Integralrechnung, verschiedene Aufgaben

27.05.2014, 10:42

Duinne

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Integralrechnung, verschiedene Aufgaben

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich habe hier eineMenge Aufgaben zum Thema Integralrechnung. Allerdings habe ich den Dreh noch nicht raus... Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann, damit ich mir eine Lösung erarbeiten kann und vielleicht heausfinde, wie ich solche Aufgaben richtig angehe.

Meine Ideen:
Zunächst die Aufgaben:

1. $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{5}{e^{3x} }+\frac{20}{5x-8} \, dx \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{6}{\sqrt[5]{\left(2+3x\right) ^{4} } } \, dx \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} \int \! \left(x+3\right)\sqrt{7+6x+x^{2} } \, dx \end{eqnarray*}$

4. $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{3}{4+x^{2} } \, dx \end{eqnarray*}$

5. $\begin{eqnarray*} \int \! e^{x}\left(3x+1\right) \, dx \end{eqnarray*}$

6. $\begin{eqnarray*} \int \! x^{3}lnx \, dx \end{eqnarray*}$

7. $\begin{eqnarray*} \int \! x^{3}e^{-x^{2} } \, dx \end{eqnarray*}$

8. $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x+13}{x^{2}-4x-5 } \, dx \end{eqnarray*}$

9. $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{8x^{3}-4x-8 }{x^{4}-4x^{2} } \, dx \end{eqnarray*}$

10. $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x^{4}-3x^{2}+x-1 }{x^{2}-1 } \, dx \end{eqnarray*}$

11. $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{x^{2}-10x+29 } \, dx \end{eqnarray*}$

12. $\begin{eqnarray*} \int_3^5 \! \frac{x}{x^{2}-4 } \, dx \end{eqnarray*}$

13. $\begin{eqnarray*} \int_1^e \! lnx \, dx \end{eqnarray*}$

14. $\begin{eqnarray*} \int_0^{\sqrt{1,5} } \! \frac{1}{2x^{2}+9 } \, dx \end{eqnarray*}$

Ich habe den Papula zur Verfügung, in denen diverse Stammintegrale aufgelistet sind. Aber im Moment kann ich diese noch nicht mit den Aufgaben verknüpfen bzw. sehe nicht, wie ich eine Aufgabe so verändern kann, dass ich ein Stammintegral verwenden kann. Das fällt mir ziemlich schwer, wobei ich hoffe, dass es eine Übungssache ist...

Nun, es sind viele Aufgaben aber ich hoffe dennoch, dass mir jemand bei der Lösungsfindung helfen kann =(

1. Hier kann man auf jeden Fall die beiden Summanden separat betrachten. Ich würde die 5 ausnehmen und das e in $\begin{eqnarray*} e^{-3x} \end{eqnarray*}$ umwandeln. Was ich weiß, ist dass $\begin{eqnarray*} \int \! e^{x} \, dx= e^{x}+C \end{eqnarray*}$ .Aber was passiert mit der 3?

Danke und liebe Grüße
Duinne

27.05.2014, 10:52

Mi_cha

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ich fange mal an:

1.) richtig, Integral auseinanderziehen
a) um eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} e^{-3x} \end{eqnarray*}$ zu finden, versuche $\begin{eqnarray*} e^{-3x} \end{eqnarray*}$ abzuleiten. Die e-Funktion bleibt ja unverändert. Dir wird dann auffallen, welcher Faktor noch fehlt.
b) bei $\begin{eqnarray*} \int\! \frac{20}{5x-8} \, dx \end{eqnarray*}$ bietet es sich an, im Zähler einen Faktor vor das Integal zu ziehen und logarithmisch zu integrieren.

27.05.2014, 10:59

klarsoweit

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@Duinne: eine solch lange Liste von Aufgaben ist hier eher nicht gewünscht. Möglicherweise schaffst du es ja auch selbst, wenn du mal die ersten Integrale mit Hilfe gelöst hast. Bei den Integralen 2 bis 4 und 7 kommt man mit geeigneten Substitutionen weiter.

27.05.2014, 11:12

Duinne

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Ich bin mir nicht ganz sicher, ob du das alles meintest aber ich habe gerade was über Substitution gelesen, dass ich - glaube ich - verstanden habe. Deshalb meine Idee:

$\begin{eqnarray*} u=-3x\Rightarrow du=-3dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5\int \! e^{-3x} \, dx\Rightarrow -\frac{5}{3} e^{u}= -\frac{5}{3} e^{-3x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 20\int \! \frac{1}{5x-8} \, dx\Rightarrow u=5x-8\Rightarrow du=5dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4\int \! \frac{1}{u} \, du\Rightarrow 4log(u)\Rightarrow 4log\left(5x-8\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{5}{e^{3x} }+\frac{20}{5x-8} \, dx \Rightarrow -\frac{5}{3}e^{-3x}+4log\left(5x-8\right) \end{eqnarray*}$

Wenn das richtig ist, dann ist der Weg gut, das habe ich nämlich verstanden geschockt

geschockt

Macht es Sinn, bei Aufgabe 2 die Wurzel zu entfernen und die Klammer aufzulösen?

Vielen Dank Mi_cha!

Grüße
Duinne

27.05.2014, 11:24

Mi_cha

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das Ergebnis stimmt fast. Das Argument des Logrithmus steht in Betragsstrichen und die Integrationskonstante C fehlt

Abgesehen von einigen Folgepfeilen, an deren Stelle eigentlich Gleichheitszeichen stehen sollten, passt das.

zu 2)
KLammere die 6 aus und schreibe die Wurzel als Potenz und bringe sie in den Zähler.

27.05.2014, 11:43

Duinne

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Also, das Endergebnis nochmal richtig:

$\begin{eqnarray*} -\frac{5}{3}e^{-3x}+4log\left(5x-8\right)+C \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} 6\int \! \left(2+3x\right) ^{-\frac{4}{5} } \, dx \end{eqnarray*}$

Was kann ich damit tun?

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27.05.2014, 11:49

Mi_cha

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entweder substituierst du die Klammer oder du integrierst "drauf los" und denkst an die Kettenregel.

27.05.2014, 12:04

Duinne

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Integralrechnung, verschiedene Aufgaben
Also mit der Substitution komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} 10\left(2+3x\right) ^{\frac{1}{5} } +C=10\sqrt[5]{2+3x} +C \end{eqnarray*}$

Kann man Aufgabe 3 auch irgendwie aufteilen?

27.05.2014, 12:08

Mi_cha

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das Ergebnis stimmt.

bei Aufg. 3 kann man den Term unter der Wurzel substituieren. Aufteilen kann man das nicht.

27.05.2014, 14:06

Duinne

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Integralrechnung, verschiedene Aufgaben
Ah okay, dann komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\left(7+6x+x^{2} \right) ^{\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$

Bei der Aufgabe ist mir allerdings etwas aufgefallen:

$\begin{eqnarray*} \int \! \sqrt{u} \, dx =\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$

Das bedeutet aber

$\begin{eqnarray*} \sqrt{u}\neq u^{2} \end{eqnarray*}$

Warum gibt es dafür unterschiedliche Ergebnisse?

27.05.2014, 14:16

klarsoweit

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RE: Integralrechnung, verschiedene Aufgaben

Zitat:

Original von Duinne
Das bedeutet aber

$\begin{eqnarray*} \sqrt{u}\neq u^{2} \end{eqnarray*}$

Warum gibt es dafür unterschiedliche Ergebnisse?

Ähh, ich verstehe nicht, was du damit sagen willst. verwirrt

verwirrt

27.05.2014, 14:21

Duinne

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RE: Integralrechnung, verschiedene Aufgaben
Naja statt $\begin{eqnarray*} \sqrt{u} \end{eqnarray*}$ könnte man ja auch $\begin{eqnarray*} u^{2} \end{eqnarray*}$ schreiben. Aber das Integral von $\begin{eqnarray*} u^{2} \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}u^{3} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$ .

Habe ich hier einen Denkfehler?

27.05.2014, 14:33

klarsoweit

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RE: Integralrechnung, verschiedene Aufgaben

Zitat:

Original von Duinne
Naja statt $\begin{eqnarray*} \sqrt{u} \end{eqnarray*}$ könnte man ja auch $\begin{eqnarray*} u^{2} \end{eqnarray*}$ schreiben.

