Dimension und Basis eines Vektorraums

09.06.2014, 15:13

lehramtler

Dimension und Basis eines Vektorraums

Hallo zusammen!
Sitze bei dieser Hitze gerade vor einer Aufgabe zur Basis und Dimension von Vektorräumen. Nachdem ich ca. ne Stunde an dieser wohl eher einfachen Aufgabe rumprobiert habe, bin ich möglicherweise auf eine Lösung gekommen. Bevor ich aber mit Aufgabenteil b) weitermache, möchte ich jetzt erstmal wissen, ob meine Gedankengänge richtig sind Augenzwinkern

. Man verzeihe mir gleich mal, dass ich des LaTex (noch) nicht mächtig bin...
Und zwar lautet die Aufgabe wie folgt:

Bestimmen Sie eine Basis des folgenden R-Vektorraums, weisen Sie die Basiseigenschaft nach und bestimmen Sie dann die Dimension des R-Vektorraums.
V={(a,b,c) ∈ R³ / a - 2b + 3c = 0}

Nun zu meiner Lösung:
Meine Behauptung ist, dass eine mögliche Basis
B = {(3,0,-1), (2,1,0)} lautet - dimV also gleich 2 ist.

(3,0,-1) und (2,1,0) sind schon mal sicher linear unabhängig. Und ich bin auch der Überzeugung, dass es sich bei B um ein Erzeugendensystem von V handelt. (Meine Beweise dafür skizziere ich hier nur, falls das falsch ist, was ich hier erzähle... ansonsten ist mir das zu viel Aufwand ohne LaTex-Kenntnisse Augenzwinkern

)

Also interessiert mich insbesondere:
1.) Sind mal zumindest meine Grundgedanken korrekt?
2.) Kann es nicht auch noch theoretisch sein, dass es einen weiteren Basisvektor in B
gibt? Denn dann wäre ja auch dimV = 3.
3.) Schlussendlich: Stimmt mein Ergebnis so?

Viele Grüße und einen weiteren schönen Feiertag! smile

09.06.2014, 15:20

Iorek

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Einfach davon überzeugt, dass es sich um Erzeugendensystem von V handelt, ist gerade zu Beginn eine sehr gefährliche Aussage. Augenzwinkern

Deine Grundgedanken stimmen aber! Die Vektoren sind linear unabhängig und liegen in der Menge. Jetzt muss man nur noch ausschließen, ob man nicht doch noch einen weiteren linear unabhängigen Vektor findet.
Sieh dir einmal die Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi:\mathbb R^3\rightarrow\mathbb R,\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\mapsto a-2b+3c \end{eqnarray*}$ an. Ist diese linear? Wie hängt die Abbildung mit der gegebenen Menge zusammen? Kennst du schon den Rang/Dimensionssatz für lineare Abbildungen?

09.06.2014, 15:25

lehramtler

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Zitat:

Original von Iorek
Einfach davon überzeugt, dass es sich um Erzeugendensystem von V handelt, ist gerade zu Beginn eine sehr gefährliche Aussage. Augenzwinkern

Erstmal dankesehr! Das hört sich ja dann schon in Ordnung an. Freude

Nein, der ist noch nicht eingeführt worden in der Vorlesung. Beziehungsweise wurde er das in der letzten Vl, die ich aber noch nicht nachbereitet habe, da sich das Blatt noch auf die letzte Maiwoche bezieht. Dem entsprechend sollte ich da wohl eher noch einen anderen Weg finden - insofern es da einen gibt Augenzwinkern

09.06.2014, 15:32

Iorek

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Natürlich gibt es da noch einige andere Möglichkeiten, ohne auf lineare Abbildungen zurückzugreifen. Ihr habt wahrscheinlich diverse Aussagen zu Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme gehabt, insbesondere zur Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems? Im Prinzip liefert einem der Gaußalgorithmus (mit dem du die Basis ja wahrscheinlich bestimmt hast) die Aussage über die Dimension direkt mit, also auch, dass es keinen dritten linear unabhängigen Vektor mehr geben kann.

09.06.2014, 15:48

lehramtler

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Zitat:

Original von Iorek
Natürlich gibt es da noch einige andere Möglichkeiten, ohne auf lineare Abbildungen zurückzugreifen. Ihr habt wahrscheinlich diverse Aussagen zu Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme gehabt, insbesondere zur Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems? Im Prinzip liefert einem der Gaußalgorithmus (mit dem du die Basis ja wahrscheinlich bestimmt hast) die Aussage über die Dimension direkt mit, also auch, dass es keinen dritten linear unabhängigen Vektor mehr geben kann.

Genau, die Basis habe ich mit dem Gaußalgorithmus bestimmt. Dass es sich bei B um ein Erzeugendensystem von V handelt, habe ich wie folgt bewiesen:

Zunächst einmal habe ich gezeigt, dass meine Vektoren (3,0,-1) und (2,1,0) beide in V enthalten sind. Dadurch habe ich festgestellt, dass B eine Teilmenge von V ist, und V Untervektorraum von R³ ist und dem entsprechend <B> kleinster Untervektorraum von R³ mit der berechneten Eigenschaft ist -> <B> Teilmenge von V. In der "analogen" (also sie war schon ein bisschen anders) Aufgabe wurde das mehr oder weniger als die "Hin-Richtung" bezeichnet, nur halt mit Inklusionen statt Implikationen.

Dann die Rück-Richtung:
Da habe ich einen beliebigen Vektor v = (u,s,w) aus V vorgegeben.
-> u-2s+3w = 0 <-> u = 2s - 3w
-> v = (2s - 3w, s, w) = s (2,1,0) - w (3,0,-1), wobei letztere Differenz in <B> liegt.

Also ist insgesamt V = <B>.

Da zumindest mein Endergebnis schon mal richtig ist, was sagst du zu meiner Argumentation / meinem Beweis? Ist der so schlüssig und ausreichend?
Und hast du vielleicht nen Tipp, wie man die Dimension in der Klausur zumindest schnell sehen kann? Wenn der Beweis ein bisschen dauert, macht das ja nichts, aber wenn ich schon so lange brauche wie heute, wäre das in der Klausur sicherlich kontraproduktiv Augenzwinkern

09.06.2014, 15:53

Iorek

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Deine Argumentation sollte so in Ordnung sein. Freude

Schneller geht es wie gesagt über den Zusammenhang mit linearen Abbildung und dem Dimensionssatz. Zwar kommt der auf eurem Blatt noch nicht vor, du kannst ja aber trotzdem mal versuchen, da einen Zusammenhang zu erkennen. smile

09.06.2014, 15:57

lehramtler

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Dann vielen Dank für deine Unterstützung!
Das mit den linearen Abbildungen werde ich mir direkt mal bei der Aufgabe anschauen in Verbindung mit dem Skript.

Ich glaube, ich sollte hier wirklich öfters mal über Aufgaben meiner Blätter schreiben, denn wenn man seine Gedanken hier genau erläutert und dann auch derartig gute Erklärungen bekommt, finde ich, versteht man das alles gleich viel besser - auch wenn das Zusammenarbeiten mit Freunden auch schon ziemlich gut klappt. Freude

09.06.2014, 16:10

Iorek

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Meld dich ruhig wieder, wenn du nicht weiter kommst. smile

10.06.2014, 10:47

lehramtler

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Da dieser Thread zu diesem Thema jetzt schon offen ist, stelle ich meine Frage also auch gleich wieder hier rein:
Und zwar habe ich mich jetzt an Teilaufgabe 2 gesetzt, deren Aufgabenstellung wieder gleich lautet (Dimension und eine mögliche Basis bestimmen).

V = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , wobei
x1 + x4 = 0 <-> x1 = -x4 sein soll.

Nun steht in unserem Skript ein allgemeines Beispiel, dass die Dimension von Matrixmengen mit m x n (in diesem Fall ist das ja ne quadratische Matrix 2x2) gleich mn ist. Hier wäre die Dimension also dim V = 4.

Nach meiner Vermutung schränkt die Voraussetzung x1 + x4 = 0 die Dimension aber so ein, dass dim V = 3 ist.
Wie ich zu dieser Vermutung komme? Ich sitze jetzt schon wieder einige Zeit daran und versuche, gemäß dem Beispiel eine 4. Basismatrix zu finden, kriege das aber gerade nicht hin. Deshalb vermute ich eben, dass es gar keine vierte gibt - und das eben wegen der Zusatzeinschränkung. smile

Ist meine Vermutung denn richtig oder sollte ich noch weiter suchen?
Meine bisherigen Matrizen haben übrigens die Gestalt:
- $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
- $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & -3 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
- $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Sollte also auch hier irgendwo ein Fehler drin sein, wäre es nett, mich darauf hinzuweisen... aber ich glaube, das Grundprinzip habe ich mittlerweile gut verstanden und deshalb sollten die drei oben schon mal richtig sein. Augenzwinkern

Viele Grüße

10.06.2014, 10:55

Iorek

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Was die Darstellung angeht: du meinst wahrscheinlich $\begin{eqnarray*} \mathcal V=\left\{\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{pmatrix}~|~x_1,\dots,x_4\in K,x_1+x_4=0\right\} \end{eqnarray*}$ , oder?

Allgemein gilt für den Raum der $\begin{eqnarray*} m\times n \end{eqnarray*}$ -Matrizen, dass die Dimension $\begin{eqnarray*} m\cdot n \end{eqnarray*}$ ist, ja. Dieser Raum ist hier ja aber nicht gegeben, es handelt sich lediglich um einen Teilraum (ganz streng genommen sogar erst einmal um eine Teilmenge; das man wirklich einen Teilraum hat, müsste man evtl. erst noch nachweisen). Wir können also nur sagen, dass die Dimension höchstens 4 ist.

Aber: deine Vermutung stimmt. Die Dimension dieses Raums ist 3.

10.06.2014, 11:02

lehramtler

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Zitat:

Original von Iorek
Was die Darstellung angeht: du meinst wahrscheinlich $\begin{eqnarray*} \mathcal V=\left\{\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{pmatrix}~|~x_1,\dots,x_4\in K,x_1+x_4=0\right\} \end{eqnarray*}$ , oder?

Allgemein gilt für den Raum der $\begin{eqnarray*} m\times n \end{eqnarray*}$ -Matrizen, dass die Dimension $\begin{eqnarray*} m\cdot n \end{eqnarray*}$ ist, ja. Dieser Raum ist hier ja aber nicht gegeben, es handelt sich lediglich um einen Teilraum (ganz streng genommen sogar erst einmal um eine Teilmenge; das man wirklich einen Teilraum hat, müsste man evtl. erst noch nachweisen). Wir können also nur sagen, dass die Dimension höchstens 4 ist.

Aber: deine Vermutung stimmt. Die Dimension dieses Raums ist 3.

Genau, das meinte ich so... bin nur leider mit LaTex nicht wirklich vertraut und habe gehofft, dass man das so trotzdem versteht. Augenzwinkern

Perfekt, dann kann ich das so aufschreiben. Danke nochmals.

10.06.2014, 11:15

Iorek

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Noch als allgemeiner Tipp: lies/arbeite dich mit der Zeit ruhig in LaTeX ein. Im Studium wirst du nicht drum herum kommen auch mal eine mathematische Arbeit zu verfassen (sei es in einem Seminar, Praktikum, Bachelor- oder Examensarbeit), da wird in der Regel LaTeX erwartet. Und mit Word eine umfassendere Arbeit überdies mit mathematischen Inhalten zu schreiben...ich würde es nicht empfehlen. Augenzwinkern

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