Kegel und Zylinder

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Leo2014 Auf diesen Beitrag antworten »
Kegel und Zylinder
Hallo miteinander

Ich habe folgende Aufgabe:
"Ein gerader Kegel und ein gerader Zylinder haben das gleiche Volumen, dieselbe Oberfläche und dieselbe Höhe h=40cm. Bestimme den Grundkreisradius des Zylinders."

Welche Formeln betrachte ich am besten für diese Aufgabe? Ich wollte die beiden Volumen-Gleichungen gegenüberstellen, klappte aber nicht. Dasselbe mit den Oberflächen-Formeln...

Danke für jeden Tipp! smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kegel und Zylinder
Schreibe doch mal auf, was du genau gemacht hast.

smile
 
 
Leo2014 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kegel und Zylinder
Wie gesagt, ich habe die beiden Volumen-Gleichungen gleichgesetzt und folgendes erhalten:
r^2 = (1/3) * r^2

Was ja klar ist, denn die beiden Radien müssen nicht gleich sein.

Beim Oberflächenvergleich ähnliches:

(Pi * r^2 + Pi * r * h )^2 = r^2 + h^2

Auch hier: Die Radien sind ja nicht gleich, d.h. Gleichsetzen bringt nichts...

Was aber kann man machen?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kegel und Zylinder
Schreiben wir es mal so: R² = (1/3) * r²
Dabei ist R der Zylinderradius und r der Kegelradius.

Ich würde der Optik wegen mit 3 multiplizieren:
Auch die Wurzel ist nützlich:

Bei der Oberflächenberechnung komme ich nicht ganz mit.

Zylinder:

Kegel:

smile
Leo2014 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kegel und Zylinder
Ah ok, ich habs. Am Schluss haben wir:

2*Pi*R^2 + 80*Pi*R - Pi*3*R^2 - Pi * sqrt(3*R^2) * sqrt(3*R^2+1600) = 0

Dann kann man nach R auflösen, fertig.

Meine Frage: Für das Lösen dieser Aufgabe habe ich die solve-Funktion des Rechners benutzt. Einfacher (d.h. so, dass man ohne solve-Funktion auf das Ergebnis kommt) geht es nicht, oder?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kegel und Zylinder
Ich habe es mit der pq-Formel gerechnet.

Man kann zunächst ziemlich vereinfachen, wenn man dann quadriert, erhält man eine quadratische Gleichung, die leicht lösbar ist.

Würde mich interessieren, welche Werte du erhalten hast.

smile
Leo2014 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kegel und Zylinder
Ich habe 10*(sqrt(3)-1) für den gesuchten Radius erhalten.
Du?

Deine pq-Darstellung würde mich interessieren...
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kegel und Zylinder
Die Lösung kann ich bestätigen. Freude

Ich kann morgen etwas von meiner Rechnung aufschreiben, jetzt per Handy ist das ungünstig.

Gute Nacht. Wink
Leo2014 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kegel und Zylinder
Ok smile
Gute Nacht smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kegel und Zylinder
Moin moin,

gehen wir von deiner Darstellung aus:
Zitat:
Original von Leo2014
2*Pi*R^2 + 80*Pi*R - Pi*3*R^2 - Pi * sqrt(3*R^2) * sqrt(3*R^2+1600) = 0


Ein bisschen schöner mit Latex:



Ich fasse die Wurzeln zusammen und teile durch pi und durch R (den Fall R=0 kann man in der Definitionsmenge ausschließen) und vereinfache:



Zum Quadrieren schiebe ich die Wurzel auf die andere Seite (in meiner Rechnung hatte ich die beiden Seiten der Gleichung bis hier beibehalten, erst zur Aufstellung der pq-Formel habe ich alles auf eine Seite geschoben).



Nun also quadrieren, zusammenfassen und pq-Formel anwenden.

smile
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