orthogonales Komplement und direkte Summe

07.06.2014, 10:30

MatheErsti123

orthogonales Komplement und direkte Summe

Hallo, ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabe:

Zitat:

Aufgabe: Sei (V,( , )) ein K-Vektorraum mit einer sym. Bilinearform, und seien $\begin{eqnarray*} U,W\subseteq V \end{eqnarray*}$ .
Zeige: W ist ein Orthogonales Komplement von U in V bezüglich ( , ) $\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \end{eqnarray*}$ V ist die innere direkte Summe von U und W und es gilt ( , ) $\begin{eqnarray*} |_{UxW}=0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen: Ich bin mir nicht sicher, ob ich da etwas falsch verstanden habe, aber meiner Meinung nach sind diese Begriffe bereits fast identisch und mein Ansatz sieht folgendermaßen aus:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ( , ) V=U \perp W\Rightarrow V=U\oplus W\Rightarrow V=U+W \wedge U\cap W={0} \end{eqnarray*}$

Die Rückrichtung sieht ähnlich aus. Aber irgendwie habe ich das Gefühl, dass ich es mir damit zu leicht gemacht habe, da der Beweis irgendwie trivial aussieht. Ich wäre sehr dankbar wenn ihr mir hier einen Tipp geben könntet, wie man das besser zeigen kann bzw. muss.

07.06.2014, 11:11

bijektion

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Hallo,
dein Ansatz ist mir nicht klar, was bedeutet etwa $\begin{eqnarray*} (,)V \end{eqnarray*}$ ?

Ich werde für die Bilinearform $\begin{eqnarray*} \langle \cdot , \cdot \rangle \end{eqnarray*}$ schreiben, damit es nicht so sehr nach Punkten aussieht.

" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ": Es gilt: Für alle $\begin{eqnarray*} w \in W \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} \langle u , w \rangle =0 \end{eqnarray*}$ .
Zu zeigen ist jetzt, dass $\begin{eqnarray*} U \cap W = \left\{ \vec 0 \right\} \end{eqnarray*}$ , da kannst du damit arbeiten, dass $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ das orthogonale Komplement von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist.
Das $\begin{eqnarray*} \langle \cdot , \cdot \rangle _{|_{U \times W}} =0 \end{eqnarray*}$ gilt, ist klar.

07.06.2014, 13:30

MatheErsti123

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vielen Dank für deine Antwort. Ich habe mir nun folgendes überlegt:

Sei $\begin{eqnarray*} V= U \perp W \Rightarrow \forall w\in W, \forall u\in U : (u,w)=0 \end{eqnarray*}$
Da U + W = V gilt, verbleibt zu zeigen: $\begin{eqnarray*} U\cap W ={0} \end{eqnarray*}$ .
Wiederspruchsbeweis: Angenommen es gäbe $\begin{eqnarray*} v\in U\cap W, v\neq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (v,u)=0 \forall u\in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (v,w)=0 \forall w\in W \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow v\in Ker(f) \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle möchte ich nun irgendwie einen Widerspruch herbeiführen. Ich habe schon überlegt, ob ich vielleicht irgendwie nen Sprung zur Perfektheit der Bilinearform hinkriegen könnte, jedoch ist eine sym. Bilinearform nicht zwingend perfekt. Und für Diagonalisierbarkeit muss die Gramsche Matrix leider auch nicht invertierbar sein. Ich werde weiter überlegen und mich melden, sobald ich noch eine Idee habe Big Laugh

08.06.2014, 08:28

MatheErsti123

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So, nachdem der von mir erhoffte Schluss, dass da ein Widerspruch entstehen könnte, irgendwie nicht Zustande gekommen ist, habe ich mir folgenden neuen Beweis überlegt:

$\begin{eqnarray*} "\Rightarrow " \end{eqnarray*}$ Sei $\begin{eqnarray*} V= U\perp W \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \forall w\in W, \forall u\in U: (u,w)=0 \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} U+W=V \end{eqnarray*}$ gilt, muss $\begin{eqnarray*} U\cap W=0 \end{eqnarray*}$ gezeigt werden.
Da $\begin{eqnarray*} (,) \end{eqnarray*}$ symmetrisch ist $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists B \end{eqnarray*}$ wobei B eine Orthogonalbasis mit $\begin{eqnarray*} <b_1,...,b_j>=U und <b_{j+1},...,b_n>=W \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow U\cap W=0 \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} u\in U: (u,w)=0 \forall w\in W \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} w\in W: (u,w)=0 \forall u\in U \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (,)|_{UxW}=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V=U\oplus W \end{eqnarray*}$

" $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ " Sei $\begin{eqnarray*} U\oplus W=V \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} U+W=V, U\cap W=0 \end{eqnarray*}$ . Sei ferner $\begin{eqnarray*} (,)|_{UxW}=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (,)|_{UxW}=0 \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} (,)|_{UxW}=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ U ist orthogonal zu W.
Da $\begin{eqnarray*} U+W=V,U \cap W=0 \Rightarrow \exists \end{eqnarray*}$ Basis B in V für die gilt: $\begin{eqnarray*} <b_1,...,b_j>=U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} <b_{j+1},...,b_n>=W \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow U\perp W=V \end{eqnarray*}$

Nun ist die Frage, ob dieser Beweis ausreicht, bzw. ob er überhaupt richtig ist. Für weitere Hilfe wäre ich sehr dankbar!

08.06.2014, 12:05

RavenOnJ

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Was ich bei deiner Notation nicht verstehe: $\begin{eqnarray*} U\perp W \end{eqnarray*}$ bedeutet doch nur. dass U senkrecht auf W steht in Bezug auf die genannte Bilinearform. Dieses rote Gleichheitszeichen in $\begin{eqnarray*} V{\color{red}=\;} U\perp W \end{eqnarray*}$ ist also fehl am Platz.

08.06.2014, 13:48

MatheErsti123

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Hallo, $\begin{eqnarray*} U \perp W \end{eqnarray*}$ ist in unserem Skript die Notation für die orthogonale Summe und damit einhergehend ist für das orthogonale Komplement die Notation $\begin{eqnarray*} V=U \perp W \end{eqnarray*}$ verwendet worden.

08.06.2014, 14:31

bijektion

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Also die Notation $\begin{eqnarray*} V=U \perp W \end{eqnarray*}$ ist mir auch bekannt, aber um Missverständnissen vorzubeugen: So wie ich diese Notation kenne, schreibt man $\begin{eqnarray*} U\perp W \end{eqnarray*}$ , falls für alle $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w\in W \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} \langle u,w \rangle =0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U \cap W=\left\{ \vec 0 \right\} \end{eqnarray*}$ gilt.
Wie ist dein Verständnis der Notation?, denn es macht keinen Sinn $\begin{eqnarray*} V=U \perp W \end{eqnarray*}$ zu schreiben, um dann zeigen zu wollen, dass $\begin{eqnarray*} U \cap W=\left\{ \vec 0 \right\} \end{eqnarray*}$ gilt verwirrt

08.06.2014, 20:30

MatheErsti123

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Bei uns wurde das so ähnlich definiert. Nur der Teil mit dem Schnitt fehlt.
$\begin{eqnarray*} U\perp W \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} \forall u\in U, w\in W: (w,u)=0 \end{eqnarray*}$ .

Irgendwie bin ich nun etwas verwirrt. Denn ich sollte ja zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} U\perp W=V \Longleftrightarrow U\oplus W=V, U\cap W=0, (,)|_{UxW}=0 \end{eqnarray*}$
Aber U+W sind ja quasi schon nach Definition gleich V. Dass die Bilinearform eingeschränkt auf U und W immer 0 ergibt ist auch klar, da U und W ja orthogonal zueinander sind und wenn jetzt auch noch der triviale Schnitt zur Definition gehört, was soll ich denn dann überhaupt zeigen?

Wie wärst du denn an die Aufgabe rangegangen? Was sollte ich unter welchen Voraussetzungen zeigen?

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