Dichtefunktion

30.05.2014, 18:40

MatheErsti123

Dichtefunktion

Hallo,

ich hänge im Moment an folgender Aufgabe:

Es sei $\begin{eqnarray*} f(a):=\frac{1}{2}*e^{-|a|},a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ . Die beiden Zufallsvariablen U und V seien unabhängig und uniform verteilt auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ . Finden Sie eine Abbildung h, sodass $\begin{eqnarray*} h(U,V) \end{eqnarray*}$ die Dichte $\begin{eqnarray*} f(a)da \end{eqnarray*}$ hat.

Meine Ideen:

Ich habe mir überlegt, dass man ein Produkt aus U und V definieren könnte, sodass U für das Vorzeichen sorgt, in dem U=-1 ausfällt, falls U zwischen 0 und 1/2 fällt und +1 ist falls U zwischen 1/2 und 1 fällt. V soll einfach den ursprünglichen Wert beibehalten. Dann wäre UV eine uniform auf [-1,1] verteile Zufallsvariable. Als nächstes hatte ich gehofft UV derart auf ganz R auszuweiten, dass sich eine zweiseitige Exponentialverteilung mit der entsprechenden Dichte ergibt. Jedoch weiß ich nicht genau wie das gehen könnte bzw. ob meine Idee nicht sogar von vornherein unsinnig ist.

Für Hilfe wäre ich sehr dankbar Big Laugh

30.05.2014, 19:10

HAL 9000

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Die Idee mit dem $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist in Ordnung.

Aber dann gleich $\begin{eqnarray*} UV \end{eqnarray*}$ zu betrachten, scheint mir nicht so sinnvoll. Versuch doch lieber, $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ in eine Exponential(1)-verteilte Zufallsgröße zu transformieren, und dann erst das Produkt mit dem Vorzeichen $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ zu vollziehen.

30.05.2014, 20:25

MatheErsti123

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Wie genau sieht eine solche Transformation aus? Ich wollte das gleiche ja mit UV machen, konnte es aber nicht, weil ich nicht wusste, wie. Bei V bin ich da leider genauso ratlos.

30.05.2014, 22:56

HAL 9000

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Klarer Fall für die Inversionsmethode .

31.05.2014, 14:29

MatheErsti123

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Ok, soetwas haben wir bisher zwar nicht in der Vorlesung gehabt, aber ich probiere es mal:

ich verteile U also wie gehabt. Und sei $\begin{eqnarray*} V=f(b)^{-1}=-ln(2b) \end{eqnarray*}$ , d.h. V wird mit einer entsprechenden Gewichtung auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^+ \end{eqnarray*}$ verteilt. Nun nutze ich U um eine Art Spiegelung an der Y-Achse zu erzeugen, sodass das Produkt UV derart auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ verteilt ist, dass $\begin{eqnarray*} h(U,V) \end{eqnarray*}$ die Dichte $\begin{eqnarray*} f(a) da \end{eqnarray*}$ hat.

Ich bin mir leider nicht wirklich sicher, ob das so stimmt. Und mir ist auch nicht ganz klar, wie die Funktion h(U,V) genau aussieht.

31.05.2014, 15:58

HAL 9000

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Eigentlich hatte ich in meinen letzten beiden Beiträgen alles bereits skizziert:

Zitat:

Original von HAL 9000
Versuch doch lieber, $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ in eine Exponential(1)-verteilte Zufallsgröße zu transformieren, und dann erst das Produkt mit dem Vorzeichen $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ zu vollziehen.

[...]

Klarer Fall für die Inversionsmethode .

Die Exponential(1)-Verteilung hat die Verteilungsfunktion

$\begin{eqnarray*} F(x) = 1-e^{-x} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Gemäß Inversionsmethode besitzt dann also $\begin{eqnarray*} F^{-1}(V) = -\ln(1-V) \end{eqnarray*}$ die gewünschte Exponential(1)-Verteilung.

Dann noch das Vorzeichen "drangeklebt" sind wir bei $\begin{eqnarray*} h(U,V) = -\operatorname{sgn}\left(U-\frac{1}{2}\right)\cdot \ln(1-V) \end{eqnarray*}$ , und fertig.

P.S.: Da mit $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ gleichverteilt auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ dasselbe auch auf $\begin{eqnarray*} 1-V \end{eqnarray*}$ zutrifft, könnte man auch noch einfacher $\begin{eqnarray*} h(U,V) = \operatorname{sgn}\left(U-\frac{1}{2}\right)\cdot \ln(V) \end{eqnarray*}$ wählen.

31.05.2014, 18:04

MatheErsti123

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Ok, vielen Dank für deine Hilfe. Eine letzte Frage hätte ich noch: Kann man dann sagen, dass h zweiseitig exponentialverteilt ist?

31.05.2014, 20:20

HAL 9000

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Ja, so nennt man das wohl bisweilen.

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