lineare Ungleichung lösen

11.06.2014, 19:49

amadeus24

lineare Ungleichung lösen

Meine Frage:
hi, habe folgende ungleichung, die ich lösen soll:

$\begin{eqnarray*} (2x-1)(x-1)\leq 4(x-1) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
also habe jetzt normal die klammern aufgelöst und konnte dann mit der pq formel die ungleichung lösen. meine professorin meinte jedoch, dass die aufgabe damit noch nicht erledigt ist.. was muss ich denn noch machen?

habe als lösung 10/4 & 1

11.06.2014, 20:03

HAL 9000

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Das sind nur die Lösungen für Gleichheit - es liegt aber eine Ungleichung vor.

Klammern auflösen war hier übrigens eher kontraproduktiv: Da Faktor $\begin{eqnarray*} (x-1) \end{eqnarray*}$ sowohl links wie rechts auftaucht, lässt man das doch besser intakt, bringt den Term rechts nach links und klammert aus:

$\begin{eqnarray*} (2x-1)(x-1) - 4(x-1) \leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ((2x-1)-4)(x-1) \leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2x-5)(x-1) \leq 0\qquad (*) \end{eqnarray*}$

Wie du richtig festgestellt hast, sind die beiden Nullstellen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{5}{2}=2.5 \end{eqnarray*}$ .

Die Frage ist, was passiert in den drei Intervallen zwischen bzw. jenseits der Nullstellen:

$\begin{eqnarray*} (-\infty,1), \qquad (1,2.5),\qquad (2.5,\infty) \end{eqnarray*}$

In welchen gilt die Ungleichung, in welchen nicht?

11.06.2014, 20:34

amadeus24

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moment, und wieso verschwindet im zweiten schritt das (x-1) einfach?

11.06.2014, 20:40

HAL 9000

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Wieder ein Hochschüler, der das Distributivgesetz ("ausklammern") nicht zu kennen scheint: Es ist

$\begin{eqnarray*} a\cdot c - b\cdot c = (a-b)\cdot c \end{eqnarray*}$

Nichts anderes habe ich dort angewandt, für $\begin{eqnarray*} a=2x-1,b=4,c=x-1 \end{eqnarray*}$ .

11.06.2014, 20:48

amadeus24

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wie kommst du denn überhaupt auf die Intervalle? selbst wenn man die Gleichung wieder so löst, kommen ja wieder die Nullstellen raus.

EDIT: okay, weiß schon, aber: wieso ist das Intervall 2,5 bis unendlich und nicht auch -unendlich bis 2,5?

11.06.2014, 20:52

HAL 9000

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Verstehe diese Anmerkung nicht. Einfach nochmal genauer über

Zitat:

Original von HAL 9000
Die Frage ist, was passiert in den drei Intervallen zwischen bzw. jenseits der Nullstellen:

$\begin{eqnarray*} (-\infty,1), \qquad (1,2.5),\qquad (2.5,\infty) \end{eqnarray*}$

In welchen gilt die Ungleichung, in welchen nicht?

nachdenken, mehr kann ich dazu nicht sagen. Allenfalls noch (wenn's sein muss) ein Bildchen zur Anregung der grauen Zellen:

11.06.2014, 20:55

amadeus24

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wie kommst du denn auf das mittlere intervall, also $\begin{eqnarray*} (1;2,5) \end{eqnarray*}$ ?

11.06.2014, 20:56

amadeus24

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ja, ich versteh schon, dass das das richtige ist. ich bin nicht in diesem forum um gehässige kommentare zu ernten. ich möchte den lösungsweg und nicht die lösung.

11.06.2014, 20:56

HAL 9000

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Nachdem ich zweimal wiederholt habe, wie ich die Intervalle gebildet habe, ist das nun wirklich eine dumme Frage: böse

Wenn die eine Nullstelle 1 ist und die andere 2.5, dann ist doch das Intervall dazwischen das Intervall $\begin{eqnarray*} (1,2.5) \end{eqnarray*}$ . Forum Kloppe

Zitat:

Original von amadeus24
ich möchte den lösungsweg und nicht die lösung.

Schwierig, wenn du auf alle Hinweise und Tipps bis unmittelbar vor der Lösung nur mit abblockenden Unverständnis reagierst. unglücklich

11.06.2014, 21:02

amadeus24

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ja, entschuldigung. unsere professorin hat nie gesagt, dass das intervall zwischen den nullstellen auch ein mögliches intervall für die lösungsmenge ist.

11.06.2014, 21:10

HAL 9000

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Ok, dann nochmal zu den Grundlagen: Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine stetige Funktion, und $\begin{eqnarray*} x_1<x_2 \end{eqnarray*}$ zwei direkt aufeinander folgende Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , dann besitzen die Funktionswerte von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2) \end{eqnarray*}$ alle dasselbe Vorzeichen (Begründung mit Zwischenwertsatz).

Folgerung für die Lösung der Ungleichung $\begin{eqnarray*} f(x)\leq 0 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ endlich viele Nullstellen hat: Die Lösungsmenge der Ungleichung besteht aus einer Vereinigung von solchen Intervallen zwischen den Nullstellen plus die Nullstellen selbst. Welche der Intervalle das sind, muss man allerdings noch rausfinden.

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