stetig fortsetzbar in a; a kein Häufungspunkt

10.06.2014, 16:25

ann1

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stetig fortsetzbar in a; a kein Häufungspunkt

Meine Frage:
sei f\in Abb(M,\mathbb R ), M Teilmenge aus \mathbb R .

Ist f in a stetig fortsetzbar, so gibt es dazu eine stetige Fktn

F: M\cup M\left\{ a\right\} ->\mathbb R mit
F(x)=f(x).

Die Frage ist, wann eine solche Fktn. F exisitiert.
Antwort:
U. a. wenn a\in \mathbb R KEIN HÄUFUNGSPUNKT von M ist.

Warum das?

Meine Ideen:
(Def.)
a\in \mathbb R ist ein Häufungspkt von M,
wenn in jeder Umgebg von a mindestens 1 Pkt aus M liegt, der von a verscheiden ist.

Hier bedeutet also "a ist kein Häufungspkt von M":
Es gibt eine Umgebung von a, die keinen Punkt von a enthaelt
(ausser evtl. a selbst, falls a aus M ist).

Den Zusammenhang "a kein Häufungspunkt->stetig fortsetzbar in a" verstehe ich nicht - letztlich, weil ich den Begriff "Häufungspkt einer Menge" nicht verstehe.

Ich habe mir einen Graphen gezeichnet und dann ein Loch (mein f(a))hineingebaut (durch Herausradieren). Damit sollte diese Fktn zweifelsohne stetig fortsetzbar sein. Den Punkt a füge ich auch als Loch auf meiner Achse M ein.

Frage: Ist dieser Punkt a ein Häufungspunkt von M? Begründung? Wie kann ich das skizzieren?

M. E. ist jeder Pkt auf der M-Achse ein Häufungspkt, auch mein o. g. Pkt a aus dem Beispiel mit dem Graphen: In jeder Umgebung gibt es einen Pkt aus M, der von a verschieden ist. Weil M ja dicht mit reellen Zahlen überzogen ist. Gehe ich von meinem Pkt a nur ein epsilon>0 nach rechts/links, treffe ich auf einen Pkt aus M.

Das Problem ist, dass das ganze Kapitel Stetigkeit und Grenzwerte mit all den Beweisen nicht fassbar ist, wenn der begriff "Häufungspkt" nicht klar ist.

PS:
Ich hoffe die verwendeten Formelzeichen werden beim geneigten Leser im (Gegensatz zu mir) angezeigt.

10.06.2014, 16:30

bijektion

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Setz um die Formeln zu Beginn jeweils

code:
1:	[l]

und am Ende jeweils

code:
1:	[/l]

dann werden die Formeln angezeigt.
Dann werde ich auch Hilfe zum Thema leisten.

10.06.2014, 16:45

ann1

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nochmal der Eingangspost
wegen der 15min-Limitierung bzgl Beitragsaenderung nochmals der Text, diesmal mit den wohl notwendigen "eckigen Latexklammern"

Meine Frage:
sei $\begin{eqnarray*} f\in Abb(M,\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ , M Teilmenge aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$
.

Ist f in a stetig fortsetzbar, so gibt es dazu eine stetige Fktn

$\begin{eqnarray*} F: M\cup \left\{ a\right\} ->\mathbb R mit<br /> F(x)=f(x). \end{eqnarray*}$

Die Frage ist, wann eine solche Fktn. F exisitiert.
Antwort:
U. a. wenn $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
KEIN HÄUFUNGSPUNKT von M ist.

Warum das?

Meine Ideen:
(Def.)
$\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
ist ein Häufungspkt von M,
wenn in jeder Umgebg von a mindestens 1 Pkt aus M liegt, der von a verscheiden ist.

Hier bedeutet also "a ist kein Häufungspkt von M":
Es gibt eine Umgebung von a, die keinen Punkt von a enthaelt
(ausser evtl. a selbst, falls a aus M ist).

Den Zusammenhang "a kein Häufungspunkt->stetig fortsetzbar in a" verstehe ich nicht - letztlich, weil ich den Begriff "Häufungspkt einer Menge" nicht verstehe.

Ich habe mir einen Graphen gezeichnet und dann ein Loch (mein f(a))hineingebaut (durch Herausradieren). Damit sollte diese Fktn zweifelsohne stetig fortsetzbar sein. Den Punkt a füge ich auch als Loch auf meiner Achse M ein.

