Projektive Ebene und Parametrisierung einer Geraden

29.05.2014, 17:33	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
Projektive Ebene und Parametrisierung einer Geraden Hallo allerseits, ich arbeite seit ein paar Tagen mit der 2-dimensionalen projektiven Ebene und dem Buch "Elliptic Curves" von L. Washington. Es geht speziell um die darin enthaltene Übungsaufgabe "2.12", die da lautet: Sei $\begin{eqnarray} M=\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\\ a_3 & b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} rg(M)=2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (a, b, c)\neq0 \end{eqnarray}$ ein Vektor mit $\begin{eqnarray} (a,b,c)\cdot M=0 \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass die Parametrisierung, gegeben durch $\begin{eqnarray} x=a_1 u + b_1 v\qquad y=a_2u+b_2v\qquad z=a_3u+b_3v \end{eqnarray}$ , die Geradengleichung $\begin{eqnarray} ax + by+ cz=0 \end{eqnarray}$ in der 2-dimensionalen projektiven Ebene beschreibt. Kann mir hier jemand ein paar Tipps geben, wie ich vorgehen kann? Nach den Hinweisen von Washington ist folgendes zu Zeigen: 1.) Jeder Punkt (x : y : z) liegt auf der Geraden. 2.) Jeder Punkt der Geraden lässt sich durch (u,v) beschreiben. Meine Fragen: Welche Ansatzmöglichkeiten bieten sich bei 1.) und 2.) an? (D.h. ich möchte hier ein paar Beweisideen sammeln, um mir einen Überblick zu verschaffen, wie sich dies lösen lässt) Ich erarbeite (im Versuch) mir nun auch eine Lösung, bin aber über Ideen zu jederzeit sehr dankbar! Viele Grüße, Shalec Edit: Ich habe gelesen, dass dieses Verfahren auch "homogenes Parametrisieren" genannt wird.
30.05.2014, 11:35	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat jemand eine Idee wie ich das zeigen könnte? Durch rg(M)=2 folgt, dass mindestens zwei der drei Koordinaten nicht verschwinden. D.h. $\begin{eqnarray} \exists (i,j):\ i\neq j,\ dass a_i,b_j\neq 0 \end{eqnarray}$ D.h. man kann in jedem Fall die Punkte (x : y : 0), (x : 0 : y) und (0:y:z) erhalten. Die projektive Gerade ist durch zwei koordinaten bestimmt (u : v), wobei alle durch den Nullpunkt verlaufen. D.h. für kongruente Punkte $\begin{eqnarray} (u_1,v_1)=\lambda (u_2,v_2) \end{eqnarray}$ wird eine Äquivalenzklasse erzeugt. Damit kann man sehen, dass Punkte, die das nicht erfüllen, die projektiven Geraden erzeugen. Fehlt also noch die Umkehrung:jeder Punkt (x:y:z) lässt sich zu einem Paar (u,v) zuweisen.
31.05.2014, 11:40	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich habe nun den ersten Teil getippt (als Bild im Anhang) und es fehlt noch der Teil, dass jeder Punkt (x,y,z) einem eindeutigem Tupel (u, v) zugeordnet werden kann. D.h. ich habe bislang gezeigt, dass die gewählte Parametrisierung die Geradengleichung erfüllt. Ich habe aber nicht gezeigt, dass jeder Punkt der Geraden in der projektiven Ebene (d.h. jede Gerade darin) durch ein Paar (u,v) beschrieben werden kann. Hat hierfür jemand einen Tipp? Viele Grüße und vielen Dank PS: Gl. (1.21) ist die Gleichung 0=ax+by+cz

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