizen $\begin{eqnarray*} A,B\in K^{n\times n} \end{eqnarray*}$ heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix $\begin{eqnarray*} S\in K^{n\times n} \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} A=S^{-1}BS \end{eqnarray*}$ , was zu $\begin{eqnarray*} SA=BS \end{eqnarray*}$ äquivalent ist.

ok, das ist nun ganz wichtig. genau die definition habe ich in wiki und im skript gelesen. reicht es wenn ich genau diese formel prüfe unabhängig von den oben genannten kriterien? das wäre dann der einfachst und schnellste weg zu prüfen ob die matrizen ähnlich sind.

Zitat:

Jetzt kommt es darauf an, was dir für Kriterien zur Verfügung stehen. Bei diesen Matrizen könnte man durchaus noch einen elementaren Ansatz verwenden, eine Matrix $\begin{eqnarray*} S=\begin{pmatrix} s_1 & s_2 \\ s_3 & s_4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aufstellen und ein Gleichungssystem lösen. Mit etwas mehr theoretischem Hintergrund könnte man sich das Minimalpolynom ansehen. Für $\begin{eqnarray*} 2\times 2 \end{eqnarray*}$ -Matrizen (und nur für die, für $\begin{eqnarray*} 3\times 3 \end{eqnarray*}$ oder größer funktioniert das nicht mehr) ist die Ähnlichkeit nämlich schon gegeben, wenn die Minimalpolynome gleich sind.

ich denke anhand deiner beschreiben erkenne ich, dass wir genau das gemacht haben. mit der allgemeinen matrix S haben wir zwei neue matrizen berechnet und dann ein lgs aufgestellt. aber das lgs war ganz komisch. wir hatten a,b,c,d gewählt und nicht wie du s1,... dann hatten wir a=a, a+b=b, c=a+c, c+d=b+d. und dann haben wir irgendwie einfach werte gewählt. a=0 und b=c=d=1. herauskam dann $\begin{eqnarray*} S=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . aber irgendwie kann ich mir das nicht so ganz erkären.

25.05.2014, 22:22

Iorek

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Ob man die Einträge jetzt $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} s_1,s_2,s_3,s_4 \end{eqnarray*}$ oder auch $\begin{eqnarray*} \text{Apfelbaum},\text{Birnenbaum},\text{Kirschbaum},\text{Aprikosenbaum} \end{eqnarray*}$ nennt, ist doch vollkommen egal.
Und ja, es reicht natürlich aus, diese Matrix $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ konkret zu berechnen, also das Gleichungssystem aufzustellen und zu lösen. Allerdings ist das in der Regel nicht der schnellste Weg, wenn man also andere Möglichkeiten zur Verfügung hat, versucht man das meist zu vermeiden.

25.05.2014, 22:29

akamanston

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Zitat:

Original von Iorek
Ob man die Einträge jetzt $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} s_1,s_2,s_3,s_4 \end{eqnarray*}$ oder auch $\begin{eqnarray*} \text{Apfelbaum},\text{Birnenbaum},\text{Kirschbaum},\text{Aprikosenbaum} \end{eqnarray*}$ nennt, ist doch vollkommen egal.

jaaa das ist mir schon klar, ich habe es nur erwähnt, damit du sichergehen kannst das ich das gleiche meine. habe es nur durch meine buchstaben ersetzt.

ok vlt ist es nicht der schnellste weg, das kann wohl sein. das lgs fand ich dennoch komisch, aber du hast es wohl nicht weiter angeschaut weil es wohl zu bruckstückhaft geschrieben wurde. ist aber egal- ich komm schon dahinter.

25.05.2014, 22:42

Iorek

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RE: ähnlichkeit von matrizen - kurzer check.

Zitat:

Original von akamanston
dann hatten wir a=a, a+b=b, c=a+c, c+d=b+d. und dann haben wir irgendwie einfach werte gewählt. a=0 und b=c=d=1.

Ohne weiteren Aufgabenbezug kann man da auch nicht viel zu sagen bzw. da ist generell nicht viel zu zu sagen. Ihr habt die Matrix $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ aufgestellt, die entsprechenden Matrixprodukte gebildet und daraus ein LGS konstruiert. Das wurde dann anscheinend mit dem Gaußalgorithmus gelöst.

25.05.2014, 23:18

akamanston

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RE: ähnlichkeit von matrizen - kurzer check.
nagut.

aber aufgepasst hier hab ich eine aufgabe, bei der ich das gefühl habe, dass sich einiges widerspricht mit dem was wir geschrieben haben.

ich habe 2 matrizen A und B gegeben und soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} A=T^{-1} BT \end{eqnarray*}$ ist.
das bedeutet ja im prinzip, dass ich zeigen soll, dass A ähnlich zu B ist. ich kann das ja auch mit der formel prüfen $\begin{eqnarray*} MA=BM \end{eqnarray*}$ .

und nun haben wir jeweil das charakteristische polynom berechnet. Die eigenwerte von A sind 1,2,-2 und bei B kamen die gleichen heraus. jetzt haben wir direkt daraus geschlossen, dass die matrizen ähnlich sind. aber wir haben doch gesagt, dass die eine eigenschaft nicht reicht?!?

Es gab auch eine matrix C, die die Eigenwerte 1,2,2 hatte. hier ist es einleuchtend, dass A nicht ähnlich zu C sein kann.

edit: wobei ich jetzt bei wiki lese, dass wenn zwei matrizen die gleichen eigenwerten besitzen sie dann auch ähnlich sind. bei gleichen eigenwerten haben sie dann auch die oben aufgeführten eigenschaften.
ich habe nämlich das "gleiche charakteristische polynom" mit "gleichen eigenwerten" gleichgesetzt.

26.05.2014, 07:22

Iorek

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RE: ähnlichkeit von matrizen - kurzer check.

Zitat:

Original von akamanston
edit: wobei ich jetzt bei wiki lese, dass wenn zwei matrizen die gleichen eigenwerten besitzen sie dann auch ähnlich sind. bei gleichen eigenwerten haben sie dann auch die oben aufgeführten eigenschaften.
ich habe nämlich das "gleiche charakteristische polynom" mit "gleichen eigenwerten" gleichgesetzt.

Nein, das kann man so auch nicht direkt schließen und das ist auch nicht das, was auf Wikipedia steht. Du solltest dir eine genauere Arbeitsweise angewöhnen, das ist eine der wichtigsten Sachen für die Mathematik. Wenn zwei Matrizen ähnlich sind, dann haben sie die gleichen Eigenwerte und das gleiche charakeristische Polynom, die Umkehrung gilt in der Regel nicht.

Da du auch diese Aufgabe nur bruchstückhaft mitteilst, kann man da nur raten, was ihr gemacht habt. Ich vermute mal, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ jeweils 3x3-Matrizen waren. In diesem Fall kann man dann mit Hilfe der 3 paarweise verschiedenen Eigenwerte (das "paarweise verschieden" ist hier sehr wichtig) sagen, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ diagonalisierbar sind. Da sie die gleichen Eigenwerte besitzen, sind beide ähnlich zu einer Diagonalmatrix $\begin{eqnarray*} D=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Da die Ähnlichkeit von Matrizen von Matrizen eine Äquivalenzrelation ist, kann man jetzt daraus schließen, dass auch $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ähnlich sind.

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