Ist folgender Monoidhomomorphismus bijektiv?

26.05.2014, 17:08	Tenacious	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist folgender Monoidhomomorphismus bijektiv? Hallo, ich soll beweisen oder widerlegen dass $\begin{eqnarray} h: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} h(n) = 7log_7(n) \end{eqnarray}$ ein Monoidisomorphismus zwischen den Monoiden $\begin{eqnarray} (\mathbb{N}, \cdot, 1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (\mathbb{N}, +, 0) \end{eqnarray}$ ist. Injektivität hab ich nun schon gezeigt. Jedoch komme ich jetzt bei der Surjektivität ins Straucheln. Also ich weiß dass der Logarithmus für eine Abbildung $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ surjektiv ist, doch wie sieht das bei den natürlichen Zahlen aus? Ich müsste ja für ein beliebiges $\begin{eqnarray} n_0 \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ zeigen, dass für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} h(n) = n_0 \end{eqnarray}$ . Wenn ich das nun nach $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ umstelle bekomme ich: $\begin{eqnarray} n= 7^{\frac{n_0}{7}} \end{eqnarray}$ Also Widerspruch zu $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ ?
26.05.2014, 18:26	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ist folgender Monoidhomomorphismus bijektiv? Bist du dir denn sicher, dass das Ding überhaupt wohldefiniert ist? Das würde mich doch sehr wundern, wenn da immer eine natürliche Zahl bei rauskäme... Für die Surjektivität kannst du auch konkreter argumentieren: h(7)=7, h(1)=0. Und jetzt nutze Monotonie . Aber deine Version müsste ja eigentlich auch gehen. Gruß MI
26.05.2014, 19:31	Tenacious	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja mit der Wohldefiniertheit sprichtst du einen guten Punkt an. Wäre das dann überhaupt ein Homomorphismus wenn es gar nicht wohldefiniert ist?
27.05.2014, 01:03	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Exakt - so ist das kein Homomorphismus.

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