Frage: Ist dieser Punkt a ein Häufungspunkt von M? Begründung? Wie kann ich das skizzieren?

M. E. ist jeder Pkt auf der M-Achse ein Häufungspkt, auch mein o. g. Pkt a aus dem Beispiel mit dem Graphen: In jeder Umgebung gibt es einen Pkt aus M, der von a verschieden ist. Weil M ja dicht mit reellen Zahlen überzogen ist. Gehe ich von meinem Pkt a nur ein epsilon>0 nach rechts/links, treffe ich auf einen Pkt aus M.

Das Problem ist, dass das ganze Kapitel Stetigkeit und Grenzwerte mit all den Beweisen nicht fassbar ist, wenn der begriff "Häufungspkt" nicht klar ist.
PS:
Ich hoffe die verwendeten Formelzeichen werden beim geneigten Leser im (Gegensatz zu mir) angezeigt.

10.06.2014, 16:49

bijektion

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Dein Problem ist es also eigentlich, das du nicht weißt, was ein Häufungspunkt einer enge ist? Möchtest du das erstmal geklärt haben?

10.06.2014, 17:36

ann1

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Zitat:

Original von bijektion
Dein Problem ist es also eigentlich, das du nicht weißt, was ein Häufungspunkt einer enge ist? Möchtest du das erstmal geklärt haben?

so sieht es aus - wenngleich es damit ein eigenes Thema wäre.

10.06.2014, 19:02

bijektion

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Was ist dir denn unklar beim Thema Häufungspunkte? Weißt du was ein Häufungspunkt einer Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_n \end{eqnarray*}$ ist?

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10.06.2014, 23:35

ann1

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bzgl. Folgen weiß ich das.
Da ist es der Grenzwert einer konvergenten Teilfolge, wenn unendlich viele Folgenglieder in der Umgebung eines Wertes. Wenn es jedoch "fast alle" sind, geht es um einen Limes, jedoch der ganzen Folge. Das ein Limes auch ein Häufungspkt ist, ist klar.

Bei Folgen scheint mir das anschaulich.Aber wie transferiere ich das auf Mengen?

Ich versuche mir staendig vorzustellen (gerade auch bzgl. der eingangs gestellen Frage bzgl. Stetigkeit in einem Pkt der kein Häufungspkt ist), wie denn ein Punkt beschaffen sein muss, dass er (k)ein H-Pkt ist.
Wohl muss ich mich zudem v a fragen, wie denn die MENGE beschaffen sein muss, dass ein Pkt (k)ein H-Pkt sein kann.

Gerne haette ich mir eine Skizze angefertigt mit der Eigenschaft "a ist kein H-Pkt", die veranschaulicht, warum daraus folgen soll, dass eine Funktion des gegebenen Abb-Raumes dadurch automatisch stetig fortsetzbar ist. Aber wie kann man das veranschaulichen?

11.06.2014, 08:16

bijektion

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Ein Häufungspunkt einer Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist ein Punkt, wo es in jeder Umgebung ein Punkt aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ gibt.
D.h. ein Punkt $\begin{eqnarray*} x_0\in \mathbb{U} \end{eqnarray*}$ ist Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , wenn für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} U_{\varepsilon}(x_0)\cap\mathbb{U}\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ . Dann könnte $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ aber auch nur ein Berührpunkt von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ sein; also wird noch gefordert das es in jeder Umgebung einen Punkt gibt, der verschieden von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist.

Als Beispiel könntest du dir etwa vorstellen: $\begin{eqnarray*} A=\left\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 |x^2+y^2<1\right\} \subset \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ . Es ist etwa $\begin{eqnarray*} (1,1)\in\mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ein Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , aber wie sieht es mit $\begin{eqnarray*} (1,1+\xi)\in\mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ aus, wenn $\begin{eqnarray*} \xi>0 \end{eqnarray*}$ ?

11.06.2014, 17:17

ann1

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$\begin{eqnarray*} U_{\varepsilon}(x_0)\cap\mathbb{U}\neq\emptyset \end{eqnarray*}$

Das heisst doch zunaechst, dass entweder in der Epsilon-Umgebung oder in der Umgebung von x_0 ein Element der Menge liegt.
Warum braucht man dazu den normalen Umgebungsbegriff, welcehr ja ohnehin von der Epsilon-Umgebg abhaengt?
Wieso sagt man nicht einfach, dass die (also JEDE) punktierte (!) Epsilon-Umgebung eines Punktes nicht leer sein darf, wenn der Punkt ein H-Pkt sein soll? Vlt mit der Rnadnotiz, dass dieser Pkt nicht aus M sein muss? Wäre das eine äquivalente H-Pkt-Definition.

Nun aber nochmal zur Eingangsfrage:
Warum folgt aus der Eigenschaft "a ist kein H-Pkt von M" -> f ist in a stetig fortsetzbar" ?

Wenn ich eine Fktn in einem Pkt stetig fortsetzen möchte, muss in dieser doch ein eigentlicher Grenzwert existieren, oder? Und wenn dieser exisitiert, dann heisst das doch, dass dieser zumindest ein H-Pkt ist, oder? Das widerspricht sich doch, daher muss da ein Denkfehler vorliegen.

11.06.2014, 17:26

ann1

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PS:
hier [URL entfernt wegen:"Dein Posting beinhaltet eine URL. URLs dürfen aber nur registrierte User oder* User mit ausreichend Beiträgen posten. Entferne also die URL aus deinem Post, oder registriere dich."] [Aha! Alles klar! Ist ja nur ne andere Matheboard-Seite, die ich verlinken wollte. Außerdem muss es nach meinem Fall heißen: "...nur registrierte User mit* ausreichend Beiträgen..." Das Forum hat nen hohen Nerv-Faktor (siehe auch mein anderer Thread, den ich auf anderen Web-Planeten auch verlinken könnte)] steht:

"Wenn a kein Häufungspunkt ist, dann kann man den Grenzwert gar nicht bilden, er ist dann einfach nicht definiert.

Aber wenn man sich mal das Epsilon-Delta-Kriterium anschaut wird klar, warum eine Funktion in jedem Nicht-Häufungspunkt (man kann von einem isolierten Punkt sprechen) stetig ist. Man muss einfach das Delta so klein wählen, dass nur der Punkt selbst in der Delta-Umgebung liegt. "

Dazu bräuchte ich mal eine konkrete Bsp-Funktion, die ich mir aufzeichnen kann: Eine Fkt, die in a stetig fortsetzbar ist, wobei a sichtbar kein Häufungspunkt ist.

11.06.2014, 18:01

bijektion

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Zitat:

Das heisst doch zunaechst, dass entweder in der Epsilon-Umgebung oder in der Umgebung von x_0 ein Element der Menge liegt.

Das verstehe ich nicht verwirrt

verwirrt

Das sollte noch eben geklärt sein, bevor es weiter geht.

11.06.2014, 18:58

ann1

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habe Durchschnitt u Vereinigg. verwechselt.

11.06.2014, 19:25

bijektion

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Ist dir der Unterschied zwischen Häufungswert und Berührpunkt klar?

So, dann mal weiter: Es ist mit $\begin{eqnarray*} M\subset\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f:M\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gegeben. Zu zeigen ist, wenn $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ kein Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig fortsetzbar ist.
Was heißt es jetzt also, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ kein Häufungspunkt ist?

11.06.2014, 20:20

ann1

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"Ist dir der Unterschied zwischen Häufungswert und Berührpunkt klar?"
Beim H-Pkt a geht es im Ggs zum Berührpkt um die punktierte Umgebung (Umgebg von a ohne a selbst) von a, in welcher ein Pkt von M liegen muss.
Ist ein Pkt hingegen ein Beruehrpkt, kann in jeder Umgebg von a z B auch nur a selbst liegen.
So?

"Was heißt es jetzt also, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ kein Häufungspunkt ist? "
Folgt denn daraus, dass a kein H-Pkt ist: a ist Berührpkt?
Jedenfalls muss man doch heir irgendwann mal Aussagen ueber die Existenz von Grenzwerten treffen, wenn f in a stetig fortsetzbar sein soll.
Wenn a kein Häufungspkt ist, was folgt daraus f d Grenzwert von f für x->a?
Dass der Grenzwert existiert?

11.06.2014, 20:33

bijektion

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Ja.

Zitat:

Folgt denn daraus, dass a kein H-Pkt ist: a ist Berührpkt?

Nein, wenn $\begin{eqnarray*} a\notin M \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ genau dann ein Berührpunkt, wenn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ein Häufungspunkt ist.
In unserem Fall ist wohl $\begin{eqnarray*} a\notin M \end{eqnarray*}$ : D.h. Es gibt irgendein $\begin{eqnarray*} \xi >0 \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} 0<\varepsilon<\xi \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} U_{\varepsilon}(a)\cap M=\emptyset \end{eqnarray*}$ .

