Abschätzungen...

31.05.2014, 21:45

akamanston

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Abschätzungen...

hi, habe es ja schon angedeutet.
jetzt hab ich es mit grenzwerten die ich wohl abschätzen muss. ich versteh aber nicht wie das abschätzen funktioniert.
wenn ich zB durch abschätzen zeigen möchte das eine folge gegen null konvergiert dann suche ich mir eine nullfolge. aber hier geht doch schon los. ich kann ja eine folge haben die zwar gegen null konvergiert aber dennoch größer ist als die andere. in dem fall ist so eine abschätzung doch sinnlos? muss ich das von hand mit den ersten paar natrürlichen zahlen testen?

ich poste jetzt mal sämtliche aufgaben. einige habe ich ja schon gelöst=)

$\begin{eqnarray*} a_{n} =\frac{2^{n} }{3^{n} } \end{eqnarray*}$
das ist die geometrische folge mit q<1 - also nullfolge.

$\begin{eqnarray*} b_{n} =\frac{2^{n}+3^{n} }{4^{n} } \end{eqnarray*}$
hier kann ich genauso argumentieren. summe zweier nullfolgen ergibt wieder eine nullfolge. wenn man den bruch aufteilt erkennt man, dass es 2 geometrische foglen sind.

so aber nun wird es für mich schon wieder unerklärlich.
$\begin{eqnarray*} c_{n} =\frac{2^{n}+n }{n^2 } =\frac{2^{n} }{n^2} \end{eqnarray*}$
ich weiß das = ist falsch. aber es reicht wenn ich den teil anschaue, weil der andere summand eien nullfolge ist.
einschub: kann ich die ungleichung richtigstellen, in dem ich einfach schon abschätze?
$\begin{eqnarray*} c_{n} =\frac{2^{n}+n }{n^2 } \geq =\frac{2^{n} }{n^2} \end{eqnarray*}$
um zu zeigen dass $\begin{eqnarray*} \frac{2^{n} }{n^2} \end{eqnarray*}$ divergiert, bietet sich doch nun vollständige induktion oder eine abschätzung an, oder?

und wie argumentiert man denn bei n^n? da braucht man doch gar nichts sagen, dass es divergiert?

31.05.2014, 22:15

Alaster

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Du kannst für Divergenz zeigen, dass die Folge nicht beschränkt ist.

Jede konvergente Folge ist beschränkt. Ist eine Folge also unbeschränkt, divergiert sie.

Das kannst du bewerkstelligen, indem du die Folge nach unten abschätzt.

31.05.2014, 22:41

akamanston

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Zitat:

Original von Alaster
Du kannst für Divergenz zeigen, dass die Folge nicht beschränkt ist.

Jede konvergente Folge ist beschränkt. Ist eine Folge also unbeschränkt, divergiert sie.

Das kannst du bewerkstelligen, indem du die Folge nach unten abschätzt.

also bei n^n reicht es wen ich sage, sie ist unbeschränkt.

und bei $\begin{eqnarray*} c_{n} =\frac{2^{n}+n }{n^2 } \geq =\frac{2^{n} }{n^2} \end{eqnarray*}$ soll ich abschätzen. wieso nicht induktion? ich könnte doch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 2^{n} \geq n^{2} \end{eqnarray*}$ . oder ist das nicht stark genug?

naja und womit soll ich denn die folge abschätzen? vor allem nach unten?

01.06.2014, 00:07

akamanston

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hm

$\begin{eqnarray*} \frac{2^{n} }{n^2} \end{eqnarray*}$

kann ich das irgendwie mit n oder q^n mit q>1 abschätzen? das sind nämlich zwei tipps die ich erhalten habe=)

edit:

macht das igendwie sinn^^

$\begin{eqnarray*} \frac{2^{n} }{n^2}\geq (\frac{n^{3} }{n^2}) ^{n} = n^n \end{eqnarray*}$

01.06.2014, 10:37

Iorek

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Wie kommst du denn an diese (falsche) Abschätzung? Das müsstest du doch zumindest irgendwie begründen können.

