Transformationsmatrix zur jordanschen Normalform finden

26.05.2014, 09:39

Trinitro

Transformationsmatrix zur jordanschen Normalform finden

Hi,
Ich soll eine Transformationsmatrix S zur Matrix C finden, sodass J=S^-1CS ihre Jordansche Normalform ist.

Also $\begin{eqnarray*} C=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich bin jetzt soweit dass ich als Eigenwert 2 habe und als Eigenvektoren
v=(x, x, 0) und v2=(0,0,1).

Wie muss ich denn jetzt weiter machen? unglücklich

26.05.2014, 10:38

HAL 9000

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Offenbar musst du noch einen Hauptvektor zu deinem Eigenwert 2 berechnen.

26.05.2014, 10:51

Trinitro

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ok,
kann ich dazu (0,0,1) benutzen oder muss ich beide eigenvektoren verwenden?
Also ich würde jetzt zum Beispiel

(C-2x)*v3=(0,0,1) berechnen, aber das funktioniert nicht traurig

26.05.2014, 11:02

HAL 9000

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Wohl eher eine Kombination aus beiden, damit das Gleichungssystem für den Hauptvektor überhaupt lösbar ist.

26.05.2014, 11:11

Trinitro

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geht das dann mit

(C-2x)^3*v3=0?

dann hätte ich als v3 einen beliebigen Vektor weil (c-2x)^3 die Nullmatrix ist

26.05.2014, 12:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von Trinitro
geht das dann mit

(C-2x)^3*v3=0?

dann hätte ich als v3 einen beliebigen Vektor weil (c-2x)^3 die Nullmatrix ist

Wieso ^3? Nein, es geht nur um ^2 - bzw. alternativ um eine Lösung von

$\begin{eqnarray*} (C-2x)*v3 = v \end{eqnarray*}$

mit irgendeinem Eigenvektor v derart, dass dieses System überhaupt eine Lösung hat. Da wäre hier z.B. $\begin{eqnarray*} v=(1,1,1)^T \end{eqnarray*}$ passend.

26.05.2014, 14:35

Trinitro

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Erst mal vielen danch 2 Augenzwinkern

Da kommt schon die nullmatrix raus. Kann Ich deshalb sagen ich suche mir einen linear unabhängigen Vektor Aus?

26.05.2014, 19:48

HAL 9000

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Ah ja, nach kleiner Auffrischung: Die Sache ist dann doch etwas komplzierter:

Zum Eigenwert 2 gibt es bei dir zwei Jordan-Blöcke: Einen der Größe 2 und einen der Größe 1.

Zunächst zu dem der Größe 2: Bestimme einen Hauptvektor der Stufe 2, d.h. eine Lösung $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ von

$\begin{eqnarray*} (C-2I)^2 x = 0 \end{eqnarray*}$ , die keine Lösung von $\begin{eqnarray*} (C-2I) x = 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Wie du richtig festgestellt hast, ist hier $\begin{eqnarray*} (C-2I)^2 \end{eqnarray*}$ die Nullmatrix, d.h. du kannst hier jeden Vektor $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ nehmen, der kein Eigenvektor zum Eigenwert 2 ist. Diesem Vektor zugeordnet direkt davor in der Transformationsmatrix ist der Eigenvektor $\begin{eqnarray*} (C-2I) x \end{eqnarray*}$ . Damit sind die ersten beiden Spalten fertig.

Schlussendlich geht es noch um den verbleibenden Jordanblock der Größe 1: Das ist einfach ein weiterer Eigenvektor, der zumindest vom bereits benutzten linear unabhängig sein muss.

27.05.2014, 11:29

Trinitro

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Danke für deine Hilfe ich glaube jetzt hab ich es =)
Wenn ich als Hauptvektor v=(0;1;0) wähle komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} S=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dann ist $\begin{eqnarray*} J=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

27.05.2014, 14:09

HAL 9000

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Hmmm, mit deinem gewählten $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ und dem von mir noch mal rekapitulierten Vorgehen kommt man aber auf

$\begin{eqnarray*} (C-2I)\cdot v = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,

also hätte ich bei dir eher die Transformationsmatrix

$\begin{eqnarray*} S= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit dann

$\begin{eqnarray*} J = S^{-1}AS = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

erwartet. Dein $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ist ja leider sogar singulär, also gar nicht zu gebrauchen. unglücklich

27.05.2014, 14:14

Trinitro

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Ja darauf komm ich jetzt auch.
Ich habe leider vergessen den Vektor an die kettenbedingung anzupassen

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