bestimmtes Polynom finden...

09.06.2014, 21:48

akamanston

bestimmtes Polynom finden...

hi,

es wird wieder mal kompliziert^^

aufgabe ist wie folgt.
Bestimme ein Polynom $\begin{eqnarray*} p(\lambda ) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} Grad\leq 3 \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft
$\begin{eqnarray*} p(A(\alpha ))=0 \end{eqnarray*}$

Tipps:
$\begin{eqnarray*} A(\alpha )A(\beta )=A(\alpha +\beta ) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} A(3 \alpha )-3A(2 \alpha )+3A( \alpha ) = I \end{eqnarray*}$
wobei I wohl für Einheitsmatrix steht. Das habe ich mit rechnung überprüfut. mich wundert es nur wieso nicht das einheitsmatrix"einser" da steht. ... aber egal.

$\begin{eqnarray*} A(\alpha )=\begin{pmatrix} 1& a& \frac{a^2}{2} \\ 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ich hab schon ein bisschen rumgerechnet.
das charakteristische polynom von $\begin{eqnarray*} x_{A(\alpha )}(\lambda ) = (1-\lambda )^3=A^3-3A^2+3A-1=0 \end{eqnarray*}$ (habe gleich A eingesetzt für cayleyhamilton)

und jetzt weiß ich nicht mehr weiter.

10.06.2014, 00:46

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: bestimmtes Polynom finden...
Du sollst wohl gerade nicht Cayley-Hamilton benutzen, sondern zeigen, dass - wegen der Identitäten in den Tipps - Cayley-Hamilton erfüllt ist.

Benutzt du den ersten Tipp, dann kannst du ersetzen:

$\begin{eqnarray*} A(\alpha )^2=A(2\alpha) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} A(\alpha )^3=A(3\alpha) \end{eqnarray*}$

Dies kannst du im zweiten Tipp verwenden, was zu folgender Gleichungskette führt:

$\begin{eqnarray*} 0=A(3 \alpha )-3A(2 \alpha )+3A( \alpha ) - I = A(\alpha )^3 - 3 A(\alpha )^2+3 A(\alpha )-I = p(A(\alpha)) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} p(\lambda) = (\lambda -1)^3 \end{eqnarray*}$ offenbar gerade das charakteristische Polynom ist.

11.06.2014, 19:35

akamanston

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: bestimmtes Polynom finden...
ok danke dir. mich hat der erste tipp irritiert. keine ahnung wieso^^.

nur noch zur notation eine frage.

was ist denn nun $\begin{eqnarray*} p(\lambda) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} p(A(\alpha )) \end{eqnarray*}$ ?
ist mit $\begin{eqnarray*} p(\lambda) \end{eqnarray*}$ eigentlich das charakteristische polynom gemeint, dass ich oben halt $\begin{eqnarray*} x_{A(\alpha )}(\lambda ) \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} p(A(\alpha )) \end{eqnarray*}$ damit wäre dann $\begin{eqnarray*} x_{A(\alpha )}(A(\alpha ) ) \end{eqnarray*}$
also zusammengefasst:
$\begin{eqnarray*} p(\lambda) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} x_{A(\alpha )}(\lambda ) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} p(A(\alpha )) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} x_{A(\alpha )}(A(\alpha ) ) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Du sollst wohl gerade nicht Cayley-Hamilton benutzen, sondern zeigen, dass - wegen der Identitäten in den Tipps - Cayley-Hamilton erfüllt ist.

jetzt mal was ganz blödes^^.
was ist denn der unterschied zwischen cayley benutzen und cayley erfüllen

12.06.2014, 09:26

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: bestimmtes Polynom finden...
Du suchst in der Aufgabe irgendein Polynom $\begin{eqnarray*} p(\lambda) \end{eqnarray*}$ , das bestimmte Bedingungen erfüllt. Es ist nirgendwo die Rede davon, dass dies das charakteristische Polynom ist, auch wenn der Kenner von Cayley-Hamilton sofort an dieses Polynom denkt. Ich vermute aber, dass ihr Cayley-Hamilton nicht voraussetzen dürft, denn dann wäre die Aufgabe zu einfach. Anhand der Tipps findet man dann heraus, dass $\begin{eqnarray*} p(\lambda) \end{eqnarray*}$ das charakteristische Polynom ist. Ich sehe die Aufgabe als einen heuristischen Weg, den Satz von Cayley-Hamilton zu zeigen. Das ist natürlich noch kein Beweis, aber man kann sehen, dass Matrizen der genannten Form eingesetzt in das charakteristische Polynom die 0-Matrix ergeben. Da ich euren Kontext aber nicht kenne, ist das nur eine Vermutung.

Zitat:

Original von akamanston

Zitat:

Du sollst wohl gerade nicht Cayley-Hamilton benutzen, sondern zeigen, dass - wegen der Identitäten in den Tipps - Cayley-Hamilton erfüllt ist.

jetzt mal was ganz blödes^^.
was ist denn der unterschied zwischen cayley benutzen und cayley erfüllen

Wenn du CH benutzt, dann darfst du den Satz voraussetzen, was aber meiner Vermutung nach dem Sinn der Aufgabe widerspricht. Dass CH erfüllt ist, kann man aber mit der Aufgabe zeigen.

Neue Frage »

Antworten »

bestimmtes Polynom finden...

Verwandte Themen