Deine Abschätzung bzw. Induktion für $\begin{eqnarray*} 2^n\geq n^2 \end{eqnarray*}$ bringt dich hier nicht wirklich weiter. Es ist auch $\begin{eqnarray*} n+1>n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , aber sowohl $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} b_n=\frac{n+1}{n} \end{eqnarray*}$ sind beide konvergent. Was du natürlich versuchen könntest, ist etwa $\begin{eqnarray*} 1{,}5^n>n^2 \end{eqnarray*}$ nachzuweisen und das einzubringen.

01.06.2014, 12:42

akamanston

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Zitat:

Original von klarsoweitAlso mußt du die Folge nach unten abschätzen. Dazu darfst du den Zähler kleiner und den Nenner größer machen, sofern beide positiv sind, was man aber für genügend große n immer erreichen kann.

ich hab mich bei der abschätzung auf einen alten thread bezogen und hab das dann so angewandt. mir ist schon selber klar, dass das falsch ist. ich habe nur die anweisung befolgt.

ich weiß doch nicht wie ich sowas abschätze.
ich ich habe nur die tipps bekommen das ich eine unendlich folge mit mit n oder q^n mit q>1 abschätzen kann.

Zitat:

Es ist auch $\begin{eqnarray*} n+1>n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , aber sowohl $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} b_n=\frac{n+1}{n} \end{eqnarray*}$ sind beide konvergent.

ich weiß nicht was du mir damit sagen willst?

und wieso darf ich denn das $\begin{eqnarray*} 1{,}5^n>n^2 \end{eqnarray*}$ zeigen? verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

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01.06.2014, 13:14

Iorek

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Du willst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 2^n\geq n^2 \end{eqnarray*}$ ist und daraus irgendwie schließen, dass die Folge divergiert. Dass das nicht ausreicht, habe ich dir mit dem Gegenbeispiel gezeigt.

Und wieso du das zeigen darfst/sollst/kannst? Weil es dich bei der Aufgabe weiterbringt, weil es ein möglicher Lösungsweg ist (zugegeben nicht der schönste, aber recht "einfach" zu sehen), weil es eine korrekte und zielführende Abschätzung liefert.

Du solltest langsam aufhören, in festen Strukturen zu denken. "Abschätzungen funktionieren immer nach diesem Prinzip" oder "Den Grenzwert berechne ich immer über diesen Weg". Mathematik funktioniert nicht so. Setz dich mit den jeweiligen Begriffen intensiv auseinander, sieh dir die Beispiele aus den Vorlesungen oder eurem Skript an, schlage auch einmal in einem Lehrbuch nach um vielleicht einen weiteren Zugang zur z.B. Folgenkonvergenz zu bekommen und versuche anhand von Beispielen das Vorgehen nachzuvollziehen und die Idee dahinter zu verstehen. Einfach irgendwelche Anweisungen zu befolgen ohne selbst dabei zu denken, bringt dich nicht weiter.

01.06.2014, 21:44

akamanston

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hi,
ich möchte aber den schöneren weg wählen, bei dem ich $\begin{eqnarray*} \frac{2^{n} }{n^2} \end{eqnarray*}$ als bruch abschätze, auch weil die aufgabe darauf abzielt mit gegebenen unendlichfolgen zu arbeiten.

entweder mit n oder mit der geometrischen folge für q>1.

01.06.2014, 21:54

Iorek

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Ja, und wenn du diese Abschätzung verwendest, dann bekommst du eine Abschätzung nach unten mit der geometrischen Folge, und das $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ist in dem Fall dann auch größer als 1.

