Lösungsmenge LGS bestimmen

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Jonasu Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungsmenge LGS bestimmen
Ich habe durch einen freund von diesem Board gehört und deshalb richte ich mich an euch.

Ich würde gerne die Lösungsmenge von folgenden LGS lösen




Jetzt weis ich das ich irgendwie Fallunterscheidungen anwenden soll, aber so genau hatte ich das nicht verstanden. Vielleicht kann mir der ein oder andere auf die Sprünge helfen.

Einen schönen Abend noch, euer Jonasu.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe da keine Gleichungen.
Jonasu Auf diesen Beitrag antworten »

Die beiden Gleichungen sollten gleich Null gesetzt werden. Am besten fängt man sicherlich von unten nach oben an. Und man sieht das die Gleichung für x=0 oder y=0 erfüllt ist. Deshalb soll ich sicher diese beiden Fallunterscheidungen machen.

1. x=0

In Die erste Gleichung einsetzen: 0=0

Was heißt das denn nun?

2. y=0

In die erste Gleichung einsetzen: 0=0
Gasto Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind keine Gleichungen. Lediglich Terme, diese können nicht gelöst werden.
Da nützt es auch nichts die gleich Null zu setzen.
Jonasu Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist der Gradient einer Ausgangsgleichung. Ich will sie nun auf Extrema untersuchen. Und da löst man doch dieses LGS so.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst ja mit x=0 oder y=0 die Probe machen, indem du x=0 in beide Gleichungen einsetzt und dann y=0 in beide Gleichungen einsetzt. Es kommen jeweils wahre Aussagen raus.

D.h. wenn x=0 oder y=0 ist, dann sind die Gleichungen auf jeden Fall erfüllt.
Betrachten wir jetzt also den Fall und . Dann kannst du beide Gleichungen durch geeignete Potenzen von x und y dividieren und erhältst dann ein lineares Gleichungssystem, das du dann noch lösen musst.
 
 
Jonasu Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Ahnung was mit mir los ist, aber 0=0 ist selbstverständlich erfüllt. geschockt

Also das heißt nun das bei P1(0,0) und P2(0,0) (Doppelstellen) Extrema vorhanden sein können? Weiteres ergibt sich über die Hesse Matrix.

Und jetzt muss ich die Gleichung also noch für ungleich Null lösen. Was meinst du mit ,, Dann kannst du beide Gleichungen durch geeignete Potenzen von x und y dividieren" Das habe ich nicht ganz verstanden.

Euer Jonas
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jonasu
Also das heißt nun das bei P1(0,0) und P2(0,0) (Doppelstellen) Extrema vorhanden sein können?

Nicht nur dort. Das Gleichungssystem ist z.B. auch bei (0,4) oder (3.5, 0) erfüllt. Es reicht, wenn eine der Variablen gleich Null ist.

Zitat:
Original von Jonasu
Und jetzt muss ich die Gleichung also noch für ungleich Null lösen. Was meinst du mit ,, Dann kannst du beide Gleichungen durch geeignete Potenzen von x und y dividieren" Das habe ich nicht ganz verstanden.


Du kannst die erste Gleichung vereinfachen, indem du durch y dividierst. Und dann kannst du nochmal durch y dividieren. Und dann vielleicht sogar nochmal. Augenzwinkern
Genauso auch mit x und der anderen Gleichung.
Jonasu Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, das hätte ich davor bereits machen sollen, danke sehr 10001000Nick1.

Demnach sind die beiden Gleichungen äquivalent zu

I. -2y-3x+12=0
II. -4y-3x+18=0

Die Lösungsmenge hiervon ist (2,3). Hast du das so gemeint?

Und wenn das richtig sein sollte, ich habe das mit dem

,,Das Gleichungssystem ist z.B. auch bei (0,4) oder (3.5, 0) erfüllt. Es reicht, wenn eine der Variablen gleich Null ist." nicht verstanden. Also was heißt nicht verstanden, verstanden habe ich es zwar, aber wie mach ich das dann wenn ich die Punkte in die Hesse Matrix einsetzen soll, da es ja eigentlich unendlich viele sind mit (u,0) und (0,i).
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

(2,3) ist richtig.

Wie sieht denn die Hesse-Matrix genau aus?
Jonasu Auf diesen Beitrag antworten »

Da kommt mir ja eine Frage zu sinne. Ich darf doch jetzt den Gradienten auch durch

-2y-3x+12
-4y-3x+18

gleichsetzen oder ? Und dann mit diesem vereinfachten Gradienten partiell differenzieren.

Und was ist denn nun mit den Fällen x=0 und y=0. Müssen wir die immer noch betrachten, da wir ja eine Lösungsmenge herrausbekommen haben.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du musst schon den "alten" Gradienten nehmen um die Hesse-Matrix zu berechnen. Diese beiden Terme sind ja nur entstanden, als du das Gleichungssystem gelöst hast; das muss also nicht mehr wirklich etwas mit dem Gradienten zu tun haben.

Wenn du überprüfen willst, ob die Stellen tatsächlich Extremstellen sind, dann musst du drei Fälle betrachten:
Einmal ,
dann ,
und dann .

Da untersuchst du jeweils, ob das Extremstellen sind (das kann möglicherweise auch abhängig von dem jeweiligen Parameter sein).


Ich bin jetzt erstmal weg. Morgen werde ich dann wieder antworten. Wink
Jonasu Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke dir. Wenn ich aber die Gleichungen umgeformt habe zu

-2y-3x+12=0
-4y-3x+18=0

und nun z.B. den Fall 1. x=0 betrachte folgt doch

-2y+12=0
-4y+18=0

Woran erkenn ich, dass es fürn beliebige Werte gilt?
Jonasu Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, bei der Aufgabe stand noch etwas dazu, nämlich das es genügt die kritischen Punkte mit H_f1 ungleich Null zu klassifizieren.

f1 ist dabei die Ausgangsgleichung. Heißt das es reicht nur den Punkt (2,3) zu betrachten?
Jonasu Auf diesen Beitrag antworten »

Nach dem ich die Hesse Matrix berechnet habe und (2,3) eingesetzt hatte um danach das Char. Polynom zu bestimmen kam ich auf zwei negative Lösungsmengen. Deshalb ist die Hesse Matrix negativ definit -> (2,3) ist ein Maximum.
Jonasu Auf diesen Beitrag antworten »

Oder moment mal, mus ich vlt. nur die Deteerminante der Hesse Matrix mit eingesetzen Vektor berechnen ? Also ohne die Lösungsmenge des Char. Polynom.
Jonasu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte dann noch eine weitere Aufgabe nämlich

(x^2 +y^2)e^(-x^2 -y^2)

Ich komme dabei auf 4 Kritische Punkte die untersuchtw erden müssen:

p1(0,1)
p2(0,-1)
p3(1,0)
p4(-1,0)
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Soll also heißen: Du willst eine Extremwertuntersuchung der Funktion



vornehmen?

Es fällt sofort auf, dass diese Funktion radialsymmetrisch ist, d.h.

mit .

Daher ist kaum anzunehmen, dass es - mit Ausnahme des Nullpunktes - irgendwo isolierte lokale Extrema geben kann, da der gleiche Funktionswert auf dem gesamten zugehörigen Kreis um den Ursprung auftritt. Es ist somit schleierhaft, wieso du ausgerechnet nur auf diese 4 kritischen Punkte kommst. verwirrt
Jonasu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe den Gradienten gebildet und danach das LGS aufgestellt. Vereinfacht ausgedrückt lautet es

1. x^2+y^2=1
2. x^2 +y^2=1

Dann habe ich die zweite Gleichung nach x und y umgeformt und jeweils y und x=0 gesetzt. Dabei kam +/- 1 herraus und damit habe ich dann den Wert mithilfe der ersten Gleichung bestimmt.

Wie geh ich hier nun vor, damit ich das verstanden habe was du meinst. Ich finde ja die Extremauntersuchung im mehrdimensionalen irgendwie sehr kompliziert (Fallunterscheidung). Macht einen wirklich zu schaffen...
Jonasu Auf diesen Beitrag antworten »

,,und damit habe ich dann den Wert mithilfe der ersten Gleichung bestimmt." Das soll weggedacht werden. Ich hatte halt die zweite Gleichung nach x und y umgeformt und dann zwei Fälle x=0 und y= betrachtet. Die Lösungsmenge ist dann jeweils +/- 1.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Schreib doch nochmal den Gradienten komplett auf, dann werden wir ja sehen, dass der mehr Nullstellen hat, als von dir aufgeschrieben.
Jonasu Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann mach ich das mal. Er lautet



Wenn ich nun den Gradienten gleich Null setze und beide Gleichungen vereinfache (Durch die Variablen, Werte und e^(-x^2-y^2) dividiere) erhalte ich das Nichtlineare Gleichungssystem

1. x^2+y^2=1
2. x^2 +y^2=1
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Beim Dividieren sollte man schon vorsichtig sein. Ich schreib mal den Gradienten in faktorisierter Form, da kann man die Nullstellen besser erkennen:



Damit gilt genau dann, wenn

(a)

oder

(b)

ist.


Die Lösung zu (a) ist nun aber der gesamte Einheitskreis, d.h. nicht nur die 4 von dir genannten Punkte darauf!
Jonasu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe doch richtg dividiert und die Gleichungen

1. x^2+y^2=1
2. x^2 +y^2=1

sind richtig oder?

Und hier würde mit x=0 und y=0 die Gleichungen immer noch nicht erfüllt sein und ein Widerspruch vorhanden sein (0=1). Und wenn der Komplette Einheitskreis die Lösungsmenge außer ist, wie würde man denn das nun mit der Hesse-Matrix genau machen? Müsste ich jetzt in der Hesse Matrix vorkommende x^2 +y^2 durch eine 1 ertsetzen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jonasu
Ich habe doch richtg dividiert und die Gleichungen

1. x^2+y^2=1
2. x^2 +y^2=1

sind richtig oder?

Du hast durch das Dividieren die wirkliche Lösung x=0,y=0 (also den Ursprung) verloren! Seltsam, dass du das nicht einsiehst. unglücklich


Zitat:
Original von Jonasu
Und wenn der Komplette Einheitskreis die Lösungsmenge außer ist, wie würde man denn das nun mit der Hesse-Matrix genau machen? Müsste ich jetzt in der Hesse Matrix vorkommende x^2 +y^2 durch eine 1 ertsetzen?

Das ist schon mal eine Möglichkeit der Vereinfachung, ja.
Jonasu Auf diesen Beitrag antworten »

So, das habe ich nun verstanden. Stimmt, das dürfte man ja nicht machen, war ja im eindimensionalen auch so, damit man zb den Satz des Nullprodukts awenden kann. Also ist P(0,0) ein kritischer Punkt. Das untersuchen von diesem Punkt mithilfe Hesse Matrix und Definitheit kann ich. Aber was ist denn nun mit der anderen Lösung, nämlich der komplette Einheitskreis x^2+y^2=1. Wie mach ich das mit der Hesse Matrix, also was genau müsste man einsetzen. So einen fall hatte ich wiklich noch nie.
Jonasu Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich hatte deine Editierung übersehen.

Was ist aber wenn in der Hesse Matrix auch Werte vorkommen wie xy^3. Was müsste man hier machen? Oder muss ich tatsächlich x^2+y^2=1 nach x und y umformen und dann jeweils für x und y in die Hesse Matrix vorhandenen Funktionen einsetzen? Das scheint aber relativ mühsam zu sein, da x^2+y^2=1 nach x und y etwas kompliiert aussieht.

y=+/- sqrt(1-x^2)
x=+/- sqrt(1-y^2)
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ziehe nur deine Rechnung mit Hesse-Matrix usw. durch.


Mir selbst hilft ja die räumliche Vorstellung dieser Funktion. Und da kann man die oben erwähnte Radialsymmetrie zu Hilfe nehmen, diesmal etwas "geometrischer" geschrieben: Es ist

mit

als Funktion vom Ursprungabstand (Radius) , hier nun im x-z-Koordinatensystem geplottet:



Jetzt kann man sich noch räumlich vorstellen, wie dieser -Graph um die z-Achse gedreht wird, und wir haben die Fläche vorliegen.
Jonasu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versteh das nicht. Ich habe hier nun als weitere Lösungsmenge x^2+y^2=1 stehen mit x,y € IR^2.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

"weitere" in welchem Sinn? Haben wir über die nicht gerade die ganze Zeit geredet? verwirrt
Jonasu Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, ich verstehe nicht genau was du mir sagen möchtest, mit deinem vorletzten Post. Anscheinend kann man das irgendwie zurecht umformen, ich komm aber einfachnicht dahinter..
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ging mir nur um die Anschauung, um sonst nichts. Aber wenn du die nicht brauchst, dann vergiss es einfach.
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