Äquivalenzklasse eines bestimmten Paares
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28.05.2014, 21:09 donot Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzklasse eines bestimmten Paares
Ich schlage mich seit Tagen mit dieser Aufgabe herum und komme kein Stück weiter, bin schon der Verzweiflung nahe... und bin mir an sich sicher, dass es am Ende so ein Einzeiler ist. Vielleicht könnt ihr mal drüberschauen:

Seien U,V Untergruppen der endl. Gruppe (G,*)
Durch (u,v) ~ (a,b) :<=> u*v = a*b wird eine Äquivalenzrelation auf U x V definiert.

Zu Zeigen: die Äquivalenzklasse von ist .

D.h. nach Behauptung M ist die Menge aller Elemente, die zu (u,v) äquivalent sind.

Das (u,v)~(u*g,g^-1*v) gilt (uv=ugg^(-1)v=u*1*v) ist mir natürlich klar.
Nur habe ich keinen blassen Schimmer, wie ich beweisen kann, das ALLE Elemente die zu (u,v) äquivalent sind diese Form haben müssen....
Für Tipps wäre ich echt dankbar.
Gruß, donot
29.05.2014, 09:37 donot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzklasse eines bestimmten Paares
... erbarmt sich noch jemand? verwirrt Gott
29.05.2014, 10:01 URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzklasse eines bestimmten Paares
Löse uv=ab nach a auf. Das liefert a=ug für ein gewisses g, dann analog für b.
29.05.2014, 10:23 donot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzklasse eines bestimmten Paares
...das liefert ja a=uvb^(-1)
Nun muss a elt. von U sein, weil es sich um ein kartesisches Produkt/Paar auf U x V handelt.
u ist sowieso elt. von U.

v elt. V; b^(-1) elt. V Damit vb^(-1) auch elt. U ist, muss es also zwingend in der Schnittmenge V n U liegen. Wir nennen also das Produkt vb^(-1)=:g.

Analog gilt b=a^(-1)uv.
a^(-1)u nennen wir nun z.B. h, es muss aus demselben Grund wie oben in U n V liegen.
DAnn haben wir also ein Paar:
(ug,hv)

Jetzt muss ich noch irgendwie zu h=g^(-1) kommen.
also setzte ich nochmal uv=ughv und sehe, dass das nur erfüllt ist, wenn g=h^(-1) ist. Meinst du so?
Kann ich den allerletzten Schritt so machen?
29.05.2014, 10:36 URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzklasse eines bestimmten Paares
Das
Zitat:
Original von donot
v elt. V; b^(-1) elt. V Damit vb^(-1) auch elt. U ist, muss es also zwingend in der Schnittmenge V n U liegen.

finde ich ein wenig schwammig. Ich würde mich auf vb^(-1)=u^(-1)a berufen.

Um h=g^(-1) zu zeigen, kannst du einfach g, h einsetzen - oder dich nochmal auf das berufen, was ich gerade schon benutzt habe Augenzwinkern
29.05.2014, 11:00 donot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzklasse eines bestimmten Paares
Danke dafür smile
okay, der erste Schritt den du kritisiert hast ist mir klar:
v*b^-1=u^-1*a ergibt sich aus uv=ab durch Umformen.
v*b^-1 elt. V, u^-1*a elt. U, damit sie gleich sind müssen beide Elte. der gleichen Menge sein, also v*b^-1, u^-1*a elt. U n V.

Sei g:=v*b^-1, h:=u^-1*a <=> h^-1=a^-1*u

DAdurch bekommen wir ein neues paar:

(u,v) ~ (u*g, h^-1*v)

Aber wie komme ich jetzt zu g=h? Wie meinst du das mit "einsetzen"?
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29.05.2014, 11:03 donot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzklasse eines bestimmten Paares
Oder kann ich (u,v) ~ (u*g,h^-1*v) einfach wie folgt umformen:
uv=ug*h^-1v <=> e=g*h^-1 => g=h ? verwirrt
29.05.2014, 11:09 URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzklasse eines bestimmten Paares
Zitat:
Original von donot
Sei g:=v*b^-1, h:=u^-1*a <=> h^-1=a^-1*u

Was machst du da? Wieso wird jetzt h anders definiert als vorher?
29.05.2014, 11:15 donot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzklasse eines bestimmten Paares
Naja, etwas willkürlich ist die neue Definition, das gebe ich zu. Hätte ich wie vorher definieren sollen:

Sei g:=v*b^-1, h^-1:=u^-1*a <=> h=a^-1*u
h und g sind aus oben genannten Gründen Elte. von U n V
Dadurch bekommen wir ein neues paar:

(u,v) ~ (u*g, h*v)

Nun forme ich wie folgt um:
uv=ug*hv <=> e=g*h => g=h^-1
Oder?
29.05.2014, 11:43 URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzklasse eines bestimmten Paares
Ich weiß nicht, was du ständig mit einem neuen Paar willst unglücklich
Du hast gezeigt a=ug, b=hv, g,h in U n V.
Alles was noch zu zeigen bleibt ist h = g^(-1)
29.05.2014, 11:54 donot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzklasse eines bestimmten Paares
Tut mir leid, wenn ich etwas sprunghaft bin... vielen Dank für deine Hilfe auf jeden Fall.
Genau, richtig, das möchte ich ja zeigen. Und da habe ich gedacht:
Es gilt: (u,v) ~ (a,b).
Wir wissen nun, dass a=ug, b=hv.
also (u,v)~(ug,hv) durch einsetzen in a und b.

also uv=ughv <=> e=gh <=> g=h^-1

Kann man das so machen? Oder wie wie würdest du es machen? unglücklich
29.05.2014, 12:12 URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzklasse eines bestimmten Paares
Ach so. Das kann man so machen.
29.05.2014, 12:23 donot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzklasse eines bestimmten Paares
Hey, vielen herzlichen Dank für deine Geduld und Hilfe smile Mit Zunge
Bin ich froh, dass ich die Aufgabe jetzt endlich mal geschafft habe....
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