LGS nach Gauß

Neue Frage »

tobsin Auf diesen Beitrag antworten »
LGS nach Gauß
Meine Frage:
Ich stehe vor folgendem Problem:
Geg. sei die Matrix A: und Vektor
Ermitteln Sie die Lösungsmenge des GLS A*x=b


Meine Ideen:
Durch die Bestimmung des Rang A = 3 und Rang (A,b) weiß ich, dass ich 3 genau bestimmte Variablen habe. Soweit in Ordnung. Die Spaltenanzahl von Matrix A verrät mir außerdem, dass das LGS 4 Unbekannte hat. Ja.
Außerdem besitzt das LGS wohl einen freien Parameter.

Alles kein Problem.

Jetzt habe ich den Gauß aufgestellt und in die Stufenform gebracht



So sieht die Koeffizientenmatrix nun aus. Ich tue mir allerdings schwer jetzt die Variablen zu ermitteln.

x4=t. Soviel steht fest. Aber wie ermittele ich jetzt x3? Jenachdem welchen Wert ich für x4 einsetze, verändert sich doch auch der Wert für x3, oder nicht?

Ich hatte jetzt folgenden Ansatz: x4=t, Dann steht in der letzten Zeile x3 = 1-0,5*x4

Habe jetzt einfach die 2 für t eingesetzt. D.h gilt x3=0. Folgernd daraus ergibt sich x2 = 6, x1=-0,5.

Bin ich da richtig vorgegangen?

Mein Problem ist eben, wie ich das LGS anständig löse für x4=t. Vielleicht kann mich jemand auf den richtigen Gedankengang schubsen.

EDIT(Helferlein): Latexklammern gesetzt und vmatrix durch pmatrix ersetzt, da es ansonsten Determinanten wären.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz. Wenn Du t als Parameter ansetzt, dann muss du das auch konsequent bis zum Ende durchziehen, so dass alle von diesem t abhängen.
Wählst Du mittendrin einen Wert, dann ist der restliche Lösungsweg unbrauchbar. Du kannst höchstens gleich zu beginn t festlegen, aber dann bekommst Du nur eine bestimmte Lösung des GLS und nicht alle.
tobisn Auf diesen Beitrag antworten »

Okay danke soweit.

Ich hatte vergessen nachzuschauen das hier gilt, dass r<n ist. Also Unendliche viele Lösungen mit 4-3 Parametern.

Also: x4=t

Folglich gilt:

x3 = -0,5t
x2=2,5t
x1 =

D.h die Lösungsmenge des GLS ist



Ich denke so hast du es gemeint ja?
tobisn Auf diesen Beitrag antworten »

Wobei mir gerade einfällt, dass ich nicht einheitlich als Bruch dargestellt habe. Das sieht tatsächlich etwas bescheiden aus in der Lösungsmenge.
tobisn Auf diesen Beitrag antworten »

Folgende Lösung:




Was mich verwirrt hatte, war das alle Ergebnisse hinsichtlich des Vektors x von t abhängig sind. Aber nach dem ich die Definition noch mal genauer gelesen habe, hat sich das genau ergeben.

Ich hatte ja selbst geschrieben, dass hier zwar eine Lösung existiert, aufgrund der Tatsache das Rang(A)=Rang(A,b), da aber der Rang (a) wiederum kleiner ist als die Anzahl der Spalten, haben wir 1.) Unendlich viele Lösungen, wobei (3-4)=1 frei wählbarer Parameter ist. Das habe ich ja mit x4=t getan. Somit ist meine Lösungsmenge korrekt.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst nochmals nachrechnen, denn dein Resultat stimmt nicht.
Der Vektor bei t muss (1; -14; 2; -4) oder ein Vielfaches davon lauten (!).

Tipp:
Es ist besser, zunächst mit dem Eliminieren von Variablen zu beginnen und dann erst zu entscheiden, welche Variable mit einem Parameter (t) zu belegen ist.
Gleich von Vornherein eine Variable mit t zu belegen, kann letal sein, d.h. in eine Sackgasse führen (dead end), sodass die Lösung in dieser Weise nicht ermittelt werden kann, obwohl eine solche existiert. Beispielsweise kann es sein, dass eine Variable eine feste Zahl ist und kein t enthalten darf.

In deiner Aufgabe lässt sich x3 eliminieren, sodass zunächst zwei Gleichungen in x1, x2, x4 stehen bleiben. Danach ergibt sich bei weiterer Elimination (von x2) eine letzte Gleichung in x1 und x4, die sogar homogen ist. Nun kann man x1 = t setzen, wobei daraus x4 = -4t folgt.

Falls du x4 = t setzt (wie du es ja bei deinem Rechenweg getan hast), müsste sich folgerichtig x1 als t/4 ergeben.

Weiterer Tipp: Setze Vielfache von t, damit du unnötige Brüche vermeidest.

Beende nun die Berechnung deiner Aufgabe richtig.

mY+
 
 
tobisn Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe es nicht. Ich habe die Matrix noch mal komplett neu bestimmt und den Gauß angewendet. Jetzt müsste sie stimmen.



Mein GLS macht trotzdem keinen wirklichen Sinn.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Tut es aber leider nicht.

z.B. : 2.Zeile - 1. Zeile:

Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »