irreduzibel in Q[X]

05.06.2014, 20:31

mmarcelque

irreduzibel in Q[X]

Guten Abend,
1) Wie berechne ich ob ein Polynom in Q[x] irreduzibel ist?
2) Wie bestimme ich das Minimalpolynom von einem Polynom in Beispielsweise Q(sqrt(5, i*sqrt(2))?

05.06.2014, 20:39

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: irreduzibel in Q[X]

Zitat:

Original von mmarcelque
1) Wie berechne ich ob ein Polynom in Q[x] irreduzibel ist?

Diverse Kriterien, nach denen man gehen könnte, manchmal sieht man auch schon mit bloßem Auge, was Sache ist, bis einschließlich Grad 3 kann man oft die Äquivalenz von Reduzibilität zur Existenz von mindestens einer Nullstelle nutzen (insbesondere über endlichen Körpern oder Z), usw. Sich über das Thema erschöpfend auszutauschen, ist etwas, was ein Forum nicht leisten kann. Mit etwaigen Fragestellungen musst du schon deutlich präziser werden.

Zitat:

Original von mmarcelque
2) Wie bestimme ich das Minimalpolynom von einem Polynom in Beispielsweise Q(sqrt(5, i*sqrt(2))?

Bitte, was?

07.06.2014, 13:42

mmarcelque

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich fang nochmal von vorne an, tut mir leid für die Verwirrung.
1) Ich muss prüfen, ob das Polynom irreduzibel in Q[X] ist: X^5 - X^2 + 1
Jedoch kann ich hier das Eisenstein Kriterium nicht anwenden. Ich habs schon mit dem Koeffizientenvergleich versucht, aber da komme ich irgendwie auch nicht wirklich weiter.
2) Hier weiß ich leider gar nicht weiter, es geht um Körpererweiterung. Ich muss das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{5} + i \sqrt(2) \end{eqnarray*}$ über mehreren Körpererweiterungen bestimmen, z.B. über $\begin{eqnarray*} \Bbb Q(\sqrt[3]{5}, i \sqrt(2)) \end{eqnarray*}$ bestimmen. Vielleicht kann mir das jemand für das erklären und dann versuche ich es bei den anderen selbst.

Viele Grüße,
Marcel

07.06.2014, 21:03

Cevas

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe eine kleine Idee dazu:
Man kann mit der Annahme starten, es gebe eine Lösung $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ mit p kein vielfaches von q.
Ich komme selber auf p² teilt p²-q² (Widerspruch).

09.06.2014, 10:40

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

@Cevas: Es geht um Irreduzibilität, nicht um die Existenz einer Nullstelle.

Am besten arbeitet man hier mod 2: Offensichtlich gibt es keine Nullstelle und mod $\begin{eqnarray*} x^2+x+1 \end{eqnarray*}$ (Das einzige irred. Polynom vom Grad 2) gilt:

$\begin{eqnarray*} x^5+x^2+1 = x^5+x = x(x+1)^4 \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Foglich hat jeder irreduzible Faktor mind. Grad 3. Bei einem Polynom vom Grad 5 ergibt sich daraus natürlich die Irreduzibilität.

Neue Frage »

Antworten »

irreduzibel in Q[X]

Verwandte Themen