Integral vereinfachen

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Integral vereinfachen
Edit (mY+): Fragen nach Hilfe sind bitte zu unterlassen. Auch in den Titel gehört lediglich der Inhalt des Themas, kurz und aussagekräftig.

Meine Frage:
Hallo,
ich soll für meine Numerikvorlesung ein Imtegral berechnen. Grundlage ist die Gaußintegration. Allerdings sollen wir zuvor alle analytisch berechenbaren Teile extrahieren und anschließend eine Fehlerabschätzung machen.

Für beides brauche ich Hilfe.

Die Formel lautet:

Am Ende soll das Ergebnis einen relativen Fehler der Ordnung 10^-10 haben, deshalb die Frage nach der Fehlerabschätzung.

Meine Ideen:
Ich habe mich bereits ausführlich zur Gaußintegration belesen und weiß, wie ich diese dann durchführe. Dafür habe ich auch Wertetabellen für die 4-, 8- und 16-Punkt-Integration.

Über den Taschenrechner und ein Online-Tool weiß ich auch, dass das Endergebnis im Bereich von -16,72 liegen müsste.

Die Gaußintegration habe ich noch nicht durchgeführt. Bin gerade dabei ein entsprechendes Programm zu schreiben.
Numerikniete Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt das Programm für die Gauß-Integration geschrieben. Das sind die Ergebnise:

Das Ergebnis mit 4 Punkten ist -5.20953784899
Das Ergebnis mit 8 Punkten ist -7.10943744136
Das Ergebnis mit 16 Punkten ist -8.90187809169

Wie bekomme ich nun aus den Werten die relativen Fehler und wie kann ich das Ergebnis verbessern ohne die Zahl der Punkte zu erhöhen?
Numerikniete Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Leute,

ich habe heute nochmal an dem Problem weitergearbeitet. Ich gehe jetzt so vor, dass ich immer den Bereich des Intervalls in der Mitte teile. Dann wird der hintere Teil berechnet und der vordere erneut geteilt. Am Ende werden alle Teil Intervalle addiert.

Ich hab das mal für die 16-Punkt-Gauß-Integration durchgeführt. f ist dabei die Anzahl der Integrationsschritte. Am Ende konvergiert das Ergebnis. Ist das die Lösung oder hab ich noch einen Denkfehler drin? Die Idee dahinter ist, dass 0 die problematische Stelle ist. Also nähere ich mich der 0 so Schrittweise an.

Das Ergebnis mit 16 Punkten ist -9.02640751556 (f=10.0)
Das Ergebnis mit 16 Punkten ist -14.5243251018 (f=20.0)
Das Ergebnis mit 16 Punkten ist -16.2093090503 (f=30.0)
Das Ergebnis mit 16 Punkten ist -16.6332641559 (f=40.0)
Das Ergebnis mit 16 Punkten ist -16.7304991834 (f=50.0)
Das Ergebnis mit 16 Punkten ist -16.75162836 (f=60.0)
Das Ergebnis mit 16 Punkten ist -16.7560600574 (f=70.0)
Das Ergebnis mit 16 Punkten ist -16.7569666123 (f=80.0)
Das Ergebnis mit 16 Punkten ist -16.7571486373 (f=90.0)
Das Ergebnis mit 16 Punkten ist -16.757184663 (f=100.0)
Das Ergebnis mit 16 Punkten ist -16.7571934028 (f=200.0)
Das Ergebnis mit 16 Punkten ist -16.7571934028 (f=300.0)
Das Ergebnis mit 16 Punkten ist -16.7571934028 (f=400.0)
Das Ergebnis mit 16 Punkten ist -16.7571934028 (f=500.0)
Das Ergebnis mit 16 Punkten ist -16.7571934028 (f=600.0)

Teilt man nämlich das Intervall in gleichgroße Teilintervalle und berechnet jedes Einzellne und addiert diese, dann wird der Betrag vom Ergebnis immer größer und konvergiert nicht...

Liebe Grüße,
Numerikniete
Ändru Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmmm irgendwie ist deine Frage etwas komisch gestellt aber okay...

1.) Eigentlich wuerde ich das Fehlerintegral minimieren und zwar bis du dein gewuenschtes hast.

2.) Du koenntest auch hergehen und die Quadratur-Formel verwenden und dir quasi ein eigenes Verfahren herleiten. Du muesstest dann zuvor noch ein LGS loesen um dann deine Integratinsgewichte zu berechnen.

3.) Du kannst aber auch einen Trick aus Praxis anwenden: Du berechnest dir mit der Gauss-Integration fuer jeden Schritt dein Ergebnis . Nun Gehst du her und nimmst parallel dazu ein zweites Verfahren, zum Beispiel Simpson, und berechnest dir ein weiteres Ergebnis und nun kannst du den Fehler in jedem Schritt schaetzen. Das Prinzip ist quasi: Du Schaetzt das Verfahren mit einem weiteren Verfahren. Wobei immer mit dem Schlechteren geschaetzt wird. Der Fehler wird also etwas zu hoch geschaetzt.

Gruesse
Numerikniete Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Hinweise.

1. Hast du ein Beispiel, wie man mit dem Fehlerintegral das Epsilon berechnet? Irgendwie verstehe ich nicht, wie das gehen soll. Weil, dass was ich bei WIkipedia lese geht doch eher Richtung Stochastik, oder?

2. Da die Stützstellen mit den Gewichten gegeben sind, vermute ich mal, dass wir diese nehmen sollen.

3. Das ist eine gute Idee. Dann habe ich auch gleich eine Größenordnung, wo das Ergebnis liegen muss...

Der Nachteil ist allerdings dass ich nun auch noch Simpson implementieren muss... aber das ist kein Problem smile
Ändru Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, sorry, hab grad ne Menge arbeit und komme leider nicht dazu. Wenn ich heute Abend daheim bin dann schaue ich mal wo ich das finde.

Gruesse

PS: Die Simpson-Integration ist ja nicht wirklich aufwendig smile
 
 
Numerikniete Auf diesen Beitrag antworten »

So, nur kurz die Info: Mein Ergebnis hat gepasst, nur falls mal jemand eine ähnliche Aufgabenstellung hat.

Fehleranalysa hab e ich allerdings nicht mit Simpson sondern mit der Betrachtung der Abstände zwischen 8-Punkt und 16-Punkt-Gaußintegration für die Teilintervalle gemacht. Da diese bei großen f fast identisch waren(ich glaube bis 13. Nachkommastelle). Habe ich dort den absoluten Fehler mit Ordnung 10^-13 angesetze. Und der relative Fehler ergibt sich ja aus absolutem Fehler geteilt durch Ergebnis.

Die Aufgabe konnten wir dann abgeben, was vorher nicht bekannt war, um uns einen Bonus für die anstehende Hausarbeit zu bekommen. Hab ich gemacht, Resultate sind noch unbekannt...

Ich geh aber davon aus, dass das Ergebnis richtig ist, weil ich einen Online-Rechner für genau solche Integrale gefunden habe, der auf das gleiche Ergebnis kommt.

Liebe Grüße
Ändru Auf diesen Beitrag antworten »

Top smile
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