Matrizen und Determinanten

26.05.2014, 19:48

dharma

Matrizen und Determinanten

Meine Frage:
Komme bei folgenden Aufgaben nicht voran, da ich mir kein Reim drauf finden kann.
Determinanten berechnen:
1.) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{3} & \sqrt{5} & \sqrt{3} \\ 2-\sqrt{5} & \sqrt{21} & \sqrt{10} & -2\sqrt{3} \\ \sqrt{10} & 2\sqrt{15} & 5 & \sqrt{6} \\ 2 & 2\sqrt{6} & \sqrt{10} & \sqrt{15} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Könnte mir jmd den Rechenweg erläutern? Vielen Dank im voraus!

26.05.2014, 21:30

free.dom

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Determinante einer 3x3 Matrix berechnest du so:

$\begin{eqnarray*} det~A=\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt schreibst du die ersten zwei Zeilen nochmal unten drunter (Regel von Sarrus) und musst die einzelnen Elemente von oben links nach unten rechts miteinander multiplizieren und addieren und von oben rechts nach unten links multiplizieren und subtrahieren.

$\begin{eqnarray*} det~A=a_1b_2c_3+b_1c_2a_3+c_1a_2b_3-a_3b_2c_1-b_3c_2a_1-c_3a_2b_1 \end{eqnarray*}$

Für eine n*n-Matrix braucht man den LAPLACEschen Entwicklungssatz:

$\begin{eqnarray*} det~A=det(a_{ij})=\sum\limits_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}detA_{ij}=\sum\limits_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}detA_{ij} \end{eqnarray*}$

Dabei ist die erste Summe die Entwicklung nach der i-ten Zeile und die zweite Summe die Entwicklung nach der j-ten Spalte.

Wenn Du es noch nicht verstehst kann ich dir auch noch ein Beispiel dazu geben.

27.05.2014, 01:07

dharma

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Danke für die Antwort! Zu 2.) bräuchte ich eine Erklärung und ggf. ein Beispiel, da mir das Verfahren unbekannt ist :/ Gott

27.05.2014, 01:26

dharma

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Und zu 1.). Hier handelt es sich ja nicht um eine 3x3 Matrix. Und da ist Sarrue doch gar nicht anwendbar oder irre ich mich?

31.05.2014, 21:56

free.dom

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Zitat:

Original von dharma
Und zu 1.). Hier handelt es sich ja nicht um eine 3x3 Matrix. Und da ist Sarrue doch gar nicht anwendbar oder irre ich mich?

Tschuldigung für die späte Antwort erstmal.. Ich hoffe es nutzt trotzdem noch was oder Du hast dich selbst schlau gemacht.

Ganz recht Sarrus ist nicht anwendbar, aber mit Lapalce gehts so (Äquivalent für 4x4 Matrix, aber als Beispiel nehm ich mal ne 3x3 Matrix):

Schau dir die Formel nochmal an, $\begin{eqnarray*} A_{ij} \end{eqnarray*}$ ist die (n-1, n-1) Matrix, die aus A durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte hervorgeht. Also zuerst streichst du die 1. Zeile, 1. Spalte, dann die 1. Zeile 2. Spalte, 1. Zeile 3. Spalte, .....:

Entwicklung nach der 1. Zeile:

$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{vmatrix} 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 3 * \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - 0 * \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} + 2 * \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 3 * 1 - 0 + 2 * 1 = 5<br /> \end{eqnarray*}$

Das ganze dann auch noch für 2. und 3. Zeile ausführen! Im Grunde ähnlich wie bei Sarrus nur, dass du immer ein Skalar aus der jeweiligen Zeile mit einer Teilmatrix multiplizierst. Diese addierst du dann mit dem nächsten Skalar aus der Zeile multipliziert mit der nächsten Teilmatrix.
Addieren ist vielleicht etwas verwirrend gesagt, da die Vorzeichen immer variieren, also

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} + & - & ... \\ - & + & ... \\ ... & ... & ... \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

daher +3-0+2 = 5

31.05.2014, 22:34

mYthos

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Hinweis: Sarrus IST (hier) anwendbar, warum sollte dies nicht gehen?

mY+

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