Tschebychev Ungleichung

29.05.2014, 15:50

Simba33

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Tschebychev Ungleichung

Meine Frage:
Hallo,
ich stehe aktuell vor einem Problem. Ich habe folgende Aufgabe:

Von einer stetigen Zufallsvariablen sei lediglich bekannt, dass sie nur nichtnegative Werte annimmt und einen Erwartungswert von 67 sowie eine Varianz von 159 besitzt.

Runden Sie,falls nötig, auf 4 Nachkommastellen.

1.) Geben Sie mit Hilfe der Ungleichung von Markov eine Abschätzung für die Bereichswahrscheinlichkeit W(X99) an.

2.) Geben Sie nun eine Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit W(42X92) mit Hilfe der Ungleichung von Tschebychev an.

3.) Berechnen Sie W(X=37)!

4.) Darf man die Ungleichung von Markov und die Ungleichung von Tschebychev auch zur Abschätzung von Wahrscheinlichkeiten bei diskreten Zufallsvariablen anwenden? Für Ja tragen Sie eine 1 ein und für Nein tragen Sie eine 0 ein.

Das 1. habe ich, glaube ich, richtig gelöst.

Bei 2. komme ich absolut nicht mit der Tschebychev Ungleichung klar.

Meine Ideen:
Ich bin dabei bei 1.) wie folgt vorgegangen:

W(X >= 99) <= E(x) / x*

Dann habe ich E(x) und x* eingesetzt:

67 / 99 = 0.6768

Stimmt das so?

Bei 2. lautet die Tschebychev Ungleichung ja:

W(|X - E(X)| >= Epsilon) ? Var(X) / Epsilon²

das wäre bei mir ja dann:

W(|X-67| >= Epsilon) ? 159 / Epsilon²

Aber was ist Epsilon? Wie komme ich darauf?

Schonmal vielen Dank im Vorraus.
simba33

29.05.2014, 17:55

HAL 9000

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Sind W(X99) sowie W(42X92) ein Geheimcode, oder ist letzteres einfach nur die schreibfaule Variante von $\begin{eqnarray*} W(42\leq X\leq 92) \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

Und bei ersteren darf man wohl zusätzlich noch raten, ob $\begin{eqnarray*} W(X\leq 99) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} W(X\geq 99) \end{eqnarray*}$ gemeint ist?

29.05.2014, 20:09

Simba33

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Hallo,

ne das ist kein Geheimcode. Es ist nur das erste Mal das ich hier im Forum unterwegs bin und daher wusste ich das mit dem Formeleditor noch nicht.
Außerdem wusste ich nicht, dass die von mir eingefügten kleiner und größer gleich nicht angezeigt werden.

Also beim Ersten handelt es sich um ein W(X größer gleich 99)

und beim Zweiten um ein W(42 kleiner gleich X kleiner gleich 92)

Ich hoffe jetzt stimmt alles.
Wäre nett, wenn du mir helfen könntest smile

smile

Edit: Leider funktioniert das mit dem Formeleditor nicht so recht..

29.05.2014, 20:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von Simba33
Edit: Leider funktioniert das mit dem Formeleditor nicht so recht..

Der funktioniert sehr gut. Man darf nur nicht erwarten, dass Word-Gedöns o.ä. einfach per Copy+Paste eingefügt werden kann.

Zitat:

Original von Simba33
ei 2. lautet die Tschebychev Ungleichung ja:

W(|X - E(X)| >= Epsilon) ? Var(X) / Epsilon²

das wäre bei mir ja dann:

W(|X-67| >= Epsilon) ? 159 / Epsilon²

Aber was ist Epsilon? Wie komme ich darauf?

Also mal die Sinnlosfragezeichen übersetzt: Es ist

$\begin{eqnarray*} W(|X-E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{\operatorname{Var}(X)}{\varepsilon^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} W(|X-67| \geq \varepsilon) \leq \frac{159}{\varepsilon^2} \end{eqnarray*}$

Deine Intervallungleichung kannst du ja entsprechend umschreiben:

$\begin{eqnarray*} W(42\leq X\leq 92) = W(-25\leq X-67\leq 25) = W(|X-67|\leq 25) = 1 - W(|X-67|> 25) \end{eqnarray*}$ .

