Bernoullische Differentialgleichungen lösen |
01.06.2014, 23:58 | MannyC | Auf diesen Beitrag antworten » |
Bernoullische Differentialgleichungen lösen Nun kann substituieren und mithilfe y=1/u setzen, daraus folgt dann: Jetzt sollte es sich hierbei um eine Lineare DGL handeln. Jetzt habe ich jedoch das Problem diese Gleichung in die Form u`+ f(x)*u=g(x) zu bringen. Denn hiermit kann ich mithilfe g(x) =0 und Variation der Konstanten die DGL lösen und dann am Ende rücksubstituieren, damit ich die Aufgabe lösen. Ich habe bisher alles bis auf die -u` auf die rechte Seite gebracht, das hilft mir aber nicht weiter. Deshalb könnte ich vlt. etwas an der Substitutionfalsch gemacht haben oder ich weiss einfach nicht weiter. Freue mich über jede Antwort. |
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02.06.2014, 00:20 | MannyC | Auf diesen Beitrag antworten » |
Okay, jetzt bin ich irgendwie anscheinend doch auf etwas gekommen, nämlich u`+3x*u=-x Jetzt -x=0 setzen und die DGL mithilfe Variablentrennung lösen. Daraufhin Variation der Konstanten anwenden und zurücksubstituieren. Das sollte die Lösung der Aufgabe sein. Ich hoffe aber u`+3x*u=-x ist auch wirklich richtig.^^ |
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02.06.2014, 03:02 | MannyC | Auf diesen Beitrag antworten » |
So, ich komme auf das Ergebnis Kann das jemand (nicht) bestätigen? |
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02.06.2014, 08:17 | grosserloewe | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich habe u`+3x*u=-x erhalten .Das Ergebnis stimmt aber. |
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02.06.2014, 14:36 | MannyC | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke schön, dann scheint das ja tatsächlich zu stimmen. Ich habe hier noch eine weitere letzte Aufgabe. Nämlich die Lösungen von 3xy`-3xln(x)y^4 -y=0 zu bestimmen. Nun hab ich die Substitution y=3te-Wurzel(1/u) gewählt. Jetzt häng ich an folgenden Punkt, wobei ich mir etwas unsicher bin aus welchen Grund auch immer. Wenn ich (u^(-1/3))` berechnen will, dann kommt doch hier -1/(3u^(4/3)) herraus oder muss ich das irgendwie mit u` schreiben..... |
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02.06.2014, 14:48 | MannyC | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich komm nach der Substitution und langen Zusammenfassen auf -u=ln(x)3+1 .... Anscheinend fehlt das u`, wobei meiner Mieinung das hier gar nicht hier vorhanden sein solte, deshalb frag ich lieber nach ob die Gleichung den stimmt. |
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02.06.2014, 14:59 | grosserloewe | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also ich hab erhalten: |
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02.06.2014, 15:16 | MannyC | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke erst einmal, aber Irgendwie kann ich nicht folgen.^^ Also ich erhalte durch umformen der AusgangsDGL Sowas kann man nun mithilfe der BDGL lösen. Nun wähle ich die Substitution äquivalent ist zu Das nun einsetzen in die AusgangsDGL. Es folgt: Jetzt muss ich das hier nur noch in die Form u`+f(x)*u=g(x). (Lineare Inhomo. DGL 1. Ordnung) bringen. Den Rest kann ich. Doch hier scheitere ich halt. Ich weiss nicht was das Differential darin ergibt. Wenn ich nach x ableite erhalte wobei schon wieder das u` verschwindet und somit bekomm ich keine Lineare Inhom. DGL. her. |
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02.06.2014, 16:36 | grosserloewe | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du mußt nun in diese Gleichung , die Du ja richtig erhalten hast, y und y' einsetzen (siehe mein vorheriges Fenster) und erhäst dann: Das löst Du dann mit Variation der Konstanten , resubstituierst und bist fertig. |
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02.06.2014, 16:39 | MannyC | Auf diesen Beitrag antworten » |
Genau, aber mein Problem ist y` zu bestimmen. y=u^-(1/3) Das ist mir klar. Aber was genau ist y`und wieso ist es das? Das verstehe ich nicht und würde gerne sehr verstehen. mfg |
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02.06.2014, 16:48 | grosserloewe | Auf diesen Beitrag antworten » |
Schauh bitte diesen Link: http://de.wikipedia.org/wiki/Bernoullische_Differentialgleichung Dort sind die Formeln für y und y' beschrieben. Hier hast Du die genauen Ansätze für Bernoulli: http://www.uni-magdeburg.de/exph/mathe_gl/dgl2.pdf |
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02.06.2014, 17:06 | MannyC | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dort wird das Beispiel nur mit einem exponenten 2 behandelt, was mir auch klar ist. Dort folgt dann mithilfe der Quotienten regel y`=-z/z^2. Aber was ist wenn der Exponent hoch n ist wie sieht dann y`aus? Ich komm andauernd auf -1/(3u^(4/3)). |
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02.06.2014, 17:18 | grosserloewe | Auf diesen Beitrag antworten » |
für 4 ergibt sich: für n=4 ergibt sich: |
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02.06.2014, 17:22 | MannyC | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hey, danke schön. Aber woher kommt die z` her. Das möchte ich gerne noch verstehen. |
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02.06.2014, 17:32 | grosserloewe | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das ist die Ableitung der Inneren Funktion z (Kettenregel) |
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03.06.2014, 12:58 | MannyC | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hier mal meine Lösung, ist denn ein Fehler vorhanden? |
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03.06.2014, 16:16 | MannyC | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn das nicht lesbar ist, bitte bescheid sagen, dann kann ich es auch nochmal mit Latex machen. So im nachhinein zweifel ich ja etwas an der Sauberkeit, deshalb frage ich lieber nach.. |
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03.06.2014, 16:29 | grosserloewe | Auf diesen Beitrag antworten » |
nein ist alles gut lesbar . War nur auf Arbeit und hatte deswegen keine Zeit. stimmt also ich habe für z erhalten: |
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03.06.2014, 16:53 | MannyC | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke für das erwähnen deiner Lösung, aber weisst du wo mein Fehler steckt. Nach dem ich die Lösung herrausbekam bin ich noch mehrere Male durchgegangen und hatte keinen Fehler gefunden. |
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03.06.2014, 17:57 | grosserloewe | Auf diesen Beitrag antworten » |
EDIT Dieser eine Beitrag wurde überflüssig. |
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03.06.2014, 18:01 | MannyC | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke sehr, aber weshalb kommt dahin keine konstante? z=k(x)/x habe ich doch genutzt in der Vorletzten Zeile. Und da wir Am Anfang mit z=1/y^3 Substituiert haben gilt über Rücksubstitution y=z^(-1/3), wobei z=k(x)/x ist. hmm hast du auch ganz richtig geschaut? |
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03.06.2014, 18:10 | grosserloewe | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich schaue nochmal . |
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03.06.2014, 18:17 | grosserloewe | Auf diesen Beitrag antworten » |
Unsere beiden Ergebnisse sind doch gleich. Mein Fehler war, ich habe Deinen dicken Unterstrich als Ergebnis angesehen und das x darunter nicht gesehen. |
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03.06.2014, 18:27 | MannyC | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ach so stimmt, wenn ich so spontan draufsehe verstehe ich was du meinst. Also habe ich die Lösung der gegebenen DGL richtig berechnet? Die Lösung ist das was ganz unten steht, also y=(..../x)^(-1/3) Und was ist mit der Konstante C. Bleibt die nun so stehen wie ich es im Endergebnis angegeben habe? Nochmals danke für die freundliche Unterstützung und Überprüfung! |
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03.06.2014, 18:32 | grosserloewe | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dein Ergebnis und der Weg stimmt. Die Sache mit der Konstante hat sich damit erledigt. Man kann das noch etwas umformen, aber ist alles Kosmetik. |
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03.06.2014, 18:36 | MannyC | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielen dank, du hast mir sehr geholfen. |
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