Matrizen invertierbar

02.06.2014, 21:21	Rest mit Klasse	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizen invertierbar Ich habe noch eine Aufgabe. Wieviele invertierbare 3x3 Matrizen gibt es in $\begin{eqnarray} \mathbb Z_2 \end{eqnarray}$ Als Tipp ist angegeben das man schauen soll ob Spaltenvektoren linear unabhängig sind. Ich bin mir nicht ganz sicher wie ich es zeigen soll. Evtl eine allgemeine Matrix aufstellen? $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Elemente können da ja nur $\begin{eqnarray} \{0,1\} \end{eqnarray}$ annehmen. Dann müsste man zeigen das: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} a & b & c &\|0 \\ d & e & f &\|0 \\ g & h & i &\|0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nur die triviale Lösung besitzt. Müsste ich jetzt zig Fallunterscheidungen machen oder geht das auch irgendwie einfacher?
03.06.2014, 16:35	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Baue dir die Matrix schrittweise auf und achte darauf, daß bei jeder Erweiterung die lineare Unabhängigkeit erhalten bleibt. Der Rest ist Kombinatorik. 1. Schritt: Wahl der ersten Spalte Du darfst jeden Spaltenvektor außer dem Nullvektor nehmen (der Nullvektor selbst bildet ein linear abhängiges System). Wie viele solche Vektoren gibt es? Für jede Koordinate gibt es $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ Möglichkeiten, also $\begin{eqnarray} 2^3 \end{eqnarray}$ Möglichkeiten ingsgesamt. Da ist aber der Nullvektor mit dabei. Somit gibt es für die erste Spalte $\begin{eqnarray} 2^3-1 \end{eqnarray}$ Möglichkeiten. 2. Schritt: Wahl der zweiten Spalte (nachdem die erste bereits gewählt ist) Du darfst jeden Spaltenvektor nehmen, der kein skalares Vielfaches der ersten Spalte ist. Davon gibt es $\begin{eqnarray} 2^3 - 2 \end{eqnarray}$ Stück (der Subtrahend steht für die verbotenen zweiten Spalten in Abhängigkeit von der ersten Spalte). Nach dem Multiplikationsprinzip der Kombinatorik gibt es bis einschließlich zum zweiten Spaltenvektor $\begin{eqnarray} \left( 2^3 - 1 \right) \cdot \left( 2^3 - 2 \right) \end{eqnarray}$ Möglichkeiten. Und jetzt noch der dritte Schritt ... Und wenn du faul bist, schaust du hier.
04.06.2014, 18:39	Rest mit Klasse	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt dann: $\begin{eqnarray} a=(1,0,0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b=(0,1,0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c=(0,0,1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d=(1,1,1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e=(1,1,0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f=(0,1,1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g=(1,0,1) \end{eqnarray}$ mögliche Vektoren. Davon kommen allerdings doch nur $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$ infrage da sonst doch garkeine lineare Unabhängigkeit möglich ist? Nach deiner Rechnung wären es dann: $\begin{eqnarray} (2^3-1)(2^3-2)(2^3-3)=210 \end{eqnarray}$ Möglichkeiten.

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