basis wo keine ist

09.06.2014, 00:56

akamanston

basis wo keine ist

hi all,

auf ein neues=)
gegeben sit f: R4 ->R4 mit der darstellenden matrix $\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 5&0&-2&4\\0&9&0&0\\-2&0&8&2\\4&0&2&5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
nun soll ich kern(f) und dim(bild(f)) berechnen.

also kern heißt einfach lgs lösen und die dimension vom bild ist halt die anzahl der variablen, stimmt das erstmal?

wenn ich die matrix jedoch gauße dann erhalte ich die einheitsmatrix. das heißt doch dass die matrix vollrangig ist und somit keine variable frei ist (also dimension =0 ) , oder?

ich soll aber basis und demsion ermitteln^^

09.06.2014, 01:05

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Rechne das besser noch mal nach ;-)
Die Matrix hat keinen vollen Rang.

09.06.2014, 01:47

akamanston

Auf diesen Beitrag antworten »

OK ich habe zumindest ein fehler gefunden. so ist es richtig.

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 5&0&-2&4\\0&9&0&0\\-2&0&8&2\\4&0&2&5 \end {pmatrix} =\begin{pmatrix} 5&0&-2&4\\0&1&0&0\\5&0&-20&-5\\4&0&2&5 \end {pmatrix} =\begin{pmatrix} 5&0&-2&4\\0&1&0&0\\0&0&-18&-9\\4&0&2&5 \end {pmatrix}= \begin{pmatrix} 20&0&-8&16\\0&1&0&0\\0&0&-18&-9\\20&0&10&25 \end {pmatrix}= \begin{pmatrix} 20&0&-8&16\\0&1&0&0\\0&0&-18&-9\\0&0&18&9 \end {pmatrix} \end{eqnarray*}$

ok, damit wäre $\begin{eqnarray*} Basis= (\begin{pmatrix} -2 \\0\\ -1\\2 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$
und dimension=1

jetzt aber eine anschlussfrage.
wieso ist die matrix reell diagonalisierbar? kann ich dazu was sagen, ohne das ch. polynom auszurechnen?
ich hab mir das ch polynom dennoch mal angeschaut und es zerfällt nicht!
$\begin{eqnarray*} \lambda (\lambda -9)(\lambda ^{2}-18\lambda +81 ) \end{eqnarray*}$
EW. wären 9, 0 und noch zwei komplexe.

also ich würde verstehen, dass es im komplexen eine diagonalmatrix gibt, aber im reellen?

09.06.2014, 08:37

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von akamanston
ich hab mir das ch polynom dennoch mal angeschaut und es zerfällt nicht!
$\begin{eqnarray*} \lambda (\lambda -9)(\lambda ^{2}-18\lambda +81 ) \end{eqnarray*}$
EW. wären 9, 0 und noch zwei komplexe.

Wo nimmst du bei diesem wunderschönen Polynom denn zwei komplexe Eigenwerte her? verwirrt

09.06.2014, 11:07

akamanston

Auf diesen Beitrag antworten »

du hast recht das polynom ist echt nice.
gestern hat wolfram aber was mit komplexen zahlen ausgespuckt.

$\begin{eqnarray*} \lambda (\lambda -9)^{3}= \lambda (\lambda -9)(\lambda ^{2}-18\lambda +81 ) \end{eqnarray*}$ und damit bin ichwieder in der spur!
ich bin noch nicht ganz fertig, möchte aber ins bad Big Laugh

danke für die hilfe

09.06.2014, 22:55

akamanston

Auf diesen Beitrag antworten »

kann ich an der stelle bevor ich das charakteristische polynom ausrechne (um diagonalisierbarkeit zu checken) bereits sagen ob die matrix diagonalisierbar ist? also mit dem kern und der dimension im prinzip, das ist bisher das einzige was ich habe.

09.06.2014, 23:07

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das kann man sagen. Das hat aber nichts mit deinen bisherigen Ergebnissen zu tun, sondern damit, dass die Matrix symmetrisch ist.

09.06.2014, 23:09

akamanston

Auf diesen Beitrag antworten »

boah, heftig. na klar!!! solche fangfragen muss ich doch erkennen können. omg . danke dir!!!

Neue Frage »

Antworten »

basis wo keine ist

Verwandte Themen