11.06.2014, 20:42

ann1

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D.h. also dass die Fktn in einem Pkt a, der nicht H-Pkt ist, genau deswegen in a stetig forsetzbar ist, weil aus der Tatsache "a ist kein H-Pkt" folgt: In a existiert ein eigentlicher Grenzwert (was Vorraussetzg f stetige Fortsetzbarkeit ist, oder?). Stimmt das?

Und beweist man, dass dieser Grenzwert existieren muss, wenn a kein H-Pkt ist? Ich dachte, ein Limes ist auch ein Häufungspunkt.

Ist a nun Häufungspkt, kann aber muss nicht der Grenzwert wie gefordert existieren, um f stetig fortzusetzten. Richtig?

11.06.2014, 20:50

HAL 9000

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Es wird vielleicht mal Zeit zu rekapitulieren, was Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bedeutet:

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon>0 \; \exists \delta>0\; \forall x\in M\cap (a-\delta,a+\delta):\; |F(x)-F(a)| < \varepsilon \qquad (*) \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nun kein HP von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist, dann enthalten genügend kleine Umgebungen von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ (also für genügend kleines $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ ) schließlich gar keine Punkte von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ mehr - dann ist in (*) für die Stetigkeit auch nichts mehr zu beweisen (die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |F(x)-F(a)| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ wird mangels passender $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bedeutungslos).

Mit anderen Worten: In diesem Fall kann man $\begin{eqnarray*} F(a) \end{eqnarray*}$ beliebig festlegen - die Funktion $\begin{eqnarray*} F:\; M\cup \left\{ a\right\} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist in jedem Fall dort stetig!!!

@bijektion

Sorry für die Einmischung, aber ich dachte, es kann vielleicht mal nicht schaden, wenn jemand deinen "Plan" mit etwas anderen Worten motiviert.

11.06.2014, 20:57

bijektion

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Beachte was HAL geschrieben hat.
Außerdem gilt hier mitnichten, das $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nur dann stetig fortsetzbar ist. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ kann auch gut stetig fortsetzbar in $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ sein, wenn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ Häufungspunkt der Menge ist, wenn man den $\begin{eqnarray*} f(a) \end{eqnarray*}$ passend wählen kann.
Nur wegen der von HAL genannten Gründen, ist es im Fall das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ kein Häufungspunkt garantiert.
@ HAL: Kein Problem, kann bestimmt nicht schaden.

11.06.2014, 21:04

ann1

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ich bitte doch sehr um Einmischungen. Irgendwie so funzt ja ein Forum.

Ich werde die neuen Erkenntnisse auf einem Blatt Papier zu kredenzen versuchen und melde mich dann wieder.

Danke soweit.

11.06.2014, 21:09

ann1

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Zitat:

Original von HAL 9000
Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bedeutet:

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon>0 \; \exists \delta>0\; \forall x\in M\cap (a-\delta,a+\delta):\; |F(x)-F(a)| < \varepsilon \qquad (*) \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nun kein HP von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist, dann enthalten genügend kleine Umgebungen von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ (also für genügend kleines $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ ) schließlich gar keine Punkte von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ mehr - dann ist in (*) für die Stetigkeit auch nichts mehr zu beweisen (die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |F(x)-F(a)| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ wird mangels passender $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bedeutungslos).

Mit anderen Worten: In diesem Fall kann man $\begin{eqnarray*} F(a) \end{eqnarray*}$ beliebig festlegen - die Funktion $\begin{eqnarray*} F:\; M\cup \left\{ a\right\} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist in jedem Fall dort stetig!!!

Dazu waere vlt ein konkreten Bsp hilfreich - etwas, das man auch plotten kann. Ich muss das sehen...

11.06.2014, 21:16

HAL 9000

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Ich denke, was Geplottetes wird dir da beim Verständnis nicht helfen. Es ist einfach so, dass die konsequente Auslegung der Definitionen manchmal das "gewohnt bildhafte" verlässt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielleicht zur Vertiefung: In dem Sinne sind alle Funktionen $\begin{eqnarray*} f:\;\mathbb{N}\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stetig, da hinsichtlich der gewöhnlich verwendeten euklidischen Metrik sämliche Stellen des Definitionbereichs $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ isoliert voneinander liegen.

