Faktorgruppe zur kleinschen Vierergruppe

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Traumtänzerin Auf diesen Beitrag antworten »
Faktorgruppe zur kleinschen Vierergruppe
Meine Frage:
Hey smile

Meine Aufgabe ist, für alle nicht triviale Normalteiler die Faktorgruppen zur Kleinschen Vierergruppe anzugeben. Leider scheitere ich dabei :/

ich verstehe einfach nicht, was genau eine Faktorgruppe ist, und wie ich diese bestimmen soll. Wikipedia und meine Bücher helfen mir da leider auch nicht.

Als Defintion habe ich " Sei H Untergruppe von G und ein Normalteiler, das heißt G/H die Faktorgruppe von G nach dem Normalteiler H"

Was ich bisher durchschaut habe, ist, das die Faktorgruppe auch wieder aus Mengen bestehen soll. Und das H selbst das neutrale Elemten der Gruppe ist. (Falls das schon falsch sein sollte, bitte widersprecht mir - aber ich hoffe nicht :S)

Meine Ideen:
So, nun habe ich bisher die Untergruppen bestimmt.









Das die Kleinsche Vierergruppe kommutativ ist, sind alle Untergruppen Normalteiler. die nichttrivialen sind

Aber jetzt habe ich einfach keine Ahnung, was ich tun muss um die Faktorengruppen zu bestimmen. Ich hoffe mir kann jemand helfen, auch wenn ich grade sehr auf den Schlauch stehe _._

brauche ich die expliziten Nebenklassen ? Die hätte ich auch berechnet, aber wusste nicht, ob ich damit etwas anfangen kann
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RE: Faktorgruppe zur kleinschen Vierergruppe
Die Elemente der Faktorgruppe G/H sind doch gerade die Nebenklassen gH.
Traumtänzerin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faktorgruppe zur kleinschen Vierergruppe
Achso einfach ist das?
Ich hatte mich auch schon die ganze Zeit gewundert, weil das ja die selbe Bezeichnung hat..
Aber irgendwie sah das was sie dann in den Skripten gemacht hatten, die ich durchgeguckt habe, nochmal total anders aus zu dem, als das, was ich kenne bzw. gemacht habe.


Also habe ich dann jetzt eine Faktorgruppe, in der ich sämtliche Nebenklassenzusammenfasse zusammenfasse, oder entspricht jede Nebenklasse einer Faktorgruppe?
In letzterem Fall fände ich es ja noch unsinniger/verwirrender, zwei Begriffe für ein und die selbe Grupppe zu haben ?

Als nichtriviale Nebenklassen habe ich ja:







Die können doch nicht einfach so auch den jeweiligen (?) Faktorgruppen entsprechen, oder doch?

Danke dir smile



Ergänzung: Oder heißt die Gruppe der Nebenklassen einfach nur Faktorgruppe, WENN die Untergruppe ein Normalteiler ist - thats it?
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RE: Faktorgruppe zur kleinschen Vierergruppe
Zitat:
Original von Traumtänzerin


Was soll sein? Die Schreibweise kenne ich nicht. Ansonsten ist das die Faktorgruppe von V_4 nach K_1.

Zitat:

Ergänzung: Oder heißt die Gruppe der Nebenklassen einfach nur Faktorgruppe, WENN die Untergruppe ein Normalteiler ist - thats it?

Das stimmt so nicht ganz. Du kannst zu jeder Gruppe G mit Untergruppe H die Menge der Nebenklassen gH bilden. Das ist dann aber eben zunächst nur eine Menge, ohne jegliche Gruppenstruktur (sprich ohne Verknüpfung). Die Menge der Nebenklassen ist also nicht per se eine Gruppe.
Wenn H sogar ein Normalteiler von G ist, dann kannst du auf dieser Menge aber eine Verknüpfung definieren, mit der diese Menge dann auch eine Gruppe ist.
Traumtänzerin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faktorgruppe zur kleinschen Vierergruppe
So hat das mein Prof. geschriebeben, aber der schriebt vieles anders, als ich es im Internet oder Büchern finde, von daher glaube ich dir jetzt mal mehr als ihm smile

Ahhh ich habs verstanden Big Laugh Dankeeee Big Laugh Big Laugh Big Laugh
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RE: Faktorgruppe zur kleinschen Vierergruppe
Zitat:
Original von Traumtänzerin
Als Defintion habe ich " Sei H Untergruppe von G und ein Normalteiler, das heißt G/H die Faktorgruppe von G nach dem Normalteiler H"

Das ist inhaltlich richtig. Hier steht ja schon, dass H ein Normalteiler sein muss. Wenn ihr Nebenklassen ohnehin nur nach Normalteilern bildet, dann kommt da auch immer zwanglos eine Gruppe - eben die Faktorgruppe - heraus.
 
 
Traumtänzerin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faktorgruppe zur kleinschen Vierergruppe
Nee, nicht nur. Das war jetzt nur bei der Aufgabe so, wiel die Gruppe ja kommutativ ist und dann alle Untergruppen auch Normalteiler sind (sag bitte ich habe Recht^^).
In der vorherigen Aufgabe sollte ich alle Untergruppen bestimmen und entscheiden, welche ein Normalteiler ist smile

Aber jetzt hat´s Klick gemacht, nicht alle Nebenklassen sind Faktorgruppen, sondern nur solche, die auch Normalteiler sind. Und ja, genau das steht ja da auch, frag mich nicht wieso ich´s nicht geblickt habe, hab den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr gesehen. Zu viel Mathe heute ^^
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RE: Faktorgruppe zur kleinschen Vierergruppe
Zitat:
Original von Traumtänzerin
wiel die Gruppe ja kommutativ ist und dann alle Untergruppen auch Normalteiler sind (sag bitte ich habe Recht^^).

Du hast Recht Freude
Traumtänzerin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faktorgruppe zur kleinschen Vierergruppe
yaaai Big Laugh

Danke dir Blumen smile
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faktorgruppe zur kleinschen Vierergruppe
Zitat:
Original von Traumtänzerin
Aber jetzt hat´s Klick gemacht, nicht alle Nebenklassen sind Faktorgruppen, sondern nur solche, die auch Normalteiler sind.


Das ist etwas unpräzise ausgedrückt, auch wenn du wahrscheinlich das Richtige meinst. Ich würde es so formulieren: Die Nebenklassen nach einer Untergruppe bilden genau dann eine Faktorgruppe, wenn die Untergruppe Normalteiler ist.

Der Grund ist, dass in dem Fall Rechts- und Linksnebenklassen übereinstimmen, d.h. . Dies ist bei Untergruppen im Allgemeinen nicht der Fall.
Traumtänzerin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faktorgruppe zur kleinschen Vierergruppe
Jaa, das meint ich auch Big Laugh
Muss mir noch das sprachliche Fachwissen aneigenen. Gott


Aber nochmal kurz zur Faktorgruppe

Hier macht der mit "meinen" Nebenklassen ganz komisches Zeug - habe jetz tnur den einen Schritt von ihm rauskopiert, hoffe das genügt Erstaunt2

Ich habe jetzt so wie erklärt, einfach nur die entsprechenen Normalteiler als Faktorgruppen übernommen, ohne nochmal großartig mit ihnen rumzurechenen.
Bitte sagt mir, dass dort im Forum einfach nur schändlicherweise keiner widerspricht und sein Weg nicht richtig ist. Sonst schrei ich ! traurig
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faktorgruppe zur kleinschen Vierergruppe
Ich rate dir dringend, für die Mathematik eine präzise Ausdrucksweise anzugewöhnen, sonst kommst du in Teufels Küche. Präzise Formulierungen fördern außerdem das Verständnis ungemein.

Zitat:
Original von Traumtänzerin
..., einfach nur die entsprechenen Normalteiler als Faktorgruppen übernommen,...

Das ist einfach falsch ausgedrückt. Du bildest die Nebenklassen nach einem Normalteiler und die Menge dieser Nebenklassen bilden eine Faktorgruppe.

Zitat:


Hier macht der mit "meinen" Nebenklassen ganz komisches Zeug - habe jetz tnur den einen Schritt von ihm rauskopiert, hoffe das genügt Erstaunt2


Seine Rechnungen sind richtig, er unterscheidet aber fälschlicherweise beispielsweise zwischen und , obwohl die beiden Mengen identisch sind, da es in Mengen nicht auf die Reihenfolge der Elemente ankommt. Deswegen kommt er zu der falschen Schlussfolgerung, dass beispielsweise die Faktorgruppe nach aus vier Elementen besteht, obwohl es nur zwei sind. Die Faktorgruppe besteht aus den Elementen und .
Traumtänzerin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faktorgruppe zur kleinschen Vierergruppe
Ouh man, heute ist einfach nicht mein Tag ...

Ja, du hast Recht, dadurch, dass er die Doppelungen drin hat, hab ich mich total verwirren lassen.


Und jaa, ich weiß,.. ich drück mich echt falsch aus, aber dieses ganze " x nach y" klingt für mich so komisch :/
Leider Gottes ist mein Prof auch nicht mal der deutschen Sprache mächtig, also kann ich mich auf seine Schreibweisen auch nicht verlassen. Aber ich les mich da nochmal ein, versprochen Freude
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faktorgruppe zur kleinschen Vierergruppe
Zitat:
Original von Traumtänzerin
..., aber dieses ganze " x nach y" klingt für mich so komisch


Dann sag besser "Nebenklassen von U", das ist auch eher der übliche Sprachgebrauch.

Edit: Außerdem ist der übliche Sprachgebrauch "Faktorgruppe nach N", siehe beispielsweise hier.
Traumtänzerin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faktorgruppe zur kleinschen Vierergruppe
Oki Freude
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