Zahlentheorie: Beweis Fakultät

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05.06.2014, 21:04	Pumuckl122	Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlentheorie: Beweis Fakultät Hallo! Ich arbeite an folgender Aufgabe, aber der Beweis will mir noch nicht so recht gelingen ... -> Sei $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Wenn $\begin{eqnarray} n > 4 \end{eqnarray}$ keine Primzahl ist, dann gillt $\begin{eqnarray} n \| (n-1)! \end{eqnarray}$ . Die Primfaktorzerlegung bietet sich an. Offenbar sind in $\begin{eqnarray} (n-1)! \end{eqnarray}$ alle Primfaktoren von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ enthalten und darum geht es sich aus. Würde mich über Hilfe freuen
05.06.2014, 21:13	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zahlentheorie: Beweis Fakultät Du hast es doch im Grunde schon dastehen Eine jede Zahl , die keine Primzahl ist, hat Primfaktoren, die kleiner als sie selbst sind. Jetzt verwende das Argument mit der Fakultät, das du schon gebracht hast und du bist fertig Lg kgV
05.06.2014, 21:40	Pumuckl122	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz sauber ist es aber nicht. Die Frage ist, warum es sich eben immer ausgeht. Aber da ist mir noch nicht die passende Antwort eingefallen.
05.06.2014, 21:48	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau wegen deinem Argument: Sei $\begin{eqnarray} n>4 \end{eqnarray}$ keine Primzahl. Dann gilt: $\begin{eqnarray} \exists i \in\mathbb N: \exists m_1,m_2,\ldots,m_i:\forall 1\leq k\leq n: ((m_k<n\wedge m_k \text{ist Primzahl})\wedge \prod_{k=1}^im_k=n) \end{eqnarray}$ (das ist jetzt kompliziert für: es gibt eine endliche Primfaktorenzerlegung. Jetzt kommt die Definition der Fakultät ins Spiel: $\begin{eqnarray} (n-1)!=\prod_{k=1}^{n-1}k \end{eqnarray}$ Und jetzt musst du nur noch schließen, dass unser oberes Produkt das untere Produkt teilt. Die Erklärung dazu hast du ja schon geliefert, schreib das doch einfach mal an
05.06.2014, 21:49	Pumuckl122	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe es schon. Man nehme einfach die Primfaktorzerlegung von n und multipliziere z.B. alle Primfaktoren bis auf den letzten. Dann erhält man eine Zahl die kleiner als n ist und die in der Liste (n-1)! auftaucht. Und der letzte Primfaktor tut dies ebenso.
05.06.2014, 21:52	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf diese Weise kann man es auch beschreiben (im Grunde ist es dasselbe Argument wie vorhin, nur, dass du hier die ersten Primfaktoren zusammennimmst )
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05.06.2014, 21:52	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
@kgV: Der Ansatz lässt sich bestimmt retten, aber es ist viel zu kompliziert. Das Problem ist, dass eventuell manche Primzahlen in der PFZ doppelt vorkommen und dann sieht man nicht direkt, dass dein Ansatz zum Ziel führt. Einfacher ist folgende Fallunterscheidung: 1. n ist kein Primzahlquadrat: Dann gibt es einen Teiler mit dazu verschiedenem Co-Teiler. 2. n = p^2 mit p prim. Dann sollte man sich 2p anschauen (n = 4 wird nicht umsonst ausgeschlossen...).
05.06.2014, 21:53	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt natürlich noch einen Sonderfall zu beachten: $\begin{eqnarray} n=p^2 \end{eqnarray}$ für Primzahlen $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ , erstmalig zu beobachten bei $\begin{eqnarray} n=9 \end{eqnarray}$ . EDIT: Upps, eine Minute zu spät.
05.06.2014, 21:58	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
@HAL, tmo: Stimmt, diese Sonderfälle hatte ich nicht bedacht (auch wenn ich das Primzahlenquadrat jetzt nicht als so problematisch auffasse - der Primfaktor kommt dann, weil $\begin{eqnarray} p\geq 3 \end{eqnarray}$ gilt, in mindestens noch einer Zahl zwischen p und n vor)
05.06.2014, 22:00	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, dramatisch ist hier eigentlich gar nichts. So ein bisschen dramatisch wird es erst, wenn man daraus so ein technisches Hickhack macht, wie du es mit deinem Ansatz andeutest
05.06.2014, 22:05	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, Pumuckl umschifft mit seinem Ansatz diese Paragraphenreiterei ohnehin sehr weitläufig, kein Problem also

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