Beliebiges Dreieck in flächengleiches gleichseitiges umwandeln

10.06.2014, 11:47	RUDI UNO	Auf diesen Beitrag antworten »
Beliebiges Dreieck in flächengleiches gleichseitiges umwandeln Meine Frage: Mit Euklidischen Werkzeugen ( Zirkel, Lineal und Dreieck ) ist ein beliebiges Dreieck in ein gleichseitiges Dreieck mit gleicher Fläche umzuwandeln. Meine Ideen: Habe bereits ein Lösung . Wer will's wissen ?
10.06.2014, 12:39	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beliebiges Dreieck in flächengleiches gleichseitiges umwandeln Dieses Forum ist dazu da, Fragen zu stellen, wenn es Probleme gibt. Deswegen verschiebe ich dein Thema einfach mal in den Rätselbereich, da kann man so etwas am ehesten einordnen
04.09.2015, 23:58	leoclid	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ der Flächeninhalt des Dreiecks Aus dem Dreieck konstruieren wir ein Rechteck, desses eine Seite der Grundseite des Dreiecks und desses andere Seite der Höhe des Dreiecks entspricht. Dieses Rechteck hat den Flächeninhalt $\begin{eqnarray} 2A \end{eqnarray}$ . Dieses Rechteck halbieren wir und erhalten ein Rechteck mit dem Flächeninhalt $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ Aus diesem Rechteck konstruieren wir ein Quadrat mit selbem Flächeninhalt, dieses hat die Seitenlänge $\begin{eqnarray} \sqrt{A} \end{eqnarray}$ . Über einer der Seiten des Quadrats konstruiere man ein Rechteck, dessen andere Seitenlänge $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{\sqrt{3} } }{\sqrt{2} } \end{eqnarray}$ beträgt. Aus diesem Rechteck konstruiere man ein Rechteck mit der Seitenlänge 1 und selbem Flächeninhalt. Die andere Seitenlänge hat also die Länge $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{\sqrt{3} } }{\sqrt{2} }\sqrt{A} \end{eqnarray}$ Über dieser Seitenlänge konstruiere man nun ein gleichseitiges Dreieck mit jener Seitenlänge. Dieses hat die Fläche: $\begin{eqnarray} K=\frac{\sqrt{\sqrt{3} } }{\sqrt{2} }\sqrt{A} h \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} K=\frac{\sqrt{\sqrt{3} } }{\sqrt{2} }\sqrt{A} \frac{\sqrt{\sqrt{3} } }{\sqrt{2} }\sqrt{A}\frac{2}{\sqrt{3} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} K=A \end{eqnarray}$ Ich glaube aber ich habe zu kompliziert gedacht.
05.09.2015, 00:40	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das denke ich auch. Ausserdem wird mit dem von dir beschriebenen Verfahren die Konstruktion kaum ordnungsgemäß zu bewerkstelligen sein. Bis dorthin, das Dreieck in ein flächengleiches Quadrat zu verwandeln, passt es und dies geht auch leicht. Danach wird man mit verschiedenen Verfahren weiterkommen. Z.B. wenn die Seitenlänge des Quadrates a1 und die des gesuchten gleichseitigen Dreieckes a2 beträgt, ist bei Flächengleichheit $\begin{eqnarray} a_1 : a_2 = \sqrt[4]{3} : 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt[4]{3} = \sqrt{1 \cdot \sqrt3} \end{eqnarray}$ erhält man mittels Höhensatz und $\begin{eqnarray} a_2 \end{eqnarray}$ letztendlich mittels der 4. Proportionalen (Strahlensatz). mY+
05.09.2015, 10:47	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
[attach]39048[/attach]
06.09.2015, 15:46	leoclid	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du deine Zeichnung nochmal Erklären. Ich komm da irgendwie nicht weiter...
Anzeige

06.09.2015, 17:21	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ausgangsdreieck $\begin{align} ABC \end{align}$ hat Grundseite $\begin{align} \|AB\|=g \end{align}$ und darauf Höhe $\begin{align} h \end{align}$ , demnach Fläche $\begin{align} F=\frac{1}{2}gh \end{align}$ . Nun die Konstruktion: 1) $\begin{align} AB \end{align}$ wird zum gleichseitigen Dreieck $\begin{align} ABD \end{align}$ ergänzt, dabei soll $\begin{align} D \end{align}$ auf der anderen Seite der Gerade $\begin{align} AB \end{align}$ als $\begin{align} C \end{align}$ liegen. 2) $\begin{align} M \end{align}$ ist Mittelpunkt von $\begin{align} AB \end{align}$ , und $\begin{align} E \end{align}$ Lotfußpunkt von $\begin{align} C \end{align}$ auf die Gerade $\begin{align} DM \end{align}$ . 3) Man zeichne den Kreis über dem Durchmesser $\begin{align} DE \end{align}$ , und es sei $\begin{align} C' \end{align}$ derjenige Schnittpunkt von $\begin{align} AB \end{align}$ mit diesem Kreis, der in derselben Halbebene bzgl. $\begin{align} DE \end{align}$ wie $\begin{align} A \end{align}$ liegt. 4) $\begin{align} A' \end{align}$ sei der Schnittpunkt des Lotes von $\begin{align} C' \end{align}$ auf $\begin{align} BD \end{align}$ mit der Geraden $\begin{align} DE \end{align}$ . Schlussendlich entsteht $\begin{align} B' \end{align}$ aus $\begin{align} A' \end{align}$ durch Spiegelung an $\begin{align} M \end{align}$ . In der Berechnung: Es ergibt sich (mehr oder weniger in der Reihenfolge) Im gleichseitigen Dreieck $\begin{align} ABD \end{align}$ : $\begin{align} \|MD\| = \frac{\sqrt{3}}{2}g \end{align}$ Höhensatz: $\begin{align} \|MC'\|^2 = \|MD\|\cdot \|ME\| = \frac{\sqrt{3}}{2}gh = \sqrt{3}~F \end{align}$ Im gleichseitigen Dreieck $\begin{align} A'B'C' \end{align}$ : $\begin{align} \|A'B'\| = \frac{2}{\sqrt{3}}\|MC'\| \end{align}$ und damit Fläche $\begin{align} F' = \frac{1}{2}\|A'B'\|\cdot \|MC'\| = \frac{1}{\sqrt{3}}\|MC'\|^2 = F \end{align}$ .

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »