Komplexe Ebene

26.05.2014, 01:06	Cevas	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Ebene Meine Frage: Seien A, B, C drei Punkte der komplexen Ebene mit: $\begin{eqnarray} Z_{A} =z+i+l \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} Z_{B} =3z+1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Z{c} =2z+i \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} z\in \mathbb C \end{eqnarray}$ . a) Bestimme die Menge $\begin{eqnarray} E = \left\{z \in C / A \neq B und A \neq C und B \neq C\right\} \end{eqnarray}$ b) Bestimme die Menge $\begin{eqnarray} F =\left\{z / z \in E und \frac{Z_B - Z_A}{Z_C - Z_A}\in i\mathbb R\right\} \end{eqnarray}$ c) Was kann man über ABC sagen? Meine Ideen: Ich habe $\begin{eqnarray} z=x + iy \end{eqnarray}$ gesetzt. Bei a) habe ich als Antwort $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ ohne i/2, 1 und -1+i Bei b) bekomme ich einen Kreis mit dem Radius $\begin{eqnarray} \sqrt 5 /4 \end{eqnarray}$ Ist das richtig? Bei c keine Ahnung. Für eine ErklärungIch bedanke ich mich sehr im Voraus!!!
26.05.2014, 12:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Was bedeutet $\begin{eqnarray} Z_A,Z_B,Z_C \end{eqnarray}$ ? Was ist $\begin{eqnarray} l \end{eqnarray}$ in der Definition von $\begin{eqnarray} Z_A \end{eqnarray}$ ?
26.05.2014, 19:09	Cevas	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} Z_A \end{eqnarray}$ ist die komplexe Zahl, die den Punkt A auf der Ebene entspricht.
26.05.2014, 19:10	Cevas	Auf diesen Beitrag antworten »
Das soll kein L sein sondern 1!!
27.05.2014, 13:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Sinn der Sache entgeht mir völlig. C=2z+i kann jeder beliebige Punkt sein, wenn die komplexe Zahl z=(C-i)/2 ist. Genau so für A und B. Wenn allerdings die definierenden Gleichungen für A,B,C so heißen: z=z+i+1, z=3z+1, z=2z+i, dann hat die erste keine Lösung, die Gleichungen für B und C sind eindeutig lösbar. Was ist C ? Wieso können E und F über die Mengen C und E definiert werden ?? Ich dachte, C sei ein Punkt ??? Kannst du die Aufgabe im Originaltext vollständig posten ?
27.05.2014, 14:57	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Tatsächlich eine verwirrende Aufgabenstellung. Ich verstehe sie so: Wir haben eine komplexe Zahl $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ , die wie ein Parameter fungiert. Mit ihr definieren wir drei weitere komplexe Zahlen $\begin{eqnarray} a=a(z), b=b(z), c=c(z) \end{eqnarray}$ . In der Aufgabe heißen diese $\begin{eqnarray} Z_A,Z_B,Z_C \end{eqnarray}$ . Ich sehe aber keinen Grund, hier einen großen Unterschied zwischen dem Punkt $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und der komplexen Zahl $\begin{eqnarray} Z_A \end{eqnarray}$ , die diesen Punkt repräsentiert, zu machen, und identifiziere die beiden Objekte, wie es bei komplexen Zahlen üblich ist. Beide Objekte heißen bei mir $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ . Kurzum - mit Hilfe von $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ definiert man $\begin{eqnarray} a = z + 1 + \operatorname{i} \, , \ \ b = 3z + 1 \, , \ \ c = 2z + \operatorname{i} \end{eqnarray}$ In a) wird nun gefragt, für welche Wahlen von $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ keine zwei der drei Punkte $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$ zusammenfallen. Ich denke, diesen Teil hat Cevas richtig gelöst. Bei der Definition der Menge $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ in b) wird $\begin{eqnarray} z \in E \end{eqnarray}$ vorausgesetzt. Das garantiert, daß man in $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$ tatsächlich drei verschiedene Punkte hat. Insbesondere ist der Bruch $\begin{eqnarray} \frac{b-a}{c-a} \end{eqnarray}$ wohldefiniert. Auch diesen Aufgabenteil hat Cevas im wesentlichen richtig gelöst. Man könnte noch anfügen, daß $\begin{eqnarray} m = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \operatorname{i} \end{eqnarray}$ der Mittelpunkt des Kreises ist und der Kreis durch den Ursprung geht. Allerdings ist zu beachten, daß zwei der drei $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ -Werte, die in a) ausgeschlossen wurden, auf dem Kreis liegen. Die Menge $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ ist daher ein in zwei Punkten gelochter Kreis. Bei c) bin ich auch etwas ratlos, was man da will. Ich verstehe es so: Im allgemeinen bilden $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$ ein nichtentartetes Dreieck, es sei denn, $\begin{eqnarray} b-a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c-a \end{eqnarray}$ sind reell linear abhängig, was auf eine ähnliche Bedingung wie in b) hinausläuft: $\begin{eqnarray} \frac{b-a}{c-a} \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ Die $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ , die man aus dieser Bedingung erhält, bilden eine Gerade. Falls $\begin{eqnarray} c=a \end{eqnarray}$ ist, ist der Bruch nicht definiert. Aber auch in diesem Fall liegt das zugehörige $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ auf jener Geraden. Und das Dreieck ist ebenfalls entartet. Das wäre meine Interpretation von c). Ich gebe aber zu, daß das mehr meine Intuition ist, als daß die Aufgabenstellung es in Wahrheit hergäbe.
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27.05.2014, 20:14	Cevas	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Ebene Vielen Dank an Leopold und Elvis für die Kommentare. Die Aufgabe ist original vom Französischen von mir übersetzt worden. Ich muss zugeben, dass die Trennung zwischen der geometrischen und komplexen Ebene ist für mich auch ein Rätsel, dies liegt leider in der französischen Tradition. Mir scheint es im nachhinein deutlicher mit den Bezeichnungen von Leopold: a, b und c. Wie ich es verstanden habe, man bekommt auf jeden Fall ein Dreieck, das irgend eine eigenschaft haben muss, die ich nicht rausbekomme. Kann man es mit Computer-Algebra lösen??

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