Isometrie

28.05.2014, 08:24	Vezzril	Auf diesen Beitrag antworten »
Isometrie Sei V ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum und F ein Endomorphismus von V. Dann heißt F isometrisch bzw. orthogonal bzw. unitär, wenn <F(v), F(w)> = <v,w> für alle v,w aus V. Ersetze ich w durch v erhalte ich entsprechend \|\|F(v)\|\| = \|\|v\|\|. Reicht es, wenn ich \|\|F(v)\|\| = \|\|v\|\| zeige? Folgt daraus die obige Definition, d.h. ist das für alle Vektoren v,w aus V erfüllt?
28.05.2014, 08:37	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast doch schon speziell $\begin{eqnarray} w=v \end{eqnarray}$ gesetzt
28.05.2014, 08:54	Vezzril	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann muss ich von diesem Spezialfall v=w auf den allgemeinen Fall kommen, oder?
28.05.2014, 09:02	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso willst du überhaupt den Spezialfall benutzen? Geht es um eine spezielle Aufgabe?
28.05.2014, 12:36	Vezzril	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ja, ich muss nachweisen, dass eine bestimmte Abbildung im unitären Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb{C}^3 \end{eqnarray}$ (die ist in der AUfgabenstellung definiert) isometrisch ist. Die Untersuchung von \|\|f(v)\|\| und \|\|v\|\| ist dabei wesentlich einfacher, da durch die komplexe Konjugation das Rechnen erheblich vereinfach wird. Die Abbildung ist so definiert: $\begin{eqnarray} f(x_1, x_2, x_3) = ( \frac{ix_1}{\sqrt{2}} - \frac{ix_2}{\sqrt{6}} + \frac{x_3}{\sqrt{3}}, \frac{2ix_2}{\sqrt{6}} + \frac{x_3}{\sqrt{3}}, \frac{x_1}{\sqrt{2}} + \frac{x_2}{\sqrt{6}} + \frac{ix_3}{\sqrt{3}}) \end{eqnarray}$
28.05.2014, 12:38	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Da musst du wohl nachrechnen
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