Gleichung vereinfachen

28.05.2014, 23:01

Morbz

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Gleichung vereinfachen

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich habe ein Problem mit folgender Gleichung:

Es handelt sich um die Bewegungsgleichung:
$\begin{eqnarray*} m\cdot a = mg-kv² \end{eqnarray*}$
Nun soll die Abkürzung $\begin{eqnarray*} \lambda ²= \frac{mg}{k} \end{eqnarray*}$ eingeführt werden.

Meine Ideen:
Das Ergebnis soll nun nach Musterlösung: $\begin{eqnarray*} a = g(1-\frac{v²}{\lambda ²})= g[1-(\frac{v}{\lambda} )²] \end{eqnarray*}$ sein.

Allerdings komme ich nicht drauf. Vor allem nicht, woher das ausgeklammerte g kommt (eines ist ja schon bei $\begin{eqnarray*} \lambda ² \end{eqnarray*}$ enthalten und es ist nur eines in der Gleichung).

Kann mir jemand helfen?

Viele Grüße,
Morbz

28.05.2014, 23:30

Bonheur

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Zitat:

Original von Morbz
$\begin{eqnarray*} \lambda ²= \frac{mg}{k} \end{eqnarray*}$

Ich würde zu Beginn diese Gleichung nach m umstellen.

29.05.2014, 15:15

Morbz

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Danke für die Antwort.
Ich habe es jetzt auf beiden Seiten $\begin{eqnarray*} m = \frac{\lambda ²*k}{g} \end{eqnarray*}$ eingesetzt.
Allerdings kommt jetzt nach meinem Auflösungsversuch folgendes herraus traurig

traurig

$\begin{eqnarray*} a*\lambda ²*k=\lambda ²*k*g-k*v² \Rightarrow a=g-k*v² \end{eqnarray*}$

Gruß, Morbz

29.05.2014, 16:10

Bonheur

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Keine Sorge. smile

smile

Da sind bloß kleine Fehler. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Morbz
Ich habe es jetzt auf beiden Seiten $\begin{eqnarray*} m = \frac{\lambda ²*k}{g} \end{eqnarray*}$ eingesetzt.

Du hast richtig umgestellt, dieses kann man nun die obige Gleichung für m einsetzen.

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{\lambda ² \cdot k}{g}\right)\cdot a = \left(\frac{\lambda ² \cdot k}{g}\right) \cdot g-kv² \end{eqnarray*}$

Auf der rechten Seite kann man nun etwas kürzen. smile

smile

29.05.2014, 18:13

Morbz

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Das g auf der rechten Seite kürzt sich ja dann weg.
Das k auf der dieser Seite auch?

Gruß, Morbz

29.05.2014, 18:23

Bonheur

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Richtig - das "g" kürzt sich weg. smile

smile

Warum sollte sich aber das "k" kürzen ?

Beim nächsten Schritt kürzt sich das "k" weg. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie würdest nun weiterverfahren ?

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29.05.2014, 18:38

Morbz

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Ich habe gedacht, dass man das so macht:

$\begin{eqnarray*} \frac{\lambda ²*k}{g}*a=\lambda ²*k-k*v² \Rightarrow \frac{\lambda ²*k}{g}*a=\lambda ²v² \end{eqnarray*}$

Aber anscheinend geht das ja nicht.

Sonst würde ich so weitermachen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\lambda ²*k}{g}*a=\lambda ²*k-k*v² |:k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\lambda ²}{g}*a=\lambda ²*v² \end{eqnarray*}$

Und dann |*g ?

Gruß, Morbz

29.05.2014, 18:55

Bonheur

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Zitat:

Original von Morbz
Ich habe gedacht, dass man das so macht:

$\begin{eqnarray*} \frac{\lambda ²*k}{g}*a=\lambda ²*k-k*v² \Rightarrow \frac{\lambda ²*k}{g}*a=\lambda ²v² \end{eqnarray*}$

Aber anscheinend geht das ja nicht.

Sowas darfst du nicht machen. Man kann das auch etwas deutlicher aufschreiben:

$\begin{eqnarray*} \frac{\lambda ² \cdot k}{g}\cdot a=\left(\lambda ² \cdot k\right)-\left(k \cdot v²\right) \end{eqnarray*}$

Du kennst doch bestimmt die Regel: Punkt vor Strich-Rechnung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Leider ist $\begin{eqnarray*} \lambda ² \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v^{2} \end{eqnarray*}$ unbekannt, weshalb man das in den Klammern nicht verrechnen kann. Und es gilt ja nicht: $\begin{eqnarray*} v^{2}=\lambda ² \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Morbz
Sonst würde ich so weitermachen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\lambda ²*k}{g}*a=\lambda ²*k-k*v² |:k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\lambda ²}{g}*a=\lambda ²*v² \end{eqnarray*}$

Und dann |*g ?

Hier hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen.

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{\lambda ² \cdot k}{g} \cdot a}{k}=\frac{\lambda ² \cdot k-k \cdot v²}{k} \end{eqnarray*}$

Wenn du beide Seiten mit "k" dividierst, kommst du auf etwas anderes und nicht auf das:

$\begin{eqnarray*} \frac{\lambda ²}{g} \cdot a=\lambda ² \cdot v² \end{eqnarray*}$

Die linke Seite der Gleichung ist richtig. Die rechte Seite ist falsch. Beachte das "minus-Zeichen" !

29.05.2014, 19:02

Morbz

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Ich glaube, so ist es besser, oder!?

$\begin{eqnarray*} \frac{\lambda ²}{g}*a=\lambda ²-v² \end{eqnarray*}$

Und dannach |*g ?

29.05.2014, 19:04

Bonheur

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Bingo.

Freude

29.05.2014, 19:11

Morbz

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Dann:
$\begin{eqnarray*} \lambda ²*a=\lambda ²-v²*g |:\lambda ² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=\frac{\lambda ²}{\lambda ²}-\frac{v²*g}{\lambda ²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=1-(\frac{v²}{\lambda ²})*g \end{eqnarray*}$

29.05.2014, 19:14

Bonheur

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Stimmt halbwegs.

Wenn du die Gleichung mit g multiplizierst, dann musst auch jeden Summanden auf der rechten Seite mit g multiplizieren !

29.05.2014, 19:21

Morbz

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Ist es so richtig?

$\begin{eqnarray*} \lambda ²*a = \lambda ² * g - v²*g |:\lambda ² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} *a = \frac{\lambda ²*g}{\lambda ²} - \frac{v²*g}{\lambda ²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = 1g - \frac{v²*1g}{\lambda ²} |:ausklammern \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = (1-\frac{v²*1}{\lambda ²})*g \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = (1-\frac{v²}{\lambda ²})*g \end{eqnarray*}$

Gruß, Morbz

29.05.2014, 19:22

Bonheur

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Perfekt.

Freude

29.05.2014, 19:28

Morbz

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Vielen Dank für deine Hilfe smile

smile

Hier habe ich gleich nochmal eine Aufgabe gemacht:

Bei dieser Gleichung: $\begin{eqnarray*} m*a=m*g-6\pi \lambda r v \end{eqnarray*}$ soll die Abkürzung $\begin{eqnarray*} K=\frac{6\pi \lambda r}{m} \end{eqnarray*}$ eingeführt werden.

Dann habe ich durch m geteilt:

$\begin{eqnarray*} a= \frac{m}{m} *g-\frac{6\pi \lambda r}{m}v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a= 1*g- Kv \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a= g- Kv \end{eqnarray*}$

Ist das mathematisch korrekt?

Ich hätte nochmal ein anderes Problem beim Auflösen einer Gleichung nach einer Variablen. Würdest du mir hier nochmal helfen?

Gruß, Morbz

29.05.2014, 19:38

Bonheur

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Gern geschehen.

Ja. Das kann man so machen.

Zitat:

Original von Morbz

Ich hätte nochmal ein anderes Problem beim Auflösen einer Gleichung nach einer Variablen. Würdest du mir hier nochmal helfen?

Schieß los. Freude

Freude

29.05.2014, 20:29

Morbz

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Danke

smile

Mein nächstes Problem ist folgendes:

Ich habe 2 Bewegungsgleichungen:

(Gl. 1) $\begin{eqnarray*} m_{1} a_{1}=S_{1}-R-G_{1} sin(\alpha ) \end{eqnarray*}$ und

(Gl. 2) $\begin{eqnarray*} m_{2} a_{2}=G_{2}-S_{2} \end{eqnarray*}$

Dabei gilt:

$\begin{eqnarray*} a_{1} =a_{2} = a \end{eqnarray*}$ ;
$\begin{eqnarray*} S_{1}=S_{2} \end{eqnarray*}$ ;
$\begin{eqnarray*} R = \gamma N \end{eqnarray*}$ ;
$\begin{eqnarray*} N = G_{1}cos(\alpha ) \end{eqnarray*}$ ;
$\begin{eqnarray*} G_{1/2} = m_{1/2}*g \end{eqnarray*}$

Nun soll man das ganze Nach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ auflösen.

