diagonale matrix finden

01.06.2014, 13:05

akamanston

diagonale matrix finden

guten morgen.

ich hab hier wieder eine einfache aufgabe, bei der ich schon ein gewissen plan habe=)
gegeben ist ein vierdimensionaler Vektorraum V in der b1, b2, b3, b4 eine Basis bilden.
Eine lineare Abbildung f : V -> V habe die Eigenschaft
f(b1) = 0
f(b2) = b1 + 4b4
f(b3) = b2 - 8b4
f(b4) = b3 + 5b4.
es gilt diagonalisierbarkeit zu prüfen.

jetzt geht es für mich erstmal die passende matrix zu bilden.
hoffe ich habe das richtig gemacht.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0&0 \\ 0 & 0 &1&0 \\0 & 0 & 0&0 \\ 0&3&-8&5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
falls das richtig ist, dann freu ich mich=) aber wer sagt mir denn dass ich die vektoren nicht auch in spalten form schreiben kann? ich habe es jetzt mal spontan einfach so aus dem bauch heraus zeilenweise geschrieben.

nun könnte man erstmal das charakteristische polynom berechnen etc. aber ich vermute, das die nullspalte und nullzeile bereits entscheidende infos beeinhalten, vorausgesetzt ich habe die matrix richtig geschrieben.

01.06.2014, 14:14

Helferlein

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Wenn das die Darstellungsmatrix bzgl. B sein soll, dann stimmen nur zwei der vier Spalten.

01.06.2014, 19:42

akamanston

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ohje, ich merke es.

richtig wäre sie hoffentlich so.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0&0 \\ 0 & 0 &1&0 \\0 & 0 & 0&1 \\ 0&4&-8&5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

01.06.2014, 19:56

Helferlein

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Besser, aber immer noch nicht korrekt. Es fehlt noch eine 1 in der Matrix. (Wo solltest Du selber erkennen)

01.06.2014, 20:04

akamanston

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ok wahrscheinlich meinst du

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0&0 \\ 0 & 0 &1&0 \\0 & 0 & 0&1 \\ 0&4&-8&5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ich habe vorher dort eine 0 gehabt, weil f(b1)=0 und alle b1 einträge null sind.
ok jetzt habe ich keine nullspalte mehr. deshalb würde ich, weil es sich anbietet folgendermaßen umformen.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 4& -8&5 \\ 0 & 1 &0&0 \\0 & 0 & 1&0 \\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

jetzt lässt sich das charakteristische polynom zumindesst relativ einfach ausrechnen. ich schaue mir den viererblock oben links und den unten rechts an. bin ich auf dem richtigen dampfer?

03.06.2014, 00:07

Helferlein

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Mit welcher Berechtigung vertauscht Du die Zeilen?
Zur Berechnung des charakteristischen Polynoms würde ich nach der ersten Spalte entwickeln und anschließend Sa rrus anwenden.

03.06.2014, 00:13

akamanston

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ja ich dachte ich kann die matrix genauso handeln wie beim gauß, dass man alle zeilen vertauschen kann und nach zeilenstufenform ordnet. aber beim ch. polynom darf man die matrix nicht verändern. das ist mir heute auch aufgefallen. also ich lass die matrix so wie sie ist, füge das -lambda ein und rechne es einfach aus. die null spalte macht es ja relativ leicht das polynom zu berechnen.

stimmts, bis dann

edit:
$\begin{eqnarray*} X(\lambda )=\begin{vmatrix} -\lambda &1&0&0 \\ 0&-\lambda&1&0 \\0&0&-\lambda&1\\0&4&-8&5-\lambda \end{vmatrix} =-\lambda \begin{vmatrix} -\lambda &1&0\\ 0&-\lambda &1 \\ 4&8 &5-\lambda \end{vmatrix} =-\lambda [\lambda ^{2}(5-\lambda )+4 +8\lambda ]=\lambda (\lambda ^{3}-5\lambda ^{2}-8\lambda -4 ) \end{eqnarray*}$

aber irgendwie geht die determinante mal gar nicht auf.
ist denn meine matrix nun richtig?

03.06.2014, 17:41

Helferlein

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Fast richtig. Dass es nicht aufgeht, liegt an einem Vorzeichenfehler im ersten Schritt.
Richtig wäre $\begin{eqnarray*} \chi(\lambda )= -\lambda (\lambda ^{2}(5-\lambda )+4\color{red}-\color{black}8\lambda) \end{eqnarray*}$

03.06.2014, 19:21

akamanston

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bist du sicher? da wird minus und minus zu Plus.

edit: ok die fehlerquelle war die matrix. ich habe die determinante bei der 8 falsch abgeschrieben.

aber letztendlich kommt dann heraus:
$\begin{eqnarray*} \lambda (\lambda -1)(\lambda -2)^{2} \end{eqnarray*}$

also sind die Eigenwerte: 0, 1, 2, 2
sehe ich jetzt schon ob die matrix diagonalisierbar ist? das polynom zerfällt zwar, aber ist dennoch nicht diagonalisierbar?!?!?

03.06.2014, 23:06

Helferlein

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Leider Nein, da ein Eigenwert doppelt vorkommt.
Du musst noch die geometrische Vielfachheit betrachten.

03.06.2014, 23:11

akamanston

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Zitat:

Original von Helferlein
Leider Nein, da ein Eigenwert doppelt vorkommt.

also nicht diagonalisierbar, weil ew doppelt vor kommt. aber es kann ja trotzdem sein, dass sie diagonalisierbar ist, trotz der doppelten ew.
wenn der kern für den ew 2 nämlich die dimension 2 hat könnte sie wieder diagonalisierbar werden oder? das ist ja der vergleich von geometrischer und algbebraischer vielfachheit, den du da angesprochen hast, oder?

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