Nee, das ist Unfug. Es ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{u} = u^{1/2} \end{eqnarray*}$ . Was anderes gibt es nicht. smile

smile

27.05.2014, 14:41

Duinne

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RE: Integralrechnung, verschiedene Aufgaben
oh stimmt, ich habe m und n vertauscht... Sorry Hammer

Hammer

Bei Aufgabe 4 hätte ich die 3 ausgeklammert und 4+x² substituiert. Aber dann müsste ich die 3 durch 2x teilen. Das ist nicht sinnvoll oder?

27.05.2014, 14:47

klarsoweit

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RE: Integralrechnung, verschiedene Aufgaben
Bei Aufgabe 4 hilft die Substitution x=2u . Man kommt dann auf ein Grundintegral. smile

smile

27.05.2014, 14:55

Duinne

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RE: Integralrechnung, verschiedene Aufgaben
Heidenei, da muss man aber auch ersteinmal drauf kommen. Vor allem, dass man vorher für x²+4 den Faktor 4 ausklammert...

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{4}arctan\left(\frac{x}{2} \right) \end{eqnarray*}$

Die nächste Aufgabe ist mir schon wieder zu hoch. Hm, man könnte das e mit der Klammer ausmultiplizieren.

27.05.2014, 14:57

klarsoweit

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RE: Integralrechnung, verschiedene Aufgaben

Zitat:

Original von Duinne
Hm, man könnte das e mit der Klammer ausmultiplizieren.

Kann man machen, muß man aber nicht. Hier solltest du es mit der partiellen Integration versuchen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.05.2014, 15:08

Duinne

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RE: Integralrechnung, verschiedene Aufgaben
Wäre dann $\begin{eqnarray*} u=e^{x} und v'=(3x+1) \end{eqnarray*}$ ?

27.05.2014, 15:13

klarsoweit

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RE: Integralrechnung, verschiedene Aufgaben
Ich würde es umgekehrt machen. Du kannst es aber auch mal mit deinem Ansatz versuchen und wirst merken, daß es damit nicht weitergeht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.05.2014, 15:20

Duinne

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RE: Integralrechnung, verschiedene Aufgaben
Jaja, das habe ich gerade gemerkt... Schweinerei!
Also andersherum komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \left(3x+1\right)e^{x} -3e^{x} \end{eqnarray*}$

Kann man das so stehen lassen?

Die nächste Aufgabe funktioniert bestimmt ähnlich.

27.05.2014, 19:16

Duinne

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RE: Integralrechnung, verschiedene Aufgaben
Also bei Aufgabe 6 komme ich auf folgendes Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \int \! x^{3}lnx \, dx= ln\left(x\right) \frac{x^{4} }{4}-\frac{x^{4} }{16} +C \end{eqnarray*}$

Bei Aufgabe 7 blicke ich nicht mehr durch. Habe mir einen Lösungsweg im Internet angeschaut aber das verstehe ich nicht mehr...

Ganz lieben Dank für deine Hilfe!

Gruß
Duinne

27.05.2014, 19:27

grosserloewe

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RE: Integralrechnung, verschiedene Aufgaben
Wink

Wink

Da keiner von beiden Helfern anwesend ist

Aufgabe 6 stimmt

Aufgabe 7

Substituiere

$\begin{eqnarray*} z= x^{2} \end{eqnarray*}$

und führe dann eine part. Integration aus.

27.05.2014, 20:08

Duinne

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RE: Integralrechnung, verschiedene Aufgaben
Was passiert denn mit dem x³, wenn z=x²?

$\begin{eqnarray*} \int \! ?\cdot e^{-u} \, dx \end{eqnarray*}$

27.05.2014, 20:17

grosserloewe

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RE: Integralrechnung, verschiedene Aufgaben
Wink

Wink

das x von der Ableitung dz /dx kürzt sich doch mit x^3 zu x^2
Das aber gerade ist z

So bekommtst Du schließlich:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int z *e^{-z} \, dz \end{eqnarray*}$

27.05.2014, 20:20

Duinne

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RE: Integralrechnung, verschiedene Aufgaben
Substitutionmit z=x²

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int \! x^{2}\cdot e^{-z} \,dz \end{eqnarray*}$

So?

Ist der Schritt zur partiellen Integration richtig?

$\begin{eqnarray*} x\cdot e^{-z}-\int \! 2x\cdot e^{-z} \, dx \end{eqnarray*}$

27.05.2014, 20:24

Duinne

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RE: Integralrechnung, verschiedene Aufgaben
Ahja, also dann komme ich auf

$\begin{eqnarray*} z\cdot e^{-z}-e^{-z} \end{eqnarray*}$

Setze ich jetzt einfach z=x²?

27.05.2014, 20:39

grosserloewe

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RE: Integralrechnung, verschiedene Aufgaben
Wink

Wink

leider nein

Was ich schrieb was schon das fertige Ergebnis vor der anschl. part. Integration , das so zu Stande kommt:

$\begin{eqnarray*} z= x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx= \frac{dz}{2x} \end{eqnarray*}$

eingesetzt:

= $\begin{eqnarray*} \int x^3 * e^{-z} \, \frac{dz}{2x} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2 } \int x^2 *e^{-z} \, dz \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int z *e^{-z} \, dz \end{eqnarray*}$

jetzt mußt Du weiter partiell integrieren.

smile

smile

27.05.2014, 20:47

Duinne

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RE: Integralrechnung, verschiedene Aufgaben
Das war jetzt ein wenig durcheinander...also mit deiner Gleichung nun meine partielle Integration:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}z\cdot e^{-z}-\int \! 1\cdot e^{-z} \, dx \Rightarrow \frac{1}{2}z\cdot e^{-z}- e^{-z} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank auch an dich!

Wünsche noch einen angenehmen Abend! Würde mich freuen, wenn du mir für morgen noch eine Antwort zurücklassen könntest =)

Liebe Grüße
Duinne

27.05.2014, 21:02

grosserloewe

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RE: Integralrechnung, verschiedene Aufgaben
Wink

Wink

ich komme auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} (- e^{-z} *z -e^{-z} )+C \end{eqnarray*}$

mit dem Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{2} *e^{-x^2} *(x^2+1)+C \end{eqnarray*}$

Ausblick auf Aufgabe 8

Führe eine Partialbruchzerlegung durch. Dazu berechne die Nullstellen des Nenners

28.05.2014, 09:20

klarsoweit

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RE: Integralrechnung, verschiedene Aufgaben

Zitat:

Original von Duinne
Also andersherum komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \left(3x+1\right)e^{x} -3e^{x} \end{eqnarray*}$

Kann man das so stehen lassen?

Die nächste Aufgabe funktioniert bestimmt ähnlich.

Das Ergebnis ist ok. Wenn du willst, kannst du noch die Klammer auflösen und etwas zusammenfassen.

Wenn noch Fragen zu den anderen Aufgaben sind, bitte diese stellen (oder ggf. wiederholen). Im Moment ist nicht so ganz klar, was noch offen ist.

29.05.2014, 12:31

Duinne

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RE: Integralrechnung, verschiedene Aufgaben
Hallo Leute,

vielen Dank für die vielen und tollen Antworten!

zu Aufgabe 7 $\begin{eqnarray*} \int \! x^{3}\cdot e^{-x^{2} } \, dx \end{eqnarray*}$

Hier bin ich nun auch auf das Zwischenergebnis

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} (- e^{-z} *z -e^{-z} )+C \end{eqnarray*}$

gekommen. Allerdings nicht auf das Endwergebnis... Eigentlich muss ich doch nur das z durch die x² ersetzen, oder?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} (- e^{-x^{2} } *x^{2} -e^{-x^{2} } )+C \end{eqnarray*}$

Aber wie kommt man nun zu diesem Ergebnis

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{2} *e^{-x^2} *(x^2+1)+C \end{eqnarray*}$ ?

zu Aufgabe 8 $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x+13}{x^{2}-4x-5 } \, dx \end{eqnarray*}$

Die Nullstellen sind x1=5 und x2=-1

Mein Ergebnis hierzu ist Folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{x-5}-\frac{2}{x+1} \end{eqnarray*}$

Falls das nicht richtig ist, schreibe ich die Zwischenschritte nochmal auf.

Liebe Grüße
Duinne

29.05.2014, 12:40

grosserloewe

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RE: Integralrechnung, verschiedene Aufgaben
Wink

Wink

Aufgabe 7)

Eigentlich muss ich doch nur das z durch die x² ersetzen, oder? Ja

Um auf das Ergebnis zu kommen, mußt noch

$\begin{eqnarray*} - e^{-x^2} \end{eqnarray*}$

ausklammern

Aufgabe 8 )

stimmt bis jetzt

29.05.2014, 12:44

Duinne

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RE: Integralrechnung, verschiedene Aufgaben
Ach herje, okay. Aber eigentlich ist es nur eine Vereinfachung des Termn, oder?

zu Aufgabe 8) Stimmt bis jetzt? Bin ich noch nicht fertig? verwirrt

verwirrt

29.05.2014, 12:47

grosserloewe

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RE: Integralrechnung, verschiedene Aufgaben
Wink

Wink

Ach herje, okay. Aber eigentlich ist es nur eine Vereinfachung des Termn, oder?
Ja

zu Aufgabe 8) Stimmt bis jetzt? Bin ich noch nicht fertig
->nein , Du mußt noch Integrieren , das war nur die PBZ.

smile

smile

29.05.2014, 13:02

Duinne

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RE: Integralrechnung, verschiedene Aufgaben
Stimmt, ich habe ja noch gar nichts integriert unglücklich

unglücklich

Integriert:
$\begin{eqnarray*} 3log\left(| x-5 | \right)-2log\left(| x+1 | \right) \end{eqnarray*}$

Was mache ich denn bei einer Partialbruchzerlegung mit der Nullstelle 0? Entfällt da das Polynom?

29.05.2014, 13:06

grosserloewe

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RE: Integralrechnung, verschiedene Aufgaben
Wink

Wink

Das Ergebnis stimmt . Die Betragsstriche reichen aus und +C fehlt.

Was mache ich denn bei einer Partialbruchzerlegung mit der Nullstelle 0? Entfällt da das Polynom? nein

Hier gibt es spezielle Ansätze

Lese mal hier bitte :

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=445212

29.05.2014, 13:21

Duinne

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RE: Integralrechnung, verschiedene Aufgaben
Hm, der spezielle Falls Nullstelle=0 taucht dort nicht auf.

Bei einer zweifachen Nullstelle ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \frac{A_{1} }{x-x_{1} }+\frac{A_{1} }{\left(x-x_{1} \right) ^{2} } \end{eqnarray*}$

Ist die 0 in diesem Fall eine doppelte Nullstelle? An der Stelle hat die Kurve ja einen Scheitelpunkt.

29.05.2014, 13:33

grosserloewe

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RE: Integralrechnung, verschiedene Aufgaben
Wink

Wink

Hm, der spezielle Falls Nullstelle=0 taucht dort nicht auf.

---->doch unter 3.3

Ist die 0 in diesem Fall eine doppelte Nullstelle? JA

smile

smile

29.05.2014, 14:09

Duinne

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RE: Integralrechnung, verschiedene Aufgaben
Naja, irgendwie steht da etwas dazu. Das Problem, was ich habe ist Folgendes:
Zuerst bestimme ich ja die Nullstellen des Nenners. Hier haben wir 2,-2 und die doppelte Nullstelle 0.

Daraus mache ich dann Polynome, x-1, x+1 und was ist die 0? Was ich mir jetzt überlegt habe ist das hier:

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x^{2} } \end{eqnarray*}$

Wenn man die drei Nenner miteinander multipliziert kommt man auf die Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^{4}-4x^{2} \end{eqnarray*}$

Aber eigentlich bräuchte ich doch, wenn die 0 doppelt zählt, vier Koeffizienten.

29.05.2014, 14:22

grosserloewe

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RE: Integralrechnung, verschiedene Aufgaben
Wink

Wink

Es fehlt noch der Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \frac{D}{x} \end{eqnarray*}$

hier geht es nach der Vielfachheit der Nullstelle:

einfach : 1/x also Ansatz A/x
doppelt: 1/x^2 also Ansatz A/x +B/x^2
dreifach: 1/x^3 also Ansatz A/x +B/x^2 +C/x^3

usw.

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