11.06.2014, 21:29

ann1

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich denke, was Geplottetes wird dir da beim Verständnis nicht helfen. Es ist einfach so, dass die konsequente Auslegung der Definitionen manchmal das "gewohnt bildhafte" verlässt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

...

...was ja noch nicht generell mein Bedürfnis nach einem konkreten Bsp befriedigt, bei welchen genau die genannten Definitionen ausführlich ausgelegt werden können.

11.06.2014, 21:34

HAL 9000

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Na von mir aus:

Ausgangspunkt $\begin{eqnarray*} f:\;[0,1]\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ , ist also stetig.

Dann ist $\begin{eqnarray*} a=2 \end{eqnarray*}$ sicher kein HP von $\begin{eqnarray*} M=[0,1] \end{eqnarray*}$ , und wir legen $\begin{eqnarray*} F(2)=0 \end{eqnarray*}$ fest, und ansonsten $\begin{eqnarray*} F(x)=x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ . Dieses solchermaßen definierte $\begin{eqnarray*} F:\;[0,1]\cup\{2\}\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist nun stetig - und zwar auch im Punkt $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ , auch wenn das vielleicht deiner Anschauung widerspricht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.06.2014, 21:40

ann1

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ich hab jetzt natuerlich den Fehler gemacht, das aufzuzeichnen. Sieht super aus. Der Inbegriff von Stetigkeit, wie man sie aus der Schule kennt. yes but no.

rein anschaulich haette ich jetzt gedacht:
da die Fktn in x=1 mit f(x)=1 aufhoert, sollte sie f Stetigkeit in x=2 den Wert F(2)=1 haben

11.06.2014, 21:50

bijektion

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Zitat:

da die Fktn in x=1 mit f(x)=1 aufhoert, sollte sie f Stetigkeit in x=2 den Wert F(2)=1 haben

Wieso das?

12.06.2014, 13:51

ann1

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Weil ich mir
$\begin{eqnarray*} F:\;[0,1]\cup\{2\}\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ so vorstelle:

Es wird abgebildet aus dem Intervall [0,1] und dem direkt daran anschließenden (d.h. ]1,2[ wird aus dem Def.bereich herausgeschnitten) Pkt x=2.

Bildlich ist eine Stetige Fktn eine solche, die man ohne Absetzen des Stiftes zeichnen kann. Dafür muss F(2) irgendwo direkt an F(1)=1 "anschliessen", also dachte ich an F(2) muss irgendwie gegen 1 gehen.

Ich finde das klingt nicht unlogisch, wenngleich es falsch zu sein scheint (womit es unlogisch klingen muesste).

12.06.2014, 14:01

ann1

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Zitat:

Original von HAL 9000

Vielleicht zur Vertiefung: In dem Sinne sind alle Funktionen $\begin{eqnarray*} f:\;\mathbb{N}\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stetig, da hinsichtlich der gewöhnlich verwendeten euklidischen Metrik sämliche Stellen des Definitionbereichs $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ isoliert voneinander liegen.

OK, diese n aus IN sind natuerlich keine Haeufungspkte.

Doch andererseits hat der Graph ja den Charakter einer Zahlenfolge. Eine solche mit Stetigkeit zu verbinden krieg ich irgendwie nicht hin. Ich kann ja keine 2 Pkt verbinden, weil die Werte zwischen den natuerl Zahlen gar nicht def. sind. Mglw. ist das der Knackpkt an meinen Verständnisprblemen.

12.06.2014, 14:29

bijektion

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Dein Problem liegt vermutlich darin, das du Stetigkeit irgendwie schulmäßig interpretierst.
Wie HAL schon geschrieben hat:

Zitat:

Wenn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nun kein HP von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist, dann enthalten genügend kleine Umgebungen von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ (also für genügend kleines $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ ) schließlich gar keine Punkte von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ mehr - dann ist in (*) für die Stetigkeit auch nichts mehr zu beweisen (die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |F(x)-F(a)| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ wird mangels passender $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bedeutungslos).

Das Problem hier ist, das die Definition an Stärke verliert, wenn man eine Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ betrachtet, wo es $\begin{eqnarray*} x_0\in M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(x_0)\cap M=\emptyset \end{eqnarray*}$ (wie etwa bei $\begin{eqnarray*} M=\mathbb{N}\subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ für jeden Punkt).

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