29.05.2014, 20:39

Simba33

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Ja, tut mir leid, vielleicht ein Anfängerfehler.

Ist mein Teil zu 1.) denn richtig berechnet?

zu 2.) also müsste ich für Epsilon 25 einsetzen?
So hatte ich mir es auch anfangs gedacht, war mir aber nicht sicher.

Dann hätte ich ja:

$\begin{eqnarray*} W(|X-67| \geq 25) \leq \frac{159}{25²} \end{eqnarray*}$

also als Endergebnis für 2.) 0,2544?

Danke für die Hilfe.

29.05.2014, 20:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von Simba33
Jalso als Endergebnis für 2.) 0,2544?

Nein. Vielleicht liest du dir meinen Beitrag nochmal gründlich durch, insbesondere die Zeile

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} W(42\leq X\leq 92) = W(-25\leq X-67\leq 25) = W(|X-67|\leq 25)~{\color{red} = 1 - W(|X-67|> 25)} \end{eqnarray*}$ .

bis zum Ende.

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29.05.2014, 20:47

Simba33

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Achso ja stimmt. Das 1 - davor habe ich vergessen.

Also wäre die Lösung dann 1 - 0,2544 = 0,7456 ?

Oder verstehe ich grade irgendwie alles falsch? Wir hatten das Thema nämlich noch nicht wirklich. Es wurde nur angeschnitten, dass es das gibt, aber nicht wie es geht oder ähnliches..

29.05.2014, 20:48

HAL 9000

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Ja, das hab ich gemeint.

29.05.2014, 20:50

Simba33

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Super, schon einmal vielen Dank.

Also stimmen meine Lösungen zu

1.) 0,6768

2.) 0,7456

dann so? smile

smile

Auf deine umgeschriebene Intervallgleichung wäre ich z.B. niemals gekommen. So etwas hatten wir einfach nicht.

Vielleicht kannst du mir auch bei 3.) helfen. Mit der Aufgabe weiß ich grade nichts anzufangen. Muss ich irgendwo dann für X = 37 einsetzen oder wie ist das gemeint?

gruss

30.05.2014, 21:53

Simba33

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Kann mir vielleicht noch jemand zu dem 3. Punkt der Aufgabe helfen.

Berechnen sie $\begin{eqnarray*} W(X=37) \end{eqnarray*}$ .

Ich weiß leider gar nicht wie ich vorgehen soll. Habe mir mal überlegt X = 37 irgendwo in die Markov oder Tschebycheff Ungleichung einzusetzen, aber ich kam auf nix sinnvolles.

Es wäre sehr nett, wenn jemand mir helfen könnte. smile

smile

30.05.2014, 22:59

HAL 9000

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Weder Tschebyscheff noch Markov helfen da in irgendeiner Weise - ich markiere mal, was allein für die Berechnung $\begin{eqnarray*} W(X=37) \end{eqnarray*}$ entscheidend ist:

Zitat:

Original von Simba33
Von einer stetigen Zufallsvariablen sei lediglich bekannt, dass sie nur nichtnegative Werte annimmt und einen Erwartungswert von 67 sowie eine Varianz von 159 besitzt.

30.05.2014, 23:22

Simba33

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Okay, was sagt mir das "stetig" denn nun über meine Aufgabe aus?
Ich habe mir gedacht, dass ich den Erwartungswert und die Varianz eventuell brauche, aber ich weiß nicht wie.
Kannst du mir vielleicht erklären was mir das mit dem stetig im Bezug auf diese Aufgabe sagt?

Das Problem ist denke ich halt einfach, dass wir dieses Thema noch nicht hatte, aber bis Montag die Aufgaben dazu lösen müssen..

Ich wäre dir für die Hilfe sehr dankbar.

30.05.2014, 23:44

Simba33

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Ich habe grade nochmal im Skript dazu nachgeschaut, aber da steht auch nicht wirklich was zu stetigen Zufallsfunktionen.
Es gibt zwar Beispiele dazu, aber nur welche in denen der Erwartungswert und die Varianz berechnet werden.

31.05.2014, 08:58

HAL 9000

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Stetige Zufallsgrößen nehmen einzelne Werte nur mit Wahrscheinlichkeit Null an.

31.05.2014, 11:00

Simba33

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Achso okay das wusste ich nicht, ist aber wohl Vorraussetzung für diese Aufgabe.

Also habe ich für $\begin{eqnarray*} W(X=37) \end{eqnarray*}$ als Endergebnis ja auch 0.

Kannst du nochmals grade meine Ergebnisse bestätigen, bevor ich sie so abgebe?

1.) $\begin{eqnarray*} W(X\geq 99)\leq \frac{E(x)}{x*} also \frac{67}{99} \equiv 0.6768 \end{eqnarray*}$

2.) Dank dir ein Endergebnis von $\begin{eqnarray*} 1 - \frac{159}{25²} = 0,7456 \end{eqnarray*}$

3.) $\begin{eqnarray*} W(X=37) = 0 \end{eqnarray*}$

Ich bin dir sehr dankbar für deine Hilfe.

31.05.2014, 11:43

HAL 9000

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Ja, Ok - allerdings kann man bei 1) auch noch eine bessere Abschätzung erreichen:

Ich weiß ja nicht, wie ihr die Markov-Ungleichung kennengelernt habt, aber in der allgemeinen Form lautet die

$\begin{eqnarray*} P(X\geq a) \leq \frac{E(h(X))}{h(a)} \end{eqnarray*}$

mit einer monoton wachsenden Funktion $\begin{eqnarray*} h:\;\mathbb{R}\to [0,\infty) \end{eqnarray*}$ .

Du hast hier nun $\begin{eqnarray*} h(x)=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=99 \end{eqnarray*}$ gewählt und so

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 99) \leq \frac{E(X)}{99} \approx 0.6768 \end{eqnarray*}$

ermittelt - ist soweit in Ordnung.

Wählt man hingegen $\begin{eqnarray*} h(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ , so bekommt man sogar

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 99) \leq \frac{E(X^2)}{99^2} \approx 0.4742 \end{eqnarray*}$

basierend auch $\begin{eqnarray*} E(X^2) = \operatorname{var}(X)+(E(X))^2 = 4648 \end{eqnarray*}$ , offenbar eine bessere Abschätzung. Aber wenn ihr Markov nur mit $\begin{eqnarray*} h(x)=x \end{eqnarray*}$ kennengelernt habt, dann Ok.

31.05.2014, 11:58

Simba33

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Ja, ich habe Markov ja auch noch gar nicht kennen gelernt. Wir hatten diese ganzen Sachen ja noch nicht.
Allerdings habe ich in meinen Beispielen Aufgaben zu Markov gefunden und die wurden so gerechnet, wie ich sie gerechnet habe. Daher denke ich das es so ok ist.

bei 4.) müsste ja eine 1 als Lösung hinkommen, oder?

gruss

31.05.2014, 12:05

HAL 9000

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Ja, ist richtig: Tschebyscheff funktioniert auch für diskrete Zufallsgrößen - wichtig ist nur, dass die Varianz existiert.

31.05.2014, 12:07

Simba33

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Okay, ja sowas in der Richtung habe ich auch gelesen.
Und Markov darf man ja auch bei diskreten Zufallsvariablen anwenden, wenn ich das richtig verstanden habe?

Vielen, vielen Dank für deine Hilfe.

31.05.2014, 12:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von Simba33
Und Markov darf man ja auch bei diskreten Zufallsvariablen anwenden

Ja klar.

31.05.2014, 12:20

Simba33

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Alles klar, sehr nett das du mir bei der Aufgabe so gut geholfen hast. smile

smile

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