01.06.2014, 22:00

akamanston

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muss ich dann meine abschätzung die ich schon oben mal geschrieben habe, also die falsche einfach anders/richtig darstellen?
also das ist der ansatz=)
$\begin{eqnarray*} \frac{2^{n} }{n^2}\geq (\frac{a}{b}) ^n \end{eqnarray*}$ mit a>b

01.06.2014, 22:04

Iorek

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Ich kann nicht ganz nachvollziehen, was du jetzt damit vorhast. Deine Abschätzung von oben ist nicht wirklich zu retten und auch nicht brauchbar. Ein möglicher Ansatz ist wie gesagt, die Abschätzung $\begin{eqnarray*} n^2\leq 1{,}5^n \end{eqnarray*}$ zu beweisen und dann zu verwenden. Du kannst das natürlich auch gegen einen komplett anderen Bruch abschätzen, falls du das vorhast. Das dürfte aber deutlich schwieriger sein.

Warum will ich gerade diese Abschätzung einbringen, also was ist mein Ziel, wenn ich $\begin{eqnarray*} n^2\leq 1{,}5^n \end{eqnarray*}$ einbringen will?

01.06.2014, 22:10

akamanston

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Zitat:

Original von Iorek
Warum will ich gerade diese Abschätzung einbringen, also was ist mein Ziel, wenn ich $\begin{eqnarray*} n^2\leq 1{,}5^n \end{eqnarray*}$ einbringen will?

nein ich hab kein plan was du damit willst
mit 1,5 machst du den bruch etwas größer weil du den zähler verkleinerst.

01.06.2014, 22:12

Iorek

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Zitat:

Original von akamanston
entweder mit n oder mit der geometrischen folge für q>1.

Du willst also eine Abschätzung gegen eine geometrische Folge $\begin{eqnarray*} q^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} q>1 \end{eqnarray*}$ . Darauf soll das irgendwie hinauslaufen.

Zitat:

Original von akamanston
mit 1,5 machst du den bruch etwas größer weil du den zähler verkleinerst.

Da solltest du nochmal drüber nachdenken. unglücklich

unglücklich

01.06.2014, 22:17

akamanston

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Zitat:

Da solltest du nochmal drüber nachdenken.

grrr ich hab falsch rum geteilt. also durch das 1,5 wird der bruch kleiner, deutlich kleiner.

Zitat:

Du willst also eine Abschätzung gegen eine geometrische Folge $\begin{eqnarray*} q^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} q>1 \end{eqnarray*}$ . Darauf soll das irgendwie hinauslaufen.

endlich

Gott

ja das ist so mein plan. sollte ja auch gehen, weil das eine divergente folge ist

01.06.2014, 22:20

Iorek

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Also: wir haben $\begin{eqnarray*} \frac {2^n}{n^2} \end{eqnarray*}$ gegeben und wollen das nach unten irgendwie gegen eine geometrische Folge abschätzen.

1. Was müssen wir ab schätzen bzw. was stört uns an diesem Bruch, weshalb wir das nicht als geometrische Folge interpretieren dürfen?
2. Wie können wir den Bruch dann bearbeiten, damit wir einen kleineren Bruch erhalten?
3. Wie passt das jetzt mit der vorgeschlagenen Abschätzung zusammen?
4. Führe die Abschätzung durch.

01.06.2014, 22:33

akamanston

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ok danke dir.
1. das quardat im nenner ist das problem
2. der bruch wird kleiner wenn wir den zähler kleiner oder den nenner größer machen
3. ja dein vorschlag zusammengefasst wäre dann: $\begin{eqnarray*} \frac{2^{n} }{n^2}\geq (\frac{1,5^{n} }{n^{2} }) ^n \end{eqnarray*}$ das gefällt mir schon mal.
4. also dann multipliziert man mit n^2 und erhält $\begin{eqnarray*} 2^{n} \geq 1,5^{n} \end{eqnarray*}$ . hmmm

01.06.2014, 22:36

Iorek

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Du sagst, dass das $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ im Nenner das Problem ist, gehst aber den Zähler an. unglücklich

unglücklich

Das $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ im Nenner soll verschwinden! Auf dieses bezieht sich doch auch die Abschätzung $\begin{eqnarray*} 1{,}5^n\geq n^2 \end{eqnarray*}$ .

01.06.2014, 22:42

akamanston

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ok, jetzt langsam verstehe ich deine abschätzung. mit der 1,5 sorgst du dafür dass q>1 wird.

also vorläufig:
$\begin{eqnarray*} \frac{2^{n} }{n^2}\geq (\frac{2^{n} }{1,5^{n} }) \end{eqnarray*}$

und genau jetzt muss ich beweisen, dass das $\begin{eqnarray*} 1{,}5^n\geq n^2 \end{eqnarray*}$ gilt. jetzt richtig?

01.06.2014, 22:52

Iorek

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Ja, so geht das in die richtige Richtung.

01.06.2014, 22:56

akamanston

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und das mache ich per induktion oder?

01.06.2014, 22:58

Iorek

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Ja.

02.06.2014, 22:16

akamanston

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ok habe die induktion gemacht, aber ich habe keine ahnung obs richtig ist. ich habe kein gutes gefühl.

IV: $\begin{eqnarray*} 1{,}5^n\geq n^2 \end{eqnarray*}$
also für n=1 ist alles ok.

dann is das der IS: $\begin{eqnarray*} 1,5^{n+1} \geq (n+1)^{2} \end{eqnarray*}$
ich forme um:
$\begin{eqnarray*} 1,5^{n}1,5 \geq n^{2}+2n+1 \end{eqnarray*}$
nun benutze ich die IV :
$\begin{eqnarray*} n^{2}1,5 \geq n^{2} +2n+1 \geq n^{2} +2n= n(n+2) \end{eqnarray*}$
und forme weiter um.
$\begin{eqnarray*} 1,5n \geq n+2 \end{eqnarray*}$
so und nun wäre die induktion(nach weiterer umformung) für $\begin{eqnarray*} n\geq 4 \end{eqnarray*}$ bewiesen.

03.06.2014, 12:53

Iorek

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Wieso ist damit denn jetzt die Aussage bewiesen? Was hat die letzte Ungleichung mit der zu zeigenden Aussage zu tun? verwirrt

verwirrt

Und du bekommst auch Probleme, wenn du diese Ungleichung für natürliche zwischen 2 und 12 beweisen willst. In diesem Bereich gilt die Ungleichung nämlich nicht.

03.06.2014, 13:07

akamanston

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hm dann probier ich es nochmal.

IV: $\begin{eqnarray*} 1{,}5^n\geq n^2 \end{eqnarray*}$
zZ: IS: $\begin{eqnarray*} 1,5^{n+1} \geq (n+1)^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1,5^{n}1,5 \geq^{IV} n^{2}1,5 \end{eqnarray*}$
das ist doch sicher wieder falsch, ich weiß nicht wies weiter geht

03.06.2014, 13:17

Iorek

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Der Schritt ist bis jetzt richtig. Du willst ja aber noch weiter abschätzen, um am Ende auf $\begin{eqnarray*} (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ zu kommen. Dafür könnte man sich das ja noch etwas umschreiben: $\begin{eqnarray*} 1{,}5n^2=n^2+0{,}5n^2 \end{eqnarray*}$ . Was du noch zusätzlich brauchen wirst, ist das hier:

Zitat:

Original von Iorek
Und du bekommst auch Probleme, wenn du diese Ungleichung für natürliche zwischen 2 und 12 beweisen willst. In diesem Bereich gilt die Ungleichung nämlich nicht.

Das musst du in der Induktion natürlich berücksichtigen, darfst es dann aber im Induktionsschritt verwenden.

05.06.2014, 19:09

akamanston

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ok let the show begin Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} 1,5^{n}1,5 \geq n^{2}1,5=1,5n^{2}\geq n^{2}+0,5n^{2}\geq n^{2}+2n+1=(n+1)^{2} \end{eqnarray*}$

so, ist das denn richtig???? Engel

Engel

Zitat:

Original von IorekUnd du bekommst auch Probleme, wenn du diese Ungleichung für natürliche zwischen 2 und 12 beweisen willst. In diesem Bereich gilt die Ungleichung nämlich nicht.

kann ich das nicht umgehen, in dem ich sage, dass die induktion nur für ausreichend große n gilt?

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