Bernoullische Differentialgleichungen lösen

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MannyC Auf diesen Beitrag antworten »
Bernoullische Differentialgleichungen lösen
Halihalo, ich würde gerne Bernoullische Differentialgleichungen lösen können. Und vielleicht könnt ihr mir helfen. Ich hänge eigentlich nur bei einem kleinen Schritt. Gegeben ist die DGL



Nun kann substituieren und mithilfe y=1/u setzen, daraus folgt dann:



Jetzt sollte es sich hierbei um eine Lineare DGL handeln. Jetzt habe ich jedoch das Problem diese Gleichung in die Form

u`+ f(x)*u=g(x) zu bringen. Denn hiermit kann ich mithilfe g(x) =0 und Variation der Konstanten die DGL lösen und dann am Ende rücksubstituieren, damit ich die Aufgabe lösen.

Ich habe bisher alles bis auf die -u` auf die rechte Seite gebracht, das hilft mir aber nicht weiter. Deshalb könnte ich vlt. etwas an der Substitutionfalsch gemacht haben oder ich weiss einfach nicht weiter.

Freue mich über jede Antwort.
MannyC Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, jetzt bin ich irgendwie anscheinend doch auf etwas gekommen, nämlich

u`+3x*u=-x
Jetzt -x=0 setzen und die DGL mithilfe Variablentrennung lösen. Daraufhin Variation der Konstanten anwenden und zurücksubstituieren. Das sollte die Lösung der Aufgabe sein. Ich hoffe aber u`+3x*u=-x ist auch wirklich richtig.^^
MannyC Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich komme auf das Ergebnis



Kann das jemand (nicht) bestätigen?
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

Ich habe u`+3x*u=-x erhalten .Das Ergebnis stimmt aber.
MannyC Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schön, dann scheint das ja tatsächlich zu stimmen. Ich habe hier noch eine weitere letzte Aufgabe. Nämlich die Lösungen von

3xy`-3xln(x)y^4 -y=0 zu bestimmen.

Nun hab ich die Substitution y=3te-Wurzel(1/u) gewählt.

Jetzt häng ich an folgenden Punkt, wobei ich mir etwas unsicher bin aus welchen Grund auch immer.

Wenn ich (u^(-1/3))` berechnen will, dann kommt doch hier -1/(3u^(4/3)) herraus oder muss ich das irgendwie mit u` schreiben.....
MannyC Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komm nach der Substitution und langen Zusammenfassen auf -u=ln(x)3+1

....

Anscheinend fehlt das u`, wobei meiner Mieinung das hier gar nicht hier vorhanden sein solte, deshalb frag ich lieber nach ob die Gleichung den stimmt.
 
 
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

Also ich hab erhalten:





MannyC Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erst einmal, aber Irgendwie kann ich nicht folgen.^^

Also ich erhalte durch umformen der AusgangsDGL



Sowas kann man nun mithilfe der BDGL lösen. Nun wähle ich die Substitution



äquivalent ist zu



Das nun einsetzen in die AusgangsDGL. Es folgt:



Jetzt muss ich das hier nur noch in die Form u`+f(x)*u=g(x). (Lineare Inhomo. DGL 1. Ordnung) bringen. Den Rest kann ich. Doch hier scheitere ich halt. Ich weiss nicht was das Differential darin ergibt. Wenn ich nach x ableite erhalte



wobei schon wieder das u` verschwindet und somit bekomm ich keine Lineare Inhom. DGL. her.
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink


Du mußt nun in diese Gleichung , die Du ja richtig erhalten hast,



y und y' einsetzen (siehe mein vorheriges Fenster)

und erhäst dann:



Das löst Du dann mit Variation der Konstanten , resubstituierst und bist fertig.

smile
MannyC Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, aber mein Problem ist y` zu bestimmen.

y=u^-(1/3)

Das ist mir klar. Aber was genau ist y`und wieso ist es das? Das verstehe ich nicht und würde gerne sehr verstehen.

mfg
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

Schauh bitte diesen Link:

http://de.wikipedia.org/wiki/Bernoullische_Differentialgleichung

Dort sind die Formeln für y und y' beschrieben.

Hier hast Du die genauen Ansätze für Bernoulli:


http://www.uni-magdeburg.de/exph/mathe_gl/dgl2.pdf
MannyC Auf diesen Beitrag antworten »

Dort wird das Beispiel nur mit einem exponenten 2 behandelt, was mir auch klar ist. Dort folgt dann mithilfe der Quotienten regel y`=-z/z^2. Aber was ist wenn der Exponent hoch n ist wie sieht dann y`aus? Ich komm andauernd auf

-1/(3u^(4/3)).
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink



für 4 ergibt sich:





für n=4 ergibt sich:

MannyC Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, danke schön. Aber woher kommt die z` her. Das möchte ich gerne noch verstehen.
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

Das ist die Ableitung der Inneren Funktion z (Kettenregel)
MannyC Auf diesen Beitrag antworten »

Hier mal meine Lösung, ist denn ein Fehler vorhanden?
MannyC Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn das nicht lesbar ist, bitte bescheid sagen, dann kann ich es auch nochmal mit Latex machen. Freude

So im nachhinein zweifel ich ja etwas an der Sauberkeit, deshalb frage ich lieber nach.. Wink
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

nein ist alles gut lesbar . War nur auf Arbeit und hatte deswegen keine Zeit.

smile




stimmt

also ich habe für z erhalten:



Wink
MannyC Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für das erwähnen deiner Lösung, aber weisst du wo mein Fehler steckt. Nach dem ich die Lösung herrausbekam bin ich noch mehrere Male durchgegangen und hatte keinen Fehler gefunden.
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

EDIT

Dieser eine Beitrag wurde überflüssig.
MannyC Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sehr, aber weshalb kommt dahin keine konstante?

z=k(x)/x habe ich doch genutzt in der Vorletzten Zeile. Und da wir Am Anfang mit z=1/y^3 Substituiert haben gilt über Rücksubstitution y=z^(-1/3), wobei z=k(x)/x ist.

hmm hast du auch ganz richtig geschaut?
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

Ich schaue nochmal .
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

Unsere beiden Ergebnisse sind doch gleich.

Mein Fehler war, ich habe Deinen dicken Unterstrich als Ergebnis angesehen und das x darunter nicht gesehen.

smile
MannyC Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so stimmt, wenn ich so spontan draufsehe verstehe ich was du meinst. Also habe ich die Lösung der gegebenen DGL richtig berechnet? Die Lösung ist das was ganz unten steht, also y=(..../x)^(-1/3) Und was ist mit der Konstante C. Bleibt die nun so stehen wie ich es im Endergebnis angegeben habe?

Nochmals danke für die freundliche Unterstützung und Überprüfung!
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

Dein Ergebnis und der Weg stimmt. Die Sache mit der Konstante hat sich damit erledigt. Man kann das noch etwas umformen, aber ist alles Kosmetik.

smile
MannyC Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen dank, du hast mir sehr geholfen. Wink
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