Die Oberfläche einer Kugel soll um 300% vergrößert werden, wie ändert sich ihr Volumen?

05.06.2014, 16:08

Actionhank

Die Oberfläche einer Kugel soll um 300% vergrößert werden, wie ändert sich ihr Volumen?

Meine Frage:
Die Oberfläche einer Kugel soll um 300% vergrößert werden. In welchem Ausmaß ändert sich das Volumen der Kugel?

Meine Ideen:
Ich weiß, dass das Verhältniss A/V 3:r ist, aber weiter komme ich nicht. Verstehe auch nicht, wie ich 3:r praktisch anwenden kann, da ich r ja nicht kenne.

05.06.2014, 16:22

HAL 9000

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Einfach mal nachdenken: Wenn man den Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ um den Faktor $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ändert, wie ändert sich dann

1) Oberfläche $\begin{eqnarray*} A = 4\pi r^2 \end{eqnarray*}$ , sowie

2) Volumen $\begin{eqnarray*} V = \frac{4}{3}\pi r^3 \end{eqnarray*}$

in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ?

Aus den Angaben der Aufgabe zur Oberflächenänderung kannst du nun über 1) das hier zutreffende $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ berechnen, und über 2) dann mit diesem $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ dann auch die Volumenänderung bestimmen!

05.06.2014, 16:23

Nubler

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berechne mal allgemein das volumen einer kugel als funktion der oberfläche und nicht als funktion des radius.

dann kannst du allgemein $\begin{eqnarray*} \frac{V(\alpha\cdot O)}{V(O)} \end{eqnarray*}$ berechnen.
um dann konkret deinen gesuchten zahlenwert finden, indem du einfach am schluss $\begin{eqnarray*} \alpha =4 \end{eqnarray*}$ setzt

05.06.2014, 16:47

Actionhank

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RE: Die Oberfläche einer Kugel soll um 300% vergrößert werden, wie ändert sich ihr Volumen?
Danke schon mal für eure Antwort.

Ich vermute mal, ich stelle mich da grad extrem dumm an.
Aber:
Woher komme ich denn auf den Faktor k um den sich r verändert.
Ich weiß ja, dass sich A um 300 % vergrößert. D.h. ich habe 4A?! Aber wie komme ich jetzt auf den Wert für k?

Danke!

05.06.2014, 16:50

HAL 9000

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RE: Die Oberfläche einer Kugel soll um 300% vergrößert werden, wie ändert sich ihr Volumen?

Zitat:

Original von Actionhank
Ich weiß ja, dass sich A um 300 % vergrößert. D.h. ich habe 4A?! Aber wie komme ich jetzt auf den Wert für k?

LESEN und auch drüber NACHDENKEN:

Zitat:

Original von HAL 9000
Aus den Angaben der Aufgabe zur Oberflächenänderung kannst du nun über 1) das hier zutreffende $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ berechnen, und über 2) dann mit diesem $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ dann auch die Volumenänderung bestimmen!

Also: Für Radius $\begin{eqnarray*} r'=kr \end{eqnarray*}$ hast du Oberfläche $\begin{eqnarray*} A' = 4\pi (kr)^2 = 4\pi k^2r^2 \end{eqnarray*}$ , d.h., es ist $\begin{eqnarray*} A' = k^2\cdot A \end{eqnarray*}$ . Der Vergleich mit dem gegebenen $\begin{eqnarray*} A'=4A \end{eqnarray*}$ ergibt was?

05.06.2014, 16:54

Actionhank

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RE: Die Oberfläche einer Kugel soll um 300% vergrößert werden, wie ändert sich ihr Volumen?
k=2 ?

05.06.2014, 16:57

HAL 9000

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Genau. Und nun auf zu $\begin{eqnarray*} V' = \frac{4}{3}\pi (kr)^3 = \frac{4}{3}\pi k^3r^3 \end{eqnarray*}$ ...

05.06.2014, 16:59

Actionhank

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Ahhh. Also vergrößert sich V um das 8-fache (2^3)!?

Vielen Dank!!!!

05.06.2014, 17:11

Actionhank

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ist schon richtig, oder ?

05.06.2014, 17:30

HAL 9000

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Nicht ganz richtig: Das Volumen vergrößert sich auf das 8-fache, das entspricht um das 7-fache. Augenzwinkern

05.06.2014, 17:36

Actionhank

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ahhh. gut, dass du das sagst. tatsächlich sehe ich jetzt auch, warum "um das 8-fache" trotzdem nicht die richtige lösung war!
vielen, vielen dank nochmal!

05.06.2014, 18:17

Leopold

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Bei Streckungen mit dem Faktor $\begin{eqnarray*} \lambda>0 \end{eqnarray*}$ nehmen Flächeninhalte den Faktor $\begin{eqnarray*} \lambda^2 \end{eqnarray*}$ und Rauminhalte den Faktor $\begin{eqnarray*} \lambda^3 \end{eqnarray*}$ auf. Aus $\begin{eqnarray*} \lambda^2 = 400 \, % = 4 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \lambda = 2 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \lambda^3 = 8 = 800 \, % \end{eqnarray*}$ .

Damit steigt das Volumen um 700 %.

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