Die Musterlösung ist: $\begin{eqnarray*} a = g\frac{m_{2}-m_{1} (sin(\alpha )+\gamma cos(\alpha ))}{m_{1}+m_{2} } \end{eqnarray*}$

Meine Idee ist, Gl. 1 nach a auflösen und für S die nach S aufgelöste Gl. 2 einsetzen.
Das habe ich auch schon versucht, allerdings komme ich nicht weit.
Aber dann passt der Nenner des Bruches nicht!?

Gruß, Morbz

29.05.2014, 21:09

Bonheur

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Was meinst du mit dieser Gleichung?
$\begin{eqnarray*} G_{1/2} = m_{1/2}*g \end{eqnarray*}$

29.05.2014, 21:25

Morbz

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Ich meinte folgendes:

$\begin{eqnarray*} G_{1} = m_{1}*g \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_{2} = m_{2}*g \end{eqnarray*}$

Gruß, Morbz

29.05.2014, 22:12

Bonheur

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Diese Aufgabe ist schon ein wenig schwieriger. Big Laugh

Big Laugh

Ich würde die gegebenen Gleichungen direkt einsetzen.

Und ich würde auch nicht nach "a" umstellen und dann in die andere Gleichung einsetzen, weil du sonst ja nicht nach a umstellen kannst.

Du kannst dich nun zwischen beiden Gleichungen entscheiden. Entweder du stellst die erste Gleichung nach S oder die zweite.

29.05.2014, 23:08

Morbz

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Ich habe jetzt mal Gl. 1 nach S umgestellt:

$\begin{eqnarray*} S = m_{1} a_{1}+R-G_{1} sin(\alpha ) \end{eqnarray*}$

und die anderen Gleichungen eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} S = m_{1} a_{1}+\gamma m_{1} gcos(\alpha )-m_{1}g sin(\alpha ) \end{eqnarray*}$

Jetzt Gl. 2 nach a umstellen:

$\begin{eqnarray*} a_{2} =\frac{G_{2} }{m_{2} }-\frac{S}{m_{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{2} =\frac{m_{2}g }{m_{2} }-\frac{S}{m_{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a =g-\frac{S}{m_{2} } \end{eqnarray*}$

und nun S einsetzen:

$\begin{eqnarray*} a=g-\frac{m_{1} a_{1}+\gamma m_{1} gcos(\alpha )-m_{1}g sin(\alpha ) }{m_{2} } \end{eqnarray*}$

Allerdings stimmt das Ergebnis wohl nicht!?

Gruß, Morbz

29.05.2014, 23:24

Bonheur

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Was ist mit dem $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ ?

Du kommst in eine Zwickmühle. Teufel

Teufel

(Gl. 1) $\begin{eqnarray*} m_{1}\cdot a_{1}=S_{1}-R-G_{1}\cdot sin(\alpha ) \end{eqnarray*}$ und

(Gl. 2) $\begin{eqnarray*} m_{2} \cdot a_{2}=G_{2}-S_{2} \end{eqnarray*}$

Beide Gleichungen musst du nun nach "S" umstellen.

(Gl. 1) $\begin{eqnarray*} S_{1}=m_{1} \cdot a_{1} +R+G_{1} \cdot sin(\alpha ) \end{eqnarray*}$

(Gl. 2) $\begin{eqnarray*} S_{2}=-m_{2} \cdot a_{2}+G_{2} \end{eqnarray*}$

Und es gilt:

$\begin{eqnarray*} S_{1} = S_{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m_{1} \cdot a_{1} +R+G_{1} \cdot sin(\alpha ) =-m_{2} \cdot a_{2}+G_{2} \end{eqnarray*}$

Und jetzt die entsprechenden Teile ersetzen. Mache bloß diesen Schritt, dann sparen wir ein wenig Zeit. smile

smile

29.05.2014, 23:38

Morbz

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Eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} m_{1}\cdot a_{1}+\gamma\cdot m_{1}\cdot g\cdot cos(\alpha) + m_{1} \cdot g\cdot sin(\alpha )=-m_{2} \cdot a_{2}+ m_{2} \cdot g \end{eqnarray*}$

Gruß, Morbz

29.05.2014, 23:41

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Bringe nun $\begin{eqnarray*} m_2 \cdot g \end{eqnarray*}$ auf die linke Seite der Gleichung und $\begin{eqnarray*} m_1 \cdot a_1 \end{eqnarray*}$ auf die rechte Seite der Gleichung.

Wenn du dies gemacht hast, bin auf deinen nächsten Schritt gespannt. smile

smile

29.05.2014, 23:45

Morbz

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok.

smile

$\begin{eqnarray*} m_{1}\cdot a_{1}+\gamma\cdot m_{1}\cdot g\cdot cos(\alpha) + m_{1} \cdot g\cdot sin(\alpha )=-m_{2} \cdot a_{2}+ m_{2} \cdot g|||-m_{2}\cdot g \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m_{1}\cdot a_{1}+\gamma\cdot m_{1}\cdot g\cdot cos(\alpha) + m_{1} \cdot g\cdot sin(\alpha )-m_{2}\cdot g=-m_{2} \cdot a_{2} ||| -m_{1}\cdot a_{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \gamma\cdot m_{1}\cdot g\cdot cos(\alpha) + m_{1} \cdot g\cdot sin(\alpha )-m_{2}\cdot g=-m_{2} \cdot a_{2}-m_{1}\cdot a_{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \gamma\cdot m_{1}\cdot g\cdot cos(\alpha) + m_{1} \cdot g\cdot sin(\alpha )-m_{2}\cdot g=m_{1} \cdot a_{1}+m_{2}\cdot a_{2} \end{eqnarray*}$

29.05.2014, 23:47

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt bist du an der Reihe. smile

smile

Wie würdest du weiterverfahren ?

Edit:

Zitat:

Original von Morbz
$\begin{eqnarray*} \gamma\cdot m_{1}\cdot g\cdot cos(\alpha) + m_{1} \cdot g\cdot sin(\alpha )-m_{2}\cdot g=m_{1} \cdot a_{1}+m_{2}\cdot a_{2} \end{eqnarray*}$

Wenn du mit $\begin{eqnarray*} (-1) \end{eqnarray*}$ multiplizierst, muss du das auch auf der anderen Seite machen.

29.05.2014, 23:49

Morbz

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Ich würde durch m(1) und danach durch m(2) teilen!?

Oder vielleicht doch eher die rechte Seite ausmultiplizieren.

29.05.2014, 23:52

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.

Du hast auf der rechten Seite der Gleichung zweimal "a".

Wir brauchen aber nur ein a, weil die Gleichung nach a umstellen möchten. Kannst du dieses Problem lösen ?

Und schau dir mein Edit im vorigen Beitrag an.

29.05.2014, 23:55

Morbz

Auf diesen Beitrag antworten »

Durch a teilen?

Zum Edit.
Muss ich auf der anderen Seite wirklich das Minus hinzufügen, obwohl ich rechts ma1 und ma2 vertauscht habe?

30.05.2014, 00:00

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Morbz

Zum Edit.
Muss ich auf der anderen Seite wirklich das Minus hinzufügen, obwohl ich rechts ma1 und ma2 vertauscht habe?

$\begin{eqnarray*} \gamma\cdot m_{1}\cdot g\cdot cos(\alpha) + m_{1} \cdot g\cdot sin(\alpha )-m_{2}\cdot g=-m_{2} \cdot a_{2}-m_{1}\cdot a_{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \gamma\cdot m_{1}\cdot g\cdot cos(\alpha) + m_{1} \cdot g\cdot sin(\alpha )-m_{2}\cdot g=m_{1} \cdot a_{1}+m_{2}\cdot a_{2} \end{eqnarray*}$

Vertauscht ?

Du hast das Vorzeichen geändert. Obwohl das aus Versehen war, ist das ganz gut. smile

smile

d.h dass du die Gleichung mit $\begin{eqnarray*} (-1) \end{eqnarray*}$ multiplizierst.

Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} -\gamma\cdot m_{1}\cdot g\cdot cos(\alpha) - m_{1} \cdot g\cdot sin(\alpha )+m_{2}\cdot g=m_{1} \cdot a_{1}+m_{2}\cdot a_{2} \end{eqnarray*}$

Zum nächsten Schritt:

Zitat:

Original von Morbz
Durch a teilen?

Sicher ?

Das bringt dir nichts.

Ich gebe dir mal einen Tipp und zwar die Gleichung, die du vorgegeben hast:

$\begin{eqnarray*} a_2=a_1=a \end{eqnarray*}$

30.05.2014, 00:03

Morbz

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Du hast das Vorzeichen geändert. Obwohl das aus Versehen war, ist das ganz gut. smile

So ausversehen war das garnicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Rechts kann man dann ja schreiben:

$\begin{eqnarray*} (m_{1}+m_{2})\cdot a \end{eqnarray*}$

30.05.2014, 00:05

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Morbz

So ausversehen war das garnicht Augenzwinkern

Umso besser. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Morbz
Rechts kann man dann ja schreiben:

$\begin{eqnarray*} (m_{1}+m_{2})\cdot a \end{eqnarray*}$

Perfekt.

Respekt

Wie geht es weiter ?

30.05.2014, 00:08

Morbz

Auf diesen Beitrag antworten »

Geteilt durch (m1+m2)!?

In "meiner Mathewelt" hätte übrigens auch geteilt durch a gepasst.
Ich hätte auf der rechten Seite die beiden a weggestrichen und auf der linken geteilt durch a hinzugefügt.
Dann wieder mit a malgenommen und ich wäre aufs gleiche Ergebnis gekommen Big Laugh

Big Laugh

30.05.2014, 00:11

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Morbz
Geteilt durch (m1+m2)!?

Ein Treffer nach dem anderen.

Big Laugh

Zitat:

Original von Morbz
In "meiner Mathewelt" hätte übrigens auch geteilt durch a gepasst.
Ich hätte auf der rechten Seite die beiden a weggestrichen und auf der linken geteilt durch a hinzugefügt.
Dann wieder mit a malgenommen und ich wäre aufs gleiche Ergebnis gekommen Big Laugh

Wird es dann nicht zu unübersichtlich ? Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.05.2014, 00:21

Morbz

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wäre das jetzt:

$\begin{eqnarray*} a= \frac{-\gamma\cdot m_{1}\cdot g\cdot cos(\alpha) - m_{1} \cdot g\cdot sin(\alpha )+m_{2}\cdot g}{(m_{1}+ m_{2}) } \end{eqnarray*}$

g ausklammern:

$\begin{eqnarray*} a= g\frac{-\gamma\cdot m_{1}\cdot cos(\alpha) - m_{1} \cdot sin(\alpha )+m_{2}}{(m_{1}+ m_{2}) } \end{eqnarray*}$

m(1) ausklammern:

$\begin{eqnarray*} a= g\frac{m_{1}\cdot ((-\gamma \cdot cos(\alpha)) - sin(\alpha ))+m_{2}}{(m_{1}+ m_{2}) } \end{eqnarray*}$

Und dann *(-1)?

Zitat:

Wird es dann nicht zu unübersichtlich ? Augenzwinkern

Wenn das richtige Ergebnis rauskommt ist mir das egal Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.05.2014, 00:28

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Morbz
Und dann *(-1)?

Wenn du das machst, wird aus dem $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} -a \end{eqnarray*}$ .

Es geht einfacher:

$\begin{eqnarray*} a= g\frac{-\gamma\cdot m_{1}\cdot cos(\alpha) - m_{1} \cdot sin(\alpha )+m_{2}}{(m_{1}+ m_{2}) } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a= g\frac{-m_{1}\cdot (\gamma \cdot cos(\alpha) + sin(\alpha ))+m_{2}}{(m_{1}+ m_{2}) } \end{eqnarray*}$

Du klammerst nicht $\begin{eqnarray*} m_1 \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} -m_1 \end{eqnarray*}$ aus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und damit unsere Lösung genau sowie, wie die Musterlösung aussieht, packen wir $\begin{eqnarray*} m_2 \end{eqnarray*}$ nach vorne.

$\begin{eqnarray*} a= g\frac{m_{2}-m_{1}\cdot (\gamma \cdot cos(\alpha) + sin(\alpha ))}{(m_{1}+ m_{2}) } \end{eqnarray*}$

Voilà. Prost

Prost

30.05.2014, 00:30

Morbz

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Hilfe und Geduld. Du hast mir sehr geholfen Freude

Freude

Der Feinschliff mit vereinfachen etc. ist mir nicht sonderlich wichtig, hauptsache das Ergebnis stimmt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß, Morbz

30.05.2014, 00:32

Bonheur

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Es hat mir sehr viel Spaß gemacht. Immer wieder gerne. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gern geschehen. smile

smile

Ich gehe jetzt mal ins Bett. Ich wünsche dir eine schöne Nacht und einen wunderbaren Tag. Wink

Wink

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