Nachweis auf Gruppe

26.05.2014, 20:12

free.dom

Nachweis auf Gruppe

Hallo!

Gegeben sind 6 bijektive Abbildungen:

$\begin{eqnarray*} f_1(x)=x,\quad f_2(x)=1-x,\quad f_3(x)=\frac{1}{x},\quad f_4(x)=\frac{1}{1-x},\quad f_5(x)=\frac{x-1}{x},\quad f_6(x)=\frac{x}{x-1} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass die Menge $\begin{eqnarray*} {f1, f2, f3, f4, f5, f6} \end{eqnarray*}$ mit der Hintereinanderausführung $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ von Abbildungen als Operation eine Gruppe bildet. Stellen Sie die Verknüpfungstafel auf.

Die Verknüpfungstafel habe ich schon aufgestellt und somit weiss ich auch, dass die Menge eine Gruppe bildet. Es hapert nur noch etwas am Nachweis. Ich bin auch drauf gekommen, dass ich zeigen muss, dass jedes Element der Menge assoziativ zueinander ist, es ein neutrales Element und für jedes Element ein inverses Element gibt.

$\begin{eqnarray*} a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c \\\\ g \circ e = e \circ g = g \\\\ g \circ g^{-1} = g^{-1} \circ g = e \end{eqnarray*}$

Es ist wohl klar, dass x das neutrale Element ist und durch ausrechnen bekam ich auch heraus, dass jedes Element sich selbst als inverses hat, ausgenommen f4 und f5, die sich gegenseitig als inverse Elemente haben.

Meine Frage: Wie Beweise ich das ganze jetzt? Ich denke das Inverse ist durch die Rechnungen bewiesen, oder? Und dass x neutrales Element ist lässt sich auch durch einsetzen in die 6 Gleichungen nachweisen (gibt es eventuell noch einen anderen Weg? Ich denke nur daran, wenn man mal eine Menge mit 20 Elementen hat...)
Wie weise ich nach, dass JEDES Element zueinander assoziativ ist, ohne die obige Gleichung für jedes Element der Gruppe miteinander kombiniert durchrechnen zu müssen?

26.05.2014, 20:23

bijektion

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Schau dir die Funktionen nochmal scharf an. Es ist doch offenbar $\begin{eqnarray*} f_3 \circ f_2 = f_4 \end{eqnarray*}$ , gibt es noch andere Möglichkeiten Funktionen zu bauen?
Schau dir, unter genauer Betrachtung der Elementordnungen dann die Gruppe $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ an.

26.05.2014, 20:32

free.dom

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Danke erstmal so weit!

Wäre der Beweis damit erbracht zu sagen, dass unter Betracht der Verknüpfungstafel auffällt, dass die Gruppe der Gruppe S3 entspricht und sämtliche anderen Rechnungen hinfällig? Das einzige was mir noch auffällt ist, dass die Anordnung der Elemente nicht ganz stimmt. Darf man diese beliebig wählen? Wenn man dann f4 an 2. Stelle und f5 an 3. Stelle setzt sind die Gruppen identisch.

EDIT:

Relativ offensichtlich sind auch noch:

$\begin{eqnarray*} f_4 \circ f_3 = f_6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_6 \circ f_3 = f_2 \end{eqnarray*}$

Aber was bringt mir das denn? verwirrt

26.05.2014, 21:37

free.dom

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Oh ich sehe gerade, dass die zweite Teilaufgabe folgende ist:

Ist die Gruppe isomorph zur symmetrischen Gruppe S3 oder zur Gruppe Z6? Geben sie jeweils einen Isomorphismus an oder begründen Sie die Nichtisomorphie. Das lässt mich irgendwie vermuten, dass ich den Nachweis irgendwie auf eine andere Weise erbringen soll (sonst wär die zweite Teilaufgabe ja hinfällig).

26.05.2014, 22:02

bijektion

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Zitat:

Ist die Gruppe isomorph zur symmetrischen Gruppe S3 oder zur Gruppe Z6?

Damit sollst du genau das zeigen, auf was ich hinaus wollte Augenzwinkern

Kannst du erkenne welche Funktion mit der Verknüpfung von Ordnung $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ ist?

26.05.2014, 22:15

free.dom

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Öhhm.. Welche Funktion mit was verknüpft von Ordnung 3 ist? verwirrt

Also Du meinst ich soll die Ordnung der Elemente bestimmen und schauen, welches die Ordnung 3 hat?

26.05.2014, 22:22

bijektion

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Die Verknüpfung ist doch die Verkettung von Funktionen.
Eigentlich reichen auch schon die beiden Funktionen $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{x-1}{x} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Es ist doch $\begin{eqnarray*} S_3=\left\{ id, \tau,\sigma,\sigma^2,\sigma\tau,\sigma^2\tau\right\} \end{eqnarray*}$ , jetzt musst du ja nur noch die Elemente zuordnen.

26.05.2014, 23:06

free.dom

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Ahh okay, also lag ich mit meiner vorherigen Zuordnung wohl falsch.

Ich kenne $\begin{eqnarray*} S_3={id, d, d^2, s_1, s_2, s_3} \end{eqnarray*}$ , aber die Reihenfolge spielt ja anscheinend keine Rolle...

Naja, also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ hat die Ordnung 2 und $\begin{eqnarray*} \frac{x-1}{x} \end{eqnarray*}$ die Ordnung 3.

27.05.2014, 07:26

bijektion

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Ja, jetzt musst du nur noch einen passenden Isomorphismus angeben smile

31.05.2014, 21:39

free.dom

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Alles geschehen, danke für die